2021年高考数学总复习：第三章《导数及其应用》第2节 第3课时导数在不等式中的应用

2021年高考数学总复习：第三章《导数及其应用》第3课时导数在不等式中的应用
考点一构造函数证明不等式
【例1】已知函数f(x)＝1－x－1
e x，g(x)＝x－ln x.
(1)证明：g(x)≥1；
(2)证明：(x－ln x)f(x)>1－1 e2.
证明(1)由题意得g′(x)＝x－1
x(x>0)，
当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0，
即g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数. 所以g(x)≥g(1)＝1，得证.
(2)由f(x)＝1－x－1
e x，得f′(x)＝
x－2
e x，
所以当0<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，
即f(x)在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，
所以f(x)≥f(2)＝1－1
e2(当且仅当x＝2时取等号).①
又由(1)知x－ln x≥1(当且仅当x＝1时取等号)，②且①②等号不同时取得，
所以(x－ln x)f(x)>1－1 e2.
规律方法 1.证明不等式的基本方法：
(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①任意x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，
②任意x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，有f(x1)<f(x2).对于减函数有类似结论.
(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则任意x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m).
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