19-20版：专题强化 匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式v－t图像的综合应用（步步高）

专题强化 匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式
v －t 图像的综合应用
[学科素养与目标要求]
科学思维：1.掌握三个平均速度公式及其适用条件，会用平均速度公式求解相关问题.2.会推导位移差公式Δx ＝aT 2，会用它解决相关问题.3.进一步掌握v －t 图像的特点，熟练应用v －t 图像求位移．
一、匀变速直线运动的平均速度公式 1．公式的推导
图1
由图1知t 时间内的位移x ＝v 0＋v
2
t 所以v ＝
v 0＋v
2
又因v ＝v 0＋at 所以v ＝v 0＋a ·t
2
即v ＝2
t v
故在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值． 2.v ＝x
t 与v ＝v 0＋v 2
及v ＝2
t v 的比较
v ＝x
t 适用于任何形式的运动；v ＝v 0＋v 2
和v ＝2
t v 只适用于匀变速直线运动．
物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a 1＝2 m/s 2，加速一段时间t 1，然后
接着做匀减速直线运动，直到速度减为零，已知整个运动过程所用的时间t ＝20 s ，总位移为300 m ，则物体运动的最大速度为( ) A ．15 m/s B ．30 m/s C ．7.5 m/s D ．无法求解
答案 B
解析 设最大速度为v m ，匀加速直线运动过程：v ＝12(0＋v m )＝1
2v m ，匀减速直线运动过程：
v ＝12(v m ＋0)＝1
2v m .所以整个运动过程的平均速度为v ＝v m 2＝x t ＝30020
m/s ，解得v m ＝30 m/s.
沿直线做匀变速运动的质点在第一个0.5 s 内的平均速度比它在第一个1.5 s 内的平
均速度大2.45 m/s ，以质点初始时刻的运动方向为正方向，则质点的加速度为( ) A ．2.45 m/s 2 B ．－2.45 m/s 2 C ．4.90 m/s 2 D ．－4.90 m/s 2 答案 D
解析 质点在第一个0.5 s 内的平均速度为v 1，即在t 1＝0.25 s 时的速度为v 1；在第一个1.5 s 内的平均速度为v 2，即在t 2＝0.75 s 时速度为v 2.由题意得：v 1－v 2＝2.45 m/s ，故a ＝v 2－v 1
t 2－t 1＝
－2.45
0.75－0.25
m/s 2＝－4.90 m/s 2，D 正确．
一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l ，
火车头经过某路标时的速度为v 1，而车尾经过此路标时的速度为v 2，求： (1)火车中点经过此路标时的速度大小v ； (2)整列火车通过此路标所用的时间t . 答案 (1)
v 12＋v 222 (2)2l
v 1＋v 2
解析 火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v 1，前进位移l ，速度变为v 2，所求的v 是经过l
2
处的速度，其运动简图如图所示．
(1)前一半位移l 2，22
x v －v 12＝2a ·l
2
后一半位移l 2，v 22－22
x v ＝2a ·l
2
所以有2
2
x v
－v 12＝v 22
－22
x v ，故2
x v ＝
v 12＋v 22
2
. (2)火车的平均速度v ＝v 1＋v 2
2
故所用时间t ＝
l v ＝2l
v 1＋v 2
.
1．注意在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度2
t v 与中间位置的瞬时速度2
x v 是不同的，
2
t v ＝v 0＋v
2，2
x v ＝
v 02＋v 2
2
. 2．可以证明：不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有2
x v ＞2
t v .
二、位移差公式Δx ＝aT 2
匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T 内，位移差是一个常量，即Δx ＝x Ⅱ－x Ⅰ＝aT 2.
(1)推导：在时间T 内的位移x 1＝v 0T ＋1
2aT 2①
在时间2T 内的位移x 2＝v 0·2T ＋1
2a ·(2T )2②
则x Ⅰ＝x 1，x Ⅱ＝x 2－x 1③ 由①②③得Δx ＝x Ⅱ－x Ⅰ＝aT 2. (2)应用
①判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx ＝x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1＝aT 2成立，则a 为一恒量，说明物体做匀变速直线运动． ②求加速度
利用Δx ＝aT 2，可求得a ＝Δx T
2.
一个做匀加速直线运动的物体，在前4 s 内经过的位移为24 m ，在第2个4 s 内经过
的位移是60 m ，求这个物体的加速度和初速度各是多大？ 答案 2.25 m/s 2 1.5 m/s
解析 由位移差公式Δx ＝aT 2得： a ＝Δx T 2＝60－2442
m/s 2＝2.25 m/s 2，
由于v 4＝24＋60
8 m/s ＝10.5 m/s ，
而v 4＝v 0＋4a ， 得v 0＝1.5 m/s.
针对训练 (多选)(2019·长春外国语学校月考)一质点做匀加速直线运动，第3 s 内的位移是2 m ，第4 s 内的位移是2.5 m ，那么以下说法正确的是( ) A ．第2 s 内的位移是2.5 m B ．第3 s 末的瞬时速度是2.25 m/s C ．质点的加速度是0.125 m/s 2 D ．质点的加速度是0.5 m/s 2 答案 BD
解析 由Δx ＝aT 2，得a ＝x 4－x 3
T 2＝0.5 m/s 2，x 3－x 2＝x 4－x 3，所以第2 s 内的位移x 2＝1.5 m ，
A 、C 错误，D 正确；第3 s 末的瞬时速度等于2～4 s 内的平均速度，所以v 3＝x 3＋x 4
2T ＝2.25 m/s ，
B 正确．
三、v －t 图像的综合应用 1．利用v －t 图像求位移
v －t 图线与时间轴所围成的“面积”表示位移．“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负；通过的路程为时间轴上、下方“面积”绝对值之和．
(多选)某物体运动的v －t 图像如图2所示，根据图像可知，该物体( )
图2
A ．在0到2 s 末的时间内，加速度为1 m/s 2
B ．4 s 末质点运动方向改变
C ．在0到6 s 末的时间内，位移为7.5 m
D ．在0到6 s 末的时间内，位移为6.5 m 答案 AD
解析 在0到2 s 末的时间内物体做匀加速直线运动，加速度a ＝Δv Δt ＝2
2 m/s 2＝1 m/s 2，故A
正确；4 s 末质点速度方向没有改变，B 错误；0～5 s 内物体的位移等于t 轴上面梯形面积x 1＝(12×2×2＋2×2＋12×1×2) m ＝7 m,5～6 s 内物体的位移等于t 轴下面三角形面积x 2＝－(12
×1×1) m＝－0.5 m，故0～6 s内物体的位移x＝x1＋x2＝6.5 m，C错误，D正确．2．x－t图像与v－t图像的比较
内容
种类
v－t图像x－t图像图线斜率表示加速度表示速度图线与时间轴所围面积表示位移无意义
两图线交点坐标表示速度相同，不表示相遇，往往是距离最
大或最小的临界点
表示相遇
(多选)(2019·山西大学附中月考)如图3所示的位移(x)－时间(t)图像和速度(v)－时间(t)图像中甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是()
图3
A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动
B．0～t1时间内，甲车通过的路程等于乙车通过的路程
C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远
D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等
答案BC
解析位移－时间图像中，斜率代表速度，由图可知甲的速度不变，所以做匀速直线运动；乙的斜率逐渐减小，所以做速度逐渐减小的直线运动，并非曲线运动，故A错误；在t1时刻甲、乙两车的位移相等，又都是单向直线运动，所以两车路程相等，故B正确；由速度－时间图像中图线与时间轴围成的面积表示位移可知，丙、丁两车在t2时刻面积差最大，所以相距最远，故C正确；0～t2时间内，丙的位移小于丁的位移，时间相等，平均速度等于位移除以时间，所以丙的平均速度小于丁的平均速度，故D错误．
1．(平均速度公式的应用)一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直线运动，经过3 s后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经过9 s停止，已知物体经过斜面和水平地面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的位移与水平地面上的位移之比是() A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．3∶1
解析 设物体到达斜面底端时的速度为v ， 则物体在斜面上的平均速度v 1＝v
2，
在斜面上的位移x 1＝v 1t 1＝v
2t 1
在水平地面上的平均速度v 2＝v
2，
在水平地面上的位移x 2＝v 2t 2＝v
2t 2
所以x 1∶x 2＝t 1∶t 2＝1∶3，故选C.
2．(位移差公式Δx ＝aT 2的应用)(多选)如图4所示，物体做匀加速直线运动，A 、B 、C 、D 为其运动轨迹上的四点，测得AB ＝2 m ，BC ＝3 m ，且物体通过AB 、BC 、CD 所用的时间均为0.2 s ，则下列说法正确的是( )
图4
A ．物体的加速度为20 m/s 2
B ．物体的加速度为25 m/s 2
C ．C
D ＝4 m D ．CD ＝5 m 答案 BC
解析 由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即Δx ＝aT 2可得： a ＝BC －AB
T 2
＝25 m/s 2，故A 错误，B 正确；根据CD －BC ＝BC －AB ，可知CD ＝4 m ，故C 正确，D 错误．
3.(v －t 图像的综合应用)(2019·山西大学附中月考)如图5是物体做直线运动的v －t 图像，由图可知，该物体( )
图5
A ．0～2 s 内和0～4 s 内的位移不相等
B ．0～2 s 内和0～4 s 内的平均速度大小不相等
C ．第1 s 内和第4 s 内的位移大小不等
D ．第3 s 内和第4 s 内的加速度不相同
解析 0～2 s 内物体的位移x 2＝(1＋2)×12 m ＝1.5 m ，则平均速度v 2＝x 2
t 2＝0.75 m/s.0～4 s
内物体的位移x 4＝1.5 m ＝x 2，则平均速度v 4＝x 4
t 4＝0.375 m/s ，A 错，B 对．第1 s 内和第4 s
内位移大小均为0.5 m ，C 错．第3 s 内和第4 s 内加速度均为－1 m/s 2，D 错．
4．(平均速度公式的应用)一质点做匀变速直线运动，初速度v 0＝2 m/s ，前4 s 内位移为20 m ，求：
(1)质点前4 s 内的平均速度大小； (2)质点第4 s 末的速度大小； (3)质点第2 s 末的速度大小． 答案 (1)5 m/s (2)8 m/s (3)5 m/s
解析 (1)利用平均速度公式，前4 s 内的平均速度 v ＝x t ＝20
4 m/s ＝
5 m/s
(2)因为v ＝
v 0＋v 4
2
，代入数据解得， 第4 s 末的速度v 4＝8 m/s.
(3)第2 s 末为这段时间的中间时刻，故v 2＝v ＝5 m/s.。