人教版九年级数学下册《二次函数中考复习专题》教案

二次函数中考复习专题教学目标
知识与技能1.掌握二次函数表达式的三种形式，能灵活选用三种形式提高解
题效率
2.掌握二次函数的图像与性质，结合解析式确定图像顶点、对称
轴和开口方向；熟练掌握其与一元二次方程和一元二次不等式的关系；能通过基本性质解决图像的系数符号问题、共存问题、对称性问题、以及应用问题。

过程与方法1. 学会总结归纳，把握知识点之间的联系，形成整体知识框架，对知识系统把握；
2. 在学习过程逐步渗透数学思想方法尤其是函数与方程、以及属性结合的思想，形成良好的思维习惯。

情感态度与价值观
通过独立思考与探究，形成缜密的数学思维逻辑，体验数学之美
教学重点
二次函数的三种解析式形式
二次函数的图像与性质
教学难点
二次函数与其他函数共存问题
根据二次函数图像，确定解析式系数符号
/
根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题
#
教学过程
一、数学知识及要求层次
二、近年二次函数考题及分值分布情况
纵观近两年调考，样卷及中考试卷，可以发现中考中二次函数的题型有如下一些特点：1、综合性强。

初中阶段所有的知识点几乎都可以与二次函数联系起来，特别是与一元二次
方程，几何图形、实际问题的联系更紧密些。

2、分值较重。

从07年到08年，二次函数的分值逐年加大。

3、^
4、覆盖面广。

二次函数的图象性质在调考、样题、中考中都出现了。

三、二次函数知识点
1.二次函数的解析式三种形式
一般式y=ax2 +bx+c(a≠0)
顶点式 2
()y a x h k =-+
2
24()24b ac b y a x a a
-=-+ :
交点式 12()()y a x x x x =--
2. 二次函数图像与性质
@
对称轴：2b x a
=-
顶点坐标：2
4(,)24b ac b a a
-- 与y 轴交点坐标（0，c ）
增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大 >
当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小 二次函数图像画法：
勾画草图关键点：○1开口方向 ○2对称轴 ○3顶点 ○4与x 轴交点 ○5与y 轴交点 图像平移步骤
（1）配方 2
()y a x h k =-+，确定顶点（h,k ）
（2）对x 轴 左加右减；对y 轴 上加下减 二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴12
2
x x x +=
、
根据图像判断a,b,c 的符号 （1）a ——开口方向
（2）b ——对称轴与a 左同右异 3.二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的根。

抛物线y=ax 2 +bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=0
24b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点； 24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点；
24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点
3. 二次函数的应用
如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等
【典型例题】
题型 1 二次函数的概念
例1（基础）.二次函数2
365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） "
点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式 例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12） 下列命题中正确的是
○
1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。

○
3当c=－5时，不论b 为何值，抛物线y=ax 2+bx+c 一定过y 轴上一定点。

○
4若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有唯一公共点，则方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根。

○
5若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于c 点，c=4，S △ABC
=6，则抛物
线解析式为y=x 2－5x+4。

】
○
6若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根。

○
7若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0。

○
8若a －b+c=2，则抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）必过一定点。

○
9若b 2＜3ac ，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴一定没有交点。

○
10若一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx 2+bx+a 的图象与x 轴必有两个交点。

○
11若b=0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。

点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。

复习时，抓住系数a 、b 、c 对图形的影响的基本特点，提升学生的数形结合能力，抓住抛物线的四点一轴与方程的关系，训练学生对函数、方程的数学思想的运用。

题型2 二次函数的性质 、
例3 若二次函数2
4y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2x x =-=时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（ ） A ．y 1 <y 2 B. y 1 =y 2 C. y 1 >y 2 D.不确定 点拨：本题可用两种解法 解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y 随x 的变化规律确定：a>0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大
解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a ，b 的值 再把横坐标值代入求出y 1 与y 2 的值，进而比较它们的大小 【举一反三】
变式1：已知12(2,),(3,)q q 二次函数2
2y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小 变式2：已知12(0,),(3,)q q 二次函数2
2y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小
}
变式3：已知二次函数2
y ax bx m =++的图像与2
2y x x m =-++的图像关于y 轴对称，
12(2,),(3,)q q --是前者图像上的两点，试比较12q q 与的大小
题型3 二次函数的图像
例4 如图所示，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直，若小正方形的边长为x ，且0<x ≤10，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间的函数关系的大致图像时（ ） ，
题型4 二次函数图像性质（共存问题、符号问题） 例5、（2009湖北省荆门市）函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ） (
点拨：本题考查函数图象与性质，当0a >时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D 是错的，函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象必过（0，1），所以C 是正确的，故选C ．
例6 已知=次函数y ＝ax 2
+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ）
A ．2
B 3
C 、4
D 、5
点拨：本题考查二次函数图像性质，a 的符号由开口方向确定，b 的符号由对称轴和a 共同决定，c 看其与y 轴的交点坐标，a+b+c ，4a －2b+c 看x 取某个特殊值时y 的值可从图像中直观发现 {
题型5 二次函数的平移
例7.将抛物线2
2y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．2
2(1)y x =+
B ．2
2(1)y x =-
C ．2
21y x =+
D ．2
21y x =-
A ．
B ．
C ．
D ．
1
1
1
1
x
o y
y
o x y
o x
x
o
y
10
100
A 10
100
B 10 】
100
5 100
10
C D
题型6 二次函数应用销售利润类问题
例8 某商品的进价每件为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出70件，市场调查反映：如果每件的售价每涨10元（售价每件不能高于140元），那么每星期少卖5件，设每件涨价x 元（x 为10的正整数倍），每周销售量为y 件 。

⑴ 求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围。

⑵ 如何定价才能使每周的利润最大且每周销量较大每周的最大利润是多少 点拨：销售总利润=销售量×(售价-进价) 本类题主要考查学生用二次函数知识解决实际问题中的最值问题（如最大利润、最大面积、材料最值、时间最少，效率最高等问题），及函数自变量取值对最值的约束等知识。

复习时注意，自变量的取值限制条件：如正整数倍，非负整数倍，自然数倍，2的整数倍等条件的限制。

)
题型7 二次函数与几何图形综合(面积、动点)
例9 已知二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ． （1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．
图2
点拨：本类题主要考察二次函数表达式的求法，二次函数与几何知识的运用。

面广，知识综合性强。

复习时要着重深究点、线、面中所包含的隐含条件，要用运动、发展、全面的观点去分析图形，并注意到图形运动过程中的特殊位置。

【基础达标训练】 一、选择题
1. (2009年四川省内江市)抛物线3)2(2
+-=x y 的顶点坐标是（ ）
,
y
$
O
A ．（2，3）
B ．（－2，3）
C ．（2，－3）
D ．（－2，－3） 2.（2009年桂林市、百色市）二次函数2
(1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ．
2
3
3.(2009年上海市)抛物线2
2()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ）
A ．()m n ，
B ．()m n -，
C ．()m n -，
D ．()m n --，
4.(2009年陕西省)根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴
【 】
x …
－1
1
2
…
y … －1
…
4
7-
－2 4
7
-
… A ．只有一个交点
B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧
C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧
5.已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：
0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增
大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（）
A ．4个
B ．3个 C2个 D ．1个 *
6. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ） A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定
7. （2009烟台市）二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2
4y bx b ac =+-与反比例函数a b c
y x
++=
在同一坐标系内的图象x
{
y
O
1 、
x
O y
x
O ;
x
O y
x
O
1
O x
y
大致为（ ）
#
8.（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2bx 。

若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的
(A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。

9. (2009年南充)抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ） A ．1x =
B ．1x =-
C ．3x =-
D ．3x =
^
10. （2009年遂宁）把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式
A.()22412+--=x y
B. ()42412+-=x y
C.()42412++-=x y
D. 3212
12
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y
二、填空题
11. （2009年甘肃庆阳）图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是_____________
！
12. (2009年上海市) 把抛物线y ＝ax 2
+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2
－3x+5，则a+b+c=__________
13. （2009年淄博市） 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ． ①过点(31)，； ②当0x >时，y 随x 的增大而减小； ③当自变量的值为2时，函数值小于2．
图6（1） 图6（2）
14.（2009年娄底）如图7，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12
x 2的图象，C 2是函数y =-12
x 2
的图象，则阴影部分的面积是 .
15. （2009白银市）抛物线2
y x bx c =-++的部分图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论： ， ．（对称轴方程，图象与x 正半轴、y 轴交点坐标例外）
/
16. （2009年包头）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值 是 cm 2．
17. （2009年黄石市）若抛物线2
3y ax bx =++与2
32y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分别为 ．
18、（2009年兰州）二次函数2
23y x
=
的图象如图12所示，点0
A 位于坐标原点， 点
1
A ，
2
A ，
3A ，…，
2008
A 在y 轴的正半轴
上，点
1
B ，
2
B ，
3
B ，…，
2008
B 在二次函数
223y x
=
位于第一
象限的图象上，若△
011A B A ,△
122
A B A ，△
233
A B A ，…，△
200720082008
A B A
都为等边三角形，则△
200720082008
A B A 的边长＝ .
)
三、解答题
19. （2009年内蒙古包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；
（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．
20. ( 安徽省)心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=++43(0＜x ＜30)。

y 值越大，表示接受能力越强。

]
(1)x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低 (2)第10分时，学生的接受能力是什么 (3)第几分时，学生的接受能力最强
21. （2009仙桃）如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过矩形ABCD 的两个顶点A 、B ，AB 平行于x 轴，对角线BD 与抛物线交于点P ，点A 的坐标为(0，2)，AB ＝4． (1)求抛物线的解析式； (2)若S △APO ＝
2
3
，求矩形ABCD 的面积
22. 抛物线
与x 轴交A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，直线与抛物线交于A 、C
两点，其中C 点的横坐标为2.
(1)求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； (2)P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；
(3)点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由.
）
D 图1
图2
【能力提高训练】
23．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为(10)A -，
，(0B ，(00)O ，，将此三角板绕原点O 顺时针旋转90°，得到A B O ''△．
（1）如图，一抛物线经过点A B B '、、，求该抛物线解析式； （2）设点P 是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB '的面积达到最大时点P 的坐标及面积的最大值．
|
24．(12分)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象顶点为D ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝ 1
3．
(1)求这个二次函数的解析式； 、
(2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度；
(3)如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面
积．
]
.
25. （2009年湖南长沙）为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．
x
（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润＝销售额－生产成本－员工工资－其它费用），该公司可安排员工多少人
（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款
26. 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从
B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；
(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形
(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分若存在，求出此
时t的值；若不存在，请说明理由；
(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形
(第25题图)。