二次函数知识梳理

y ax2 bx c有且只有一个交点 h, ah2 bh c
（3）抛物线 y ax2 bx c与 x 轴的两个交点的横 坐个标实数x1根、x.抛2，物是线对与应x一轴元的二交次点方情程况a可x以2 由b对x应的c一元0的二两
次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 △＞0 抛物线与 x轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上） △＝0 抛物线与 x 轴
二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
利用二次函数 y ax2 bx c 的图象
ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0
看图象与 x轴的交点 看 x轴上方的图象 看 x轴下方的图象
1.定义：一般地，如果 y ax2 bx c
（ a、b 、c 是常数，a 0），那么 y
叫做 x 的二次函数.
2.二次函数 y ax2 bx c用配方法可
化成：y ax h2 k 的形式.
其中: h b ，k 4ac b2
2a
4a
3.抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点.
y x2 x 2
抛物线
△＞0
顶点坐标 对称轴
△=0
开口方向
△＜0
a＞0
图
△＞0
a＜0
像
△=0
利润问题
△＜0
磁道问题
性质
最值
应用
拱桥问题
二
面积问题
次 顶点式 y ax h2 ka 0
y ax2 bx c(a 0)
函 交点式 y ax x1x x2 a 0
数
x1、x2是图象与x轴的交点的横标
k k
0，向上平移 0，向下平移
k 个单位 k 个单位
y
ax 2
k
y
ax2 h 0，向右平移 h
个单位
ya
xh
2
h 0，向左平移 h 个单位
y ax2 向上（下）平移 k 个单位 y a x h 2 k 向左（右）平移 h 个单位
抛物线的平移、翻折与旋转的变换
抛物线在变换中，开口大小未变， 只是位置或开口方向发生改变
5.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：y ax2 bx c
a x
b
2
4ac
b2
2a
4a
顶点是: ( b , 4ac b2 )
2a 4a
对称轴是直线: x b 2a
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线
的解析式化为 y ax h2 k的形式，
得到顶点为 h，k ，
程组的解的数目来确定：
y
y ax
kx 2
n bx
c
①方程组有两组不同的解时 l 与G有两个交点; ②方程组只有一组解时 l 与 G只有一个交点； ③方程组无解时 l 与G没有交点.
x （6）抛物线与 轴两交点之间的距离：
x 若抛物线 y ax2 bx c与 轴两交点为Ax1,0、
根B，x故2,0x由1 于xx21、x2是ab方，程x1axx22bxac c 0的两个
D.y ax2 bx c
2009年天津中考试题第10题
在平面直角坐标系中，先将抛物线
x y x2 关x 于2轴作轴对称变换，
y 再将所得的抛物线关于 轴作轴对称变换，
那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式 为（ ）
A．y x2 x B2． y x2 x 2
C．y x2 x D2．
对称轴是直线 x h
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以 对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线 的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛 物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用 公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
6.抛物线 y ax2 bx c中，
a、b 、c的作用 a （1） 决定开口方向及开口大小，这与 y ax2中的 a 完全一样.
a （左同右异）
c （3） 的符号：由抛物线与 y 轴的交点位置确定:
当x 0 时，y c ，∴抛物线与轴有且只有一个
交点（0，）c：
① c0 ②c0 ③ c0
经过坐标原点
与 y轴交于正半轴 与 y轴交于负半轴
7.用待定系数法求二次函数的解析式：
（1）一般式： y ax2 bx c.已知图象上 三点或三对 x 、y 的值，通常选择一般式.
相切；
③没有交点 △＜0 抛物线与 x 轴相离.
（4）平行于 x 轴的直线 y k 与抛物线的交点同上面
（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2
个交点时，两交点的纵坐标相等，纵坐标为k ，则横
坐标a是x2 bx c k 的两个实数根
（5）一次函数 y kx nk 0的图象 l 与二次函 数 y ax2 bx ca 0 的图象G 的交点，由方
关键
确定变换前后顶点坐标及开口方向
y ax h2 k
x y 关于 轴对称 关于 轴对称
y ax h2 k
y ax h2 k
如图，将抛物线 y ax2 bx c 沿 x 轴翻转到
虚线的位置，那么所得到的抛物线的解析式为
A.y ax2 bx c B.y ax2 bx c C.y ax2 bx c
（2）顶点式：y a x h 2 k .已知图象的
顶点或对称轴，通常选择顶点式
※（3）交点式: 已知图象与 x 轴的交点坐
标 x1，0、x2，0，通常选用交点式：
y ax x1x x2
8.直线与抛物线的交点
（1）y 轴与抛物线 y ax2 bx c 的交点为 0, c
（2）与 y 轴平行的直线 x h 与抛物线
AB x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2
b 2
4c
b2 4ac △△
a a
a
a
抛物线 y ax2与 y ax h2 , y ax2 k y a x h 2 k 的形状和大小都相同，变动的
只是位置。（以 y ax2为基准说明）
y
ax
2
a ① 的符号决定抛物线的开口方向：
当 a 0 时，开口向上； 当 a 0 时，开口向下；
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于 y轴（或重合）的直线记作 x h 特别地， y 轴记作直线 x 0.
4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二 次函数，如果二次项系数相同，那么抛 物线的开口方向、开口大小完全相同， 只是顶点的位置不同.
开口向上 开口向下
ห้องสมุดไป่ตู้a0 a0
a 越大开口越小，反之越大
b a b （2） 的符号： 和 共同决定抛物线对称轴的位置
由于抛物线 y ax2 bx c的对称轴是
直线 x b 2a
故：① b 0时，对称轴为 y轴
a ② b 0（即 、b同号）时，对称轴在 y 轴左侧；
a
a ③ b 0（即 、b 异号）时，对称轴在 y轴右侧.