高考数学复数知识点、公式

数系的扩大和复数观点和公式总结
1. 虚数单位 i :
它的平方等于 -1 ，即 i 2
1
2. i 与－ 1 的关系 : i 就是－ 1 的一个平方根， 即方程 x 2=
－ 1 的一个根，方程 x 2=－ 1 的另一个根是－ i
3. i 的周期性： i 4n+1
=i,
i
4n+2
=-1,
i 4n+3
=-i,
i
4n
=1
4. 复数的定义：形如
a
bi (a,b R) 的数叫复数， a 叫复数的
实部， b 叫复数的虚部全体复数所成的会合叫做复数集，用
字母 C 表示
复数往常用字母
z 表示，即 z a bi (a, b
R)
5. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：
对于复数 a bi (a,b
R) ，当且仅当 =0 时，复数 + ( 、
b
a bi
a b
∈ R)是实数
；当
≠ 0 时，复数
= +
叫做虚数；当
=0
a
b
z a bi
a
且 ≠ 0 时，
=
叫做纯虚数；
≠ 0 且 ≠0 时， =
叫做
b
z bi
a
b
z
bi
非纯虚数的纯虚数；当且仅当
= =0 时，
z
就是实数 0.
a b
5. 复数集与其余数集之间的关系：
N Z Q R C.
6. 两个复数相等的定义：假如两个复数的实部和虚部
分别相等，那么我们就说这两个复数相等假如
a ，
b ，
c ， d
∈ R ，那么
a +bi
=c +di
a =c ，
b =d
一般地，两个复数只好说相等或不相等，而不可以比较大
小即便是 3 i ,6 2i 也没有大小。

.
假如两个复数都是实数，就能够比较大小
当两个复数
不全部是实数时不可以比较大小
7. 复平面、实轴、虚轴：
点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是 b ，复数 z =a +bi ( a 、b ∈R)可用
点 Z ( a ， b ) 表示，这个成立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示
实数
（ 1）实轴上的点都表示实数
（ 2）虚轴上的点都表示纯虚数
（ 3）原点对应的有序实数对为 (0 ，0)
设
1
= +
，
2
= + ( 、 、
c
、 ∈ R)是随意两个复数，
z a bi
z
c di
a b
d
8 ． 复 数
z
1
与
2
的 加 法 运 算 律 ：
z
z z a bi
c di
a c
b d i
.
1+ 2=( + )+( +
)=( + )+( + ) 9. 复 数 z
与 z 2 的 减 法 运 算 律 ：
1
z
z a bi
c di
a c
b d i
.
1-
2
=( + )-( +
)=( - )+( - )
复数的加法运算知足互换律和联合律
10. 复数 z 1 与 z 2 的乘法运算律： z 1·z 2= ( a +bi )( c +di )=( ac －
bd bc ad i
)+(+)
.
幂运算： i 1i i 2 1 i 3i i 4 1 i 5i i 61
11.复数z1与 z2的除法运算律： z1÷ z2=( a+bi )÷
( c+di )=ac bd bc ad i （分母实数化）
c2d2c2d2
复数的乘法运算知足互换律、联合律和分派律。

12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，
这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0 的两个共轭复数
也叫做共轭虚数z a bi , z a bi a, b R ，
往常记复数z 的共轭复数为z 。

比如z =3＋5i与 z =3－5i互为共轭复数
13.共轭复数的性质
（1）实数的共轭复数仍旧是它自己
22
（2）Z Z Z Z
（3）两个共轭复数对应的点对于实轴对称
14.复数的两种几何意义：
复数 Z a bi a,b R
一一对应一一对应
uuur
点 Z (a,b)向量 OZ
一一对应
15几个常用结论
（ 1）1i 22i ，（2）1i 22i
（ 3）1
i ，（4）
i
1i
1 i
1 i
i
（ 5）i（ 6）
1i
a bi a bi a 2b2
uur uur
16. 复数的模：若向量OZ表示复数z，则称OZ的模 r 为复数 z 的模，复数 Z a bi 的模 Za 2b2
17、复数的化简
c di
z
bi（ a,b 是均不为0的实数）；的化简就是经过分母实a
数化的方法将分母化为实数：
c di c di a bi ac b
d ad bc i
z
bi a bi a bi a2b2
a
18、 z uuur AB AB z B z A为两点间的距离。