北京市昌平区2015-2016学年高一上学期期末数学试卷含解析

北京市昌平区2015～2016 学年度高一上学期期末数学试卷
一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分 .在每题给出的四个选项中，只有
一项为哪一项切合要求
的 .
1．已知会合 U={0 ，1，2， 3，4} ，A={0 ，1，2， 3} ， B={0 ，2，4} ，那么 A ∩（?U B ）等于（）
A．{1}B．{0，1}C．{1，3}D． {0，1， 2，3}
2．已知向量 =（ 1， 2）， =（ 2， 3﹣ m），且∥，那么实数 m 的值是（）
A．﹣ 1 B．1C．4D． 7
3．如下图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点 A ．若点 A 的纵坐标是，那么 sinα的值是（）
A．B．C．D．
4．已知函数f（ x） =2x
+2x﹣ 6 的零点为x0，那么 x0所在的区间是（）
A．（0，1） B ．（1， 2）C．（ 2， 3）D．（3，4）
5f x
）是定义在[ 4 0
）∪（
04x
＞
时，
f x
）的图象如
．已知函数（﹣，， ] 上的奇函数，当（图所示，那么 f （ x）的值域是（）
A ．（﹣44
B [6 6 C
．（﹣
44 4 6D[64 4 6
]，）．﹣， ]，）∪（， ]．﹣，﹣）∪（，
6．已知函数y=sin2x 的图象为C，为了获取函数的图象，只需把 C 上所有的点（）
A ．向左平行挪动 个单位长度
B ．向右平行挪动 个单位长度
C ．向左平行挪动 个单位长度
D ．向右平行挪动
个单位长度
7．已知
， ， ，那么 a ， b ， c 的大小关系是（ ）
A ． c ＜ a ＜ b
B ．c ＜ b ＜ a
C ． a ＜ b ＜ c
D ．b ＜ a ＜ c
8．已知定义在 R 上的奇函数 f （ x ）知足 f （ x ） =f （ 4﹣ x ），且在区间 [0， 2] 上是增函数， 那么（
）
A ． f （ 6）＜ f （ 4）＜ f （ 1）
B ． f （4）＜ f （ 6）＜ f （ 1）
C ． f （1）＜ f （ 6）＜ f （ 4）
D ． f （ 6）＜ f （ 1）＜ f （ 4）
9．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价钱走势如下图．假定某人拥有资本 120 万元，
他能够在 t 1 至 t 4 的随意时辰买卖这两种商品， 且买卖能够立刻成交 （其余花费忽视不计） ．如
果他在 t 4 时辰卖出所有商品，那么他将获取的最大收益是（
）
A ． 40 万元
B ．60 万元
C ． 120 万元
D ．140 万元
10．已知定义在 R 上的函数 f （ x ），若对于随意 x 1，x 2∈R ，且 x 1≠x 2，都有 x 1 f （ x 1）+x 2f （ x 2） ＞x 1f （ x 2） +x 2f （ x 1），那么函数 f （ x ）称为 “Ω函数 ”．给出以下函数：
① f （ x ） =cosx ；
② f （ x ） =2x
；
③ f （ x ） =x|x|；
④ f （ x ） =ln （ x 2
+1）．
此中 “Ω函数 ”的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本大题共 6 小题，每题 6 分，共 30 分 .
11．已知函数 f （ x） =x a
的图象经过点，那么实数 a 的值等于．
12．已知，且，那么tanα=．
13．已知函数假如f（x0）=16，那么实数x0的值是．
14．已知函数ω=f （ x） =sin（ωx+ φ）（
，φ=．
）的部分图象如下图，那么
15．如图，在 6×6 的方格中，已知向量，，的起点和终点均在格点，且知足向量 =x +y （x， y∈R），那么 x+y=．
16．已知函数 f （ x）的定义域为 D ，若同时知足以下两个条件：
①函数 f （ x）在 D 内是单一递减函数；
②
存在区间[a b
]?
D
，使函数
f x
）在
[a b[b a
，（，] 内的值域是﹣，﹣] ．
那么称函数 f （x）为“W 函数”．
已知函数为“W 函数”．
（1）当 k=0时， b﹣a 的值是；
（2）实数 k的取值范围是．
三、解答题（共5个小题，共 70 分）
17．已知向量=（ 2，﹣ 1）， =（ 1， x）．
（Ⅰ）若⊥（ +），求 | |的值；
（Ⅱ）若+2=（4，﹣ 7），求向量与夹角的大小．
18．已知函数
．
（ I ）求函数 f （ x ）的最小正周期；（Ⅱ）求函数 f （ x ）的单一递加区间；
（Ⅲ）当
时，求函数 f （x ）的最小值，并求出使 y=f （ x ）获得最小值时相应
的 x 值．
19．已知函数
．
（Ⅰ） 求 f （1）的值；
（Ⅱ） 判断函数 f （ x ）的奇偶性，并加以证明； （Ⅲ）若 f （ 2x ）＞ 0，务实数 x 的取值范围．
20．据市场检查发现， 某种产品在投放市场的
30 天中，其销售价钱
P （元） 和时间 t （ t ∈N ）
（天）的关系如下图．
（I ） 求销售价钱 P （元）和时间 （Ⅱ）若日销售量
Q （件）与时间
产品投放市场第几日时，日销售额
t （天）的函数关系式；
t （天）的函数关系式是
Q=﹣ t+40（0≤t ≤30，t ∈N ），问该
y （元）最高，且最高为多少元？
21．已知函数 f （ x ），对于随意的 x ，y ∈R ，都有 f （ x+y ）=f （x ） +f （ y ），当 x ＞ 0 时， f （ x ）
＜0，且
．
（Ⅰ） 求 f （0）， f （ 3）的值；
（Ⅱ） 当﹣ 8≤x ≤10 时，求函数 f （ x ）的最大值和最小值；
（Ⅲ） 设函数 g （ x ）=f （ x 2
﹣m ）﹣ 2f （ |x|），判断函数 g （ x ）最多有几个零点，并求出此时实数 m 的取值范围．
北京市昌平区2015～2016 学年度高一上学期期末数学试
卷
参照答案与试题分析
一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项为哪
一项切合要求的 .
1．已知会合U={0 ，1，2， 3，4} ，A={0 ，1，2， 3} ， B={0 ，2，4} ，那么 A ∩（?U B ）等于（）
A．{1}B．{0，1}C．{1，3}D． {0，1， 2，3}
【考点】交、并、补集的混淆运算．
【专题】计算题；会合思想；定义法；会合．
【剖析】先求出（ ?U B），再依据交集的运算法例计算即可
【解答】解：∵ U={0 ，1， 2， 3， 4} ，A={0 ， 1， 2， 3} ，B={0 ， 2， 4} ，
∴（ ?U B ）={1 ，3}
∴A ∩
（?U B）={1 ，3}
应选： C．
【评论】此题考察会合的交并补运算，属于基础题
2．已知向量 =（ 1， 2）， =（ 2，3﹣ m），且∥，那么实数 m 的值是（）
A．﹣ 1B．1C．4D．7
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用．
【剖析】依据向量的平行的条件和向量的坐标运算即可求
出．【解答】解：向量 =（ 1，2）， =（ 2，3﹣ m），且∥，
∴1×（ 3﹣ m） =2×2，
∴m= ﹣ 1，
应选： A．
【评论】此题考察了向量的坐标运算和向量平行的条件，属于基础题．
A ．若点 A 的纵坐标3．如下图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于
点
是，那么sinα的值是（）
A．B．C．D．
【考点】随意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．
【剖析】由条件利用随意角的三角函数的定义，求得sinα的值．
【解答】解：由题意可得，点 A 的纵坐标是，那么 sinα的值是，
应选： B
【评论】此题主要考察随意角的三角函数的定义，属于基础题．
x
﹣ 6 的零点为 x0，那么 x0所在的区间是（）
4．已知函数 f（ x） =2 +2x
A ．（ 0， 1）
B ．（1， 2）C．（ 2， 3） D ．（ 3， 4）
【考点】函数零点的判判定理．
【专题】函数思想；转变法；函数的性质及应用．
【剖析】判断函数的单一性，利用函数零点存在条件进行判断即可．
x
2
∴f （1） =2+2﹣ 6= ﹣ 2＜ 0， f（ 2） =2 +2×2﹣ 6=2＞ 0，
则函数在（ 1， 2）内存在零点，
x0所在的区间是（1，2），
应选： B．
【评论】此题主要考察函数零点的判断，判断函数的单一性以及函数函数在区间端点处的符
号关系是解决此题的重点．
5．已知函数f（ x）是定义在 [﹣ 4， 0）∪（ 0， 4] 上的奇函数，当x＞ 0 时， f（ x）的图象如图所示，那么 f （ x）的值域是（）
A ．（﹣ 4， 4）B． [﹣ 6， 6]C．（﹣ 4， 4）∪（ 4， 6]
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【剖析】依据函数奇偶性的性质，确立函数的值域即可．【解答】解：∵当0＜ x≤4 时，函数单一递加，由图象知
D ．[ ﹣6，﹣ 4）∪
（4＜ f （ x）≤6，
4，6]
当﹣ 4≤x＜0 时，在 0＜﹣ x≤4，即此时函数也单一递加，
且 4＜ f （﹣ x）≤6，
∵函数是奇函数，
∴f （﹣x）=﹣f（x），
∴4＜﹣ f （ x）≤6，
即﹣ 6≤f（ x）＜﹣ 4，
∴f（x）的值域是 [ ﹣ 6，﹣ 4）∪（ 4，6] ，
应选： D
【评论】此题主要考察函数值域的求法，利用函数奇偶性的性质进行转变是解决此题的重点．
6．已知函数y=sin2x 的图象为C，为了获取函数的图象，只需把 C 上
所有的点（）
A ．向左平行挪动个单位长度
B．向右平行挪动个单位长度
C．向左平行挪动个单位长度
D．向右平行挪动个单位长度
【考点】函数 y=Asin （ωx+ φ）的图象变换．
【专题】转变思想；定义法；三角函数的图像与性质．
【剖析】依据三角函数的图象关系进行判断即可．
【解答】解：=sin2 （ x+），
即为了获取函数的图象，只需把 C 上所有的点向左平行挪动个单位
长度即可，
应选： C．
【评论】此题主要考察三角函数的图象变换，利用三角函数分析式之间的关系是解决此题的重点．
7．已知，，，那么a， b， c 的大小关系是（）
A ． c＜ a＜ b
B ．c＜ b＜ a C． a＜ b＜ c D ．b＜ a＜ c
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【剖析】利用指数式和对数式的性质，比较三个数与0 或 1 的大小得答案．
＞ 20=1 ，
【解答】解：∵
0＜=，
＜log 1=0
，
2
∴c＜ b＜ a．
应选： B．
【评论】此题考察对数值的大小比较，重点是注意利用0 和 1 为媒介，是基础题．
8．已知定义在R 上的奇函数 f （ x）知足 f（ x） =f （ 4﹣ x），且在区间 [0， 2] 上是增函数，那么（）
A ． f （ 6）＜ f（ 4）＜ f（ 1）
B ． f （4）＜ f（ 6）＜ f（ 1）C． f （1）＜ f（ 6）＜ f（ 4）
D． f（ 6）＜ f（ 1）＜ f （ 4）
【考点】奇偶性与单一性的综合．
【专题】计算题；转变思想；转变法；函数的性质及应用．
【剖析】依据函数奇偶性和单一性的关系将条件进行转变比较即可．
【解答】解：∵ f （ x） =f （4﹣ x），
∴函数 f（ x）对于 x=2 对称，
则∵奇函数 f （ x）在区间 [0， 2] 上是增函数，
∴函数 f（ x）在区间 [﹣ 2， 2] 上是增函数，
则函数 f（ x）在在区间 [2， 6] 上是减函数，
则 f （1） =f （ 3），
∵f （6）＜ f（ 4）＜ f （ 3），
∴f （6）＜ f（ 4）＜ f （ 1），
应选： A
【评论】此题主要考察函数值的大小比较，依据函数奇偶性和对称性的性质将条件进行转变
是解决此题的重点．
9．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价钱走势如下图．假定某人拥有资本120 万元，他能够在t1至 t4的随意时辰买卖这两种商品，且买卖能够立刻成交（其余花费忽视不计）．如果他在 t4时辰卖出所有商品，那么他将获取的最大收益是（）
A ． 40 万元
B ．60 万元C． 120 万元 D ．140 万元
【考点】函数模型的选择与应用；函数分析式的求解及常用方法．
【专题】应用题；数形联合；数学模型法；函数的性质及应用．
【剖析】依据图象，在廉价时买入，在高价时卖出能获取最大的收益．
t2时辰，所有卖出，【解答】解：甲在 6 元时，所有买入，能够买120÷6=20（万）份，在
此时赢利20×2=40 万，
乙在 4 元时，买入，能够买（ 120+40 ）÷4=40（万）份，在 t4时辰，所有卖出，此时赢利
40×2=80 万，
共赢利 40+80=120 万，
应选： C
【评论】此题主要考察函数的应用问题，读懂题意，成立数学模型是解决此题的重点．
10．已知定义在R 上的函数 f（ x），若对于随意x1，x2∈R，且 x1≠x2，都有 x1 f（ x1）+x 2f（ x2）＞x1f （ x2） +x 2f（ x1），那么函数f（ x）称为“Ω函数”．给出以下函数：
① f （ x ） =cosx ；
② f （ x ） =2x
；
③ f （ x ） =x|x|；
2
④ f （ x ） =ln （ x +1）．
此中 “Ω函数 ”的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3
D ． 4
【考点】 函数单一性的性质．
【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【剖析】 依据条件能够获取，对于随意的 x ， x R
x x ，都有（ x ﹣ x ） [f （ x ）﹣ f
1
1 2
1
2∈ ，且
1≠ 2
（x 2） ]＞ 0，进而得出 f （ x ）在 R 上为增函数，这样依据余弦函数，指数函数，二次函数，
以及对数函数，复合函数的单一性判断每个函数在 R 上的单一性，进而即可得出 “Ω函
数 ” 的个数．
【解答】 解：对于随意 x ， x ∈R ，且 x ≠x ， x f x ）+x f
（ x ）＞ x f
x ） +x f x ）恒
1
2
1 2 1 （ 1 2 2
1 （ 2
2 （ 1
成立；
∴（ x 1﹣ x 2）[f （ x 1 ）﹣ f （ x 2） ]＞ 0 恒成立；
∴f （x ）在 R 上为增函数；
① f （ x ） =cosx 在 R 上没有单一性，∴该函数不是
“Ω函数 ”；
② f （ x ） =2x
在 R 上为增函数，∴该函数是 “Ω函数 ”；
③
；
∴f （x ）在 [0， +∞）上单一递加，在（﹣ ∞， 0）上单一递加，且 02=﹣ 02
；
∴f （x ）在 R 上为增函数，∴该函数是 “Ω函数 ”；
2
2
在 R 上没有单一性；
④ 令 x +1=t ， t ≥1，则 y=lnt 在 [1， +∞）上单一递加，而
t=x +1
∴f （x ）在 R 上没有单一性，∴该函数不是 “Ω函
数 ”；
∴“Ω函数 ”的个数是 2．
应选： B ．
【评论】 考察增函数的定义，余弦函数、指数函数、二次函数，以及对数函数和复合函数的单一性，含绝对值函数的办理方法：去绝对值号，分段函数单一性的判断．
二、填空题：本大题共 6 小题，每题 6 分，共 30 分.
11．已知函数 f （ x ） =x a
的图象经过点
，那么实数 a 的值等于 ﹣ 3 ．
【考点】 幂函数的观点、分析式、定义域、值域．
【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【剖析】 据幂函数 f （ x ）=x a
的图象经过点（ 3，
），联合指数的运算性质，可得答案．
【解答】 解：：∵幂函数 f （ x ） =x a
的图象经过点
，
∴ 3a
= =3 ﹣3，
解得： a=﹣ 3， 故答案为：﹣ 3
【评论】 此题考察的知识点是幂函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．
12．已知，且，那么tanα=．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用引诱公式化简求值．
【专题】转变思想；综合法；三角函数的求值．
【剖析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】解：∵已知=sinα，且，
∴cosα== ，
那么 tanα== ，
故答案为：．
【评论】此题主要考察同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
13．已知函数假如f（x0）=16，那么实数x0的值是﹣2．
【考点】函数的值．
【专题】分类议论；转变思想；函数的性质及应用．
【剖析】对 x 分类议论，利用分段函数的性质即可得出．
【解答】解：当 x＜3 时，﹣8x =16
，解得x=2
00﹣，知足条件．
当 x≥3 时，=16，解得 x0=2，不知足条件．
综上可得： x =2
0﹣．
故答案为：﹣2．
【评论】此题考察了分段函数的性质，考察了分类议论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
14f x
）=sin x+=
．已知函数（（ω φ）（）的部分图象如下图，那么ω2 ，φ=．
【考点】由 y=Asin （ωx+φ）的部分图象确立其分析式．
【专题】数形联合；转变法；三角函数的图像与性质．
【剖析】依据三角函数图象确立函数的周期以及函数过定点坐标，代入进行求解即可．
【解答】解：函数的周期T=﹣=π，即，
则ω=2， x=时，f（）=sin（2×+φ） =，
即 sin（ +φ） = ，
∵|φ|＜，
∴﹣＜φ＜，
则﹣＜+φ＜，
则+φ=，
即φ=，
故答案为：．
依据三角函数的图象确立函数的周期是解决
【评论】此题主要考察三角函数分析式的求解，
此题的重点．
15．如图，在 6×6 的方格中，已知向量，，的起点和终点均在格点，且知足向量=x+y （x， y∈R），那么 x+y= 3 ．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】数形联合；数形联合法；平面向量及应用．
【剖析】取相互垂直的两个单位向量，用单位向量表示出三个向量，属于平面向量的基本定理
列出方程组解出 x， y．
【解答】解：分别设方向水平向右和向上的单位向量为，则=2 ﹣，=，=4+3．
又∵=x +y =（2x+y ）+（ 2y﹣ x），∴，解得．
∴x+y=3 ．
故答案为： 3．
【评论】此题考察了平面向量的基本定理，属于基础题．
16．已知函数 f （ x）的定义域为 D ，若同时知足以下两个条件：
①函数 f （ x）在 D 内是单一递减函数；
② 存在区间 [a ，b]? D ，使函数 f （ x ）在 [a ， b] 内的值域是 [ ﹣ b ，﹣ a] ．
那么称函数 f （x ）为 “W 函数 ”．
已知函数
为“W 函数 ”．
（1 ）当 k=0 时， b ﹣a 的值是 1 ；
（2 ）实数 k 的取值范围是
（
] ．
【考点】 函数单一性的性质；函数的值域．
【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【剖析】（ 1 ）由题意可看出，对于 “W 函数 ”有，方程 f （ x ）=﹣ x 在定义域 D 上起码有两个 不一样实数根，而
且 a ， b 便为方程 f （ x ）=﹣ x 的实数根， k=0 时，解方程 即可得 出 a ， b 的值，进而求出 b ﹣ a 的值；
（2）可令
，（t ≥0），进而获取方程﹣ t ﹣ k= ﹣t 2，即一元二次方程 t 2
﹣ t ﹣ k=0 在 [0，+∞）
上有两个不一样实数根，进而可获取 ，解该不等式组即可得出实数
k 的取值
范围．
【解答】 解：依据题意知， “W 函数 ”在定义域 D 上需知足：方程 f （x ） =﹣x 起码有两个不
同的实数根；
（1） k=0 时，解
得， x=0，或 1；
∴a=0， b=1；
∴b ﹣ a=1；
得，﹣ t ﹣ k= ﹣ t 2
；
（2 ）令
，由方程
∴t 2
﹣ t ﹣ k=0 在 [0， +∞）上有两个不一样实数根；
设 g （ t ） =t 2
﹣ t ﹣ k ，则：
；
解得
；
∴实数 k 的取值范围为
．
故答案为： 1，（
，0] ．
【评论】 考察对 “W 函数 ”定义的理解， 减函数的定义， 清楚 y=﹣ x 在 [a ，b]上的值域为 [﹣ b ，
﹣a] ，换元法将无理方程变为有理方程的方法， 一元二次方程实数根的个数和鉴别式 △ 取值的关系，要熟习二次函数的图象．
三、解答题（共 5 个小题，共 70 分）
17．已知向量 =（ 2，﹣ 1）， =（ 1， x ）． （Ⅰ）若 ⊥（ + ），求 | |的值； （Ⅱ）若
+2 =（ 4，﹣ 7），求向量 与 夹角的大小．
【考点】 平面向量数目积的运算．
【专题】 方程思想；向量法；平面向量及应用．
【剖析】（ I ）由向量的加法和向量垂直的条件：数目积为 0，可得 x=7 ，再由向量的模的公
式计算即可获取所求；
（II ）运用向量的加法运算，可得x= ﹣ 3，再由向量的夹角公式cos＜，＞=，
计算即可获取所求夹角．
【解答】解：（ I）依题意可得，+ =（3，﹣ 1+x ），
由⊥（ + ），可得，?（ +） =0，
即 6+1﹣ x=0，
解得 x=7 ，即 =（1， 7），
因此；
（II ）依题意 +2 =（ 4， 2x﹣ 1） =（4，﹣ 7），
可得 x= ﹣ 3，即 =（ 1，﹣ 3），
因此 cos＜，＞ === ，
由于＜，＞∈[0，π]，
因此与的夹角大小是．
【评论】此题考察向量的数目积的运算，主要考察向量的模的求法和夹角的求法，考察运算能力，属于中档题．
18．已知函数．
（I）求函数 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）
求函数 f （ x）的单一递加区间；
（Ⅲ）当时，求函数 f （x）的最小值，并求出使y=f （ x）获得最小值时相应
的 x 值．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】转变思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【剖析】（ I ）由条件利用正弦函数的周期性求得函数 f （x）的最小正周期．
（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单一性求得函数f（ x）的单一递加区间．
（Ⅲ）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（ x）的最小值，以及此时相应的x 值．
【解答】解：（ I）对于函数，它的最小正周期为．（II ）令，求得
，即．
因此函数f（x）的单一递加区间是（k∈Z）．
（III ）∵，∴，即．
因此函数 f （ x）的最小值是，此时，．
【评论】此题主要考察正弦函数的周期性，正弦函数的单一性，正弦函数的定义域和值域，
属于基础题．
19．已知函数．
（Ⅰ）求 f（1）的值；
（Ⅱ）判断函数 f （ x）的奇偶性，并加以证明；
（Ⅲ）若 f （ 2x）＞ 0，务实数 x 的取值范围．
【考点】对数函数的图象与性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【剖析】（ I ）将 x=1 代入 f（ x）计算；
（II ）先判判定义域能否对于原点对称，再化简 f （﹣ x），判断 f（﹣ x）与 f（ x）的关系；（III ）利用函数的单一性和定义域列出不等式组解出．
【解答】解：（Ⅰ） f（ 1） =log4+log 2=﹣2﹣ 1=﹣3．
（Ⅱ）函数 f（ x）是偶函数．
证明：由函数存心义得，解得﹣ 3＜ x＜ 3，
∴函数 f（ x）的定义域为 {x| ﹣3＜ x＜ 3} ．
∵f （﹣ x） ==f （ x），
∴函数是偶函数．
（Ⅲ）由 f（2x）＞ 0可得．
∴，解得，或．
∴x 的取值范围是（﹣，﹣）∪（，）．
【评论】问题考察了对数运算，对数函数的性质，函数单一性的应用，属于中档题．
20．据市场检查发现，某种产品在投放市场的30 天中，其销售价钱P（元）和时间t （ t ∈N ）（天）的关系如下图．
（I ）求销售价钱P（元）和时间（Ⅱ）若日销售量Q（件）与时间产品投放市场第几日时，日销售额t （天）的函数关系式；
t（天）的函数关系式是Q=﹣ t+40（0≤t≤30，t∈N ），问该y（元）最高，且最高为多少元？
【考点】 函数分析式的求解及常用方法． 【 】 函数思想； 合法；函数的性 及 用． 【剖析】（Ⅰ）通
t 的范 ，求出函数的表达式即可；
（Ⅱ）先求出函数的表达式，通
t 的范 ，求出函数的最大 即可．
【解答】 解：（ I ） ① 当 0≤t ＜ 20， t ∈N ，
P=at+b ，将（ 0， 20），代入，得
解得
因此 P=t+20 （0≤t ＜20， t ∈N ）． ⋯．
② 当 20≤t ≤30， t ∈N ，
P=at+b ，将，（ 30， 30）代入，解得因此 P= t+60， ⋯．
上所述
⋯
．
（ II ）依 意，有 y=P?Q ，
得 ⋯．
化 得
整理得
⋯
．
① 当 0≤t ＜ 20， t ∈N ，由 y= （ t 10） 2
+900 可得，当 t=10 ， y 有最大
900 元． ⋯
② 当 20≤t ≤30， t ∈N ，由 y= （ t 50）2
100 可得，当 t=20 ， y 有最大
800 元． ⋯．
因 900＞800，因此在第 10 天 ，日 售 最大，最大 900 元． ⋯．
【点 】 本 考 了求函数的表达式 ，
考 分段函数， 函数的最 ， 是一道中档 ．
21．已知函数
f （ x ）， 于随意的 x ，y ∈R ，都有 f （ x+y ）=f （x ） +f （ y ），当 x ＞ 0 ， f （ x ）
＜0，且
．
（Ⅰ） 求 f （0）， f （ 3）的 ；
（Ⅱ）
当 8≤x ≤10 ，求函数
f （ x ）的最大 和最小 ；
（Ⅲ） 函数 g （ x ）=f （ x 2
m ） 2f （ |x|），判断函数 g （ x ）最多有几个零点，并求出此 数 m 的取 范 ．
【考点】 抽象函数及其 用．
【 】 函数思想；定 法；函数的性 及 用． 【剖析】（Ⅰ）依据条件，取特别 求解；
（Ⅱ）依据定 ，判断函数的 性， 而求出函数的最 ；
（Ⅲ）依据定 ，判断函数 奇函数，得出 g （x ） =f （ x 2 2|x| m ），令 g （ x ） =0 即 f （ x 2
2|x| m ） =0=f （ 0），依据 性可得
x 2
2|x| m=0，依据二次函数的性 可知最多有
4 个零点，且 m ∈（
1， 0）．
【解答】 解：（ I ）令 x=y=0 得 f （ 0）=f （0） +f （ 0），得 f （ 0） =0． ⋯．
令 x=y=1 ，得 f （ 2） =2f （1） = 1， ⋯．
令 x=2 ， y=1 得
． ⋯
（II ）任取 x 1， x 2∈R ，且 x 1＜ x 2， x 2 x 1＞ 0，
因 f （ x+y f x ） =f y f （ x+y f x ） =f[ （ x+y
） x =f
y
），
） （ （ ），即 ） （ ] （ f （x 2） f （ x 1） =f （ x 2 x 1）．⋯
由已知 x ＞0 ， f （ x ）＜ 0 且 x 2 x 1＞ 0， f （ x 2 x 1）＜ 0，
因此 f （ x 2） f （ x 1）＜ 0， f （x 2）＜ f （ x 1）， 因此 函数 f （x ）在 R 上是减函数， ⋯． 故 f （ x ）在 [
8，10] 减．
因此 f （ x ） max =f （ 8）， f （x ） min =f （ 10）， 又
， ⋯．
由 f （0） =f （ 1
1） =f （ 1） +f （ 1） =0，得
，
，
故 f （x ） max =4 ， f （ x ） min = 5． ⋯．
（ III ） 令 y= x ，代入 f （ x+y ） =f （ x ） +f （ y ），得 f （x ） +f
（ x ） =f （ 0） =0， 因此 f （ x ）=
f （ x ），故 f （x ） 奇函数． ⋯．，
∴ g （ x ）=f （ x 2 m ） 2f （ |x|） =f （ x 2 m ）+2f （ |x|） =f （ x 2 m ）+f （ |x|） +f （ |x|） =f （ x 2
2|x| m ） ⋯．
令 g （ x ）=0 即 f （ x 2
2|x| m ） =0=f （ 0），因 函数 f
（x ）在 R 上是减函数， ⋯．
因此 x 2 2|x| m=0，即 m=x 2
2|x|， ⋯．
因此 当 m ∈（ 1， 0） ，函数 g （ x ）最多有 4 个零点． ⋯．
【点 】 考 了抽象函数的 性和奇偶性的判断， 点是利用定 解决 的能力．。