江西省师大附中2010届高三第三次模拟(数学文)

江西师大附中
2010届高三第三次模拟考试
数学试题（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的． 1．已知全集U =R ，集合A
={x y =，B ={}lg ,10y y x x =>，则图示中阴影部分表示的集合为 （ ） A ．φ B ．[0, 1）
C ．[0, 2]
D ．（1, 2]
2．若{}n a 为等差数列，384,19a a ==，则数列{}n a 的前10项和为 （ ）
A ．230
B ．140
C ．115
D ．95 3．如果命题“p 且q ”为真命题，那么下列结论中正确的是 （ ）
①“p 或q ”为真命题； ②“p 或q ”为假命题； ③“非p 或非q ”为真命题； ④“非p 或非q ”为假命题． A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 4．已知cos tan 0αα<且5
tan 12
α=-，则sin α= （ ）
A ．15
B ．22cos y x =
C ．
513
D ．513
-
5．把函数1
()2
x f x x -=
+的图象按向量(2,1)a =平移后得到函数()g x 的图象，又()g x 的反函数为1()g x -，则1(1)g -=
（ ） A ．3 B ．-3
C ．-1
D ．-7 6
．函数[]()cos ,,0f x x x x π=∈-的减区间是
（ ）
A ．2,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
B ．2,3
3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,06π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
7．从5名学生中选出3人参加数学、物理、化学三科竞赛，每人1科，若学生甲不能参加物
理竞赛，则不同的参赛方案共有（ ）种． （ ） A ．24 B ．28 C ．48 D ．72
8．过点P （2，1）的直线与抛物线28y x =交于A 、B 两点，且0PA PB +=，则此直线的方程为 （ ）
A ．420x y -+=
B ．470x y --=
C ．860x y -+=
D ．8150x y --=
9．某外商到一开发区投资25万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年支出各种经费6万美元，以
后每年支出增加2万美元，每年销售蔬菜收入30万美元，则该外商经营（ ）年所获的平均利润最大． （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 10．如右图，直角三角形ABC 的边AC ＝3，BC ＝4，
90ACB ∠=，三顶点在球O 表面上，若OC 与三 角形ABC 所在平面成30的角，则球O 的表面积 为 （ ）
A ．50
9
π B ．50
3π
C ．
100
3
π D ．
100
9
π 11．若n 为函数()3612f x x x x =-+-+-的最小值，则二项式22
()n x x
+的展开式中的常数项
是 （ ） A ．12 B ．240 C ．2688 D ．5376 12．已知双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>的离心率为e ，左、右两焦点分别为12F F 、，焦距为
2c ，抛物线C 以2F 为顶点，1F 为焦点,点P 为抛物线与双曲线右支上的一个交点，若
22111a PF c PF a +=，则e 的值为
（ ）
A
B ．3
C
D ．2
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上．
13．某厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比为2:3:4，现用分层抽样的方法
抽出一个容量为n 的样本，样本中A 产品有10件，那么此样本容量n =______________． 14．已知平面向量()()1,2,1,1a b ==-，若()
a a
b λ⊥+，则实数λ的值为_______．
15．在平面直角坐标系中，不等式组0
40x y x y x a +≥-+≥≤⎧⎪
⎨⎪⎩
表示的平面区域为M ，M 的边界所围成图形
的外接圆面积是36π，那么实数a 的值为______________．
16．四面体ABCD 中，有如下命题：①若AC ⊥BD ，AB ⊥CD 则AD ⊥BC ；②若E 、F 、G 分
别是BC 、AB 、CD 的中点，则∠FEG 的大小等于异面直线AC 与BD 所成角的大小；③若点O 是四面体ABCD 外接球的球心，则O 在平面ABD 上的射影是△ABD 的外心；④若四个面是全等的三角形，则四面体ABCD 是正四面体．其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤． 17．（本小题12分）
已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且
tan tan tan tan A B b c
A B c
-+=
+． （1）求角A ；
（2）若6BA AC ⋅=,求a 的最小值．
18．（本小题12分）
A B
D
C F E
2010年上海世博会园区共有A 、B 、C 、D 、E 五个展区，5月1日开幕后，观众如潮，截止5月20日已有500多万人参观了世博会园区，统计结果表明：其中90%的人参观了A 区，50%的人参观了B 区，60%的人参观了C 区，……．据此规律，现有甲、乙、丙、丁4人去世博会园区参观，且假设4人参观是相互独立的，试求： （1）这4人中恰有两人参观了A 展区的概率;
（2）这4人中恰有两人参观了A 、B 、C 展区中的两个的概率（精确到0．0001）． （参考数据：2462116=，2482304=，2522704=，2542916=） 19．（本小题12分） 如右图，已知ABCD 为正方形，AE ABCD ⊥平面，DF ABCD ⊥平面，22AD DF AE ===． （1）求证：平面BEF ⊥平面BDF ； （2）求点A 到平面BEF 的距离； （3）求平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的大小．
20．（本小题12分）
已知函数3()f x ax bx c R =++为上的奇函数，且当x =1时，有极小值-1；函数
3133
()(,0)22g x x x t t R t t
=-++-∈≠
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若对于任意x ∈[－2，2]，恒有()()f x g x >，求t 的取值范围． 21．（本小题12分）
椭圆C 的中心在原点O ，焦点在y
轴上，，直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，又与椭圆C 交于相异两点A 、B 且AP PB λ=． （1）求椭圆方程；
（2）若4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围．
22．（本小题14分）
已知函数2()2f x x x =+．
（1）数列11{}:1,(),n n n a a a f a +'==满足求数列{}n a 的通项公式；
（2）已知数列11{}0,()(*)n n n b b t b f b n N +=>=∈满足，求数列{}n b 的通项公式； （3）在（2）的条件下，设1
1
,{}n n n n b c c b ++=
数列的前n 项和为S n ，若不等式n S λ<对所有的正整数n 恒成立，求λ的取值范围．
参考答案
一、选择题：DCBDA CCBAC DD
二、填空题：13．45；14．5λ=-；15．4； 16．①③；
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤． 17．解：（1）c
c
b B A B A +=
+-tan tan tan tan
C C
B A B B A A B B A sin sin sin cos sin cos sin cos sin cos sin +=
+-∴ C
C
B B A A B B A sin sin sin )sin(cos sin cos sin +=+-∴
0sin )sin(>=+C B A
)sin(sin cos sin cos sin B A B A B B A ++=-∴
B B A sin sin cos 2-=∴ 0sin >B 21cos -=∴A ),0(π∈A 3
2π
=
∴A （2）6=⋅ 660cos =⋅∴
bc 12=∴bc
A bc c b a cos 2222-+= 363222=≥++=∴bc bc c b a
当且仅当32==c b 时，6min =a ． 18．解：（1）0486.010000
486
)101()109(
222
41===C P 答：这4人中恰有两人参观了A 展区的概率为0．0486．
（2）先求某个人参观了A 、B 、C 展区中的两个的概率为：
100
48
106105101106105109104105109=
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 则这4人中恰有两人参观了A 、B 、C 展区中的两个的概率为：
3738.0)100
481()10048(22
242≈-=C P
答：这4人中恰有两人参观了A 、B 、C 展区中的两个的概率约为0．3738．
19．解：（1）连AC 交BD 于O ,取BF 的中点G ，连EG
DF OG 21// ,DF AE 21
//AE OG //∴
是平行四边形四边形AOGE ∴EG AO //∴ ABCD DF 平面⊥ AO DF ⊥∴BD AO ⊥又 BDF AO 平面⊥∴BDF EG 平面⊥∴ BEF EG 平面⊂ BDF BEF 平面平面⊥∴
（2）由（1）知AO //EG BEF AO 平面//∴
O ∴到平面BEF 的距离就是A 到平面BEF 的距离
过O 作H BF OH 于⊥BDF BEF 平面平面⊥ BEF OH 平面⊥∴
BFD BOH ∆∆~ BF
OB
DF OH =
∴
36=∴OH 即点A 到平面BEF 的距离为
3
6
． （3）设平面BEF 与平面BCD 所成的角为θ
3
6
cos =
=
∆∆BEF ABD S S θ ∴平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的大小为3
6
arccos
20．解：（1）由0)()(=⇒-=-c x f x f
由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-==
⇒⎩⎨⎧-=+==+='23
211)1(03)1(b a b a f b a f ∴x x x f 2321)(3-= 经检验在x =1时，)(x f 有极小值－1， ∴x x x f 2
3
21)(3-=
（2）设,33)(,3
3)()()(23
-='+--=-=x x h t
t x x x g x f x h 则 令11033)(2
-<>>-='x x x x h 或得 , 令11033)(2<<-<-='x x x h 得
所以)(x h 在区间[－2，－1]及[1，2]上的增函数，在区间[－1，1]上的减函数，
{}t
t h h h x h 32)1()1(),2(min )(min +
--==-=∴ 使对于任意∈x [－2，2]，恒有)()(x g x f >,则032)1(>+--=t
t h 解得103<<-<t t 或 )1,0()3,( --∞∈∴t
21．解：（1）设椭圆C 的方程为22
,22)0(1222222===->>=+a c c b c c a b a b
x a y ∴=
==∴2
2
,1c b a 椭圆C 的方程为1222=+x y ………………4分
（2）由λλλλ+=+-=-=)1()(即得 当O 、A 、B 不共线时 ， 3,41==+λλ ，0≠m 设l 与椭圆C 交点为),(),,(2211y x B y x A
将012)2(122
2
2
2
2
=-+++=++=m kmx x k y x m kx y 得代入
0)22(4)1)(2(4)2(22222>+-=-+-=∆∴m k m k km
即222
2
->m k ①
则2
1
,222221221+-=+-=+k m x x k km x x ⎩⎨⎧-=-=+∴=-∴=22
212
21213233x x x x x x x x PB AP
消去2x 得 02
1
4)22(304)(32222
212
21=+-++-∴=++k m k km x x x x 即02242
222=--+k m m k ， 若4
12
=
m ， 02242
222<--+k m m k 1
422,412
22
2
--=≠∴m m k m 时 代入①得 221
42222
2->--m m m 1412
<<∴m 12
1
211<<-<<-∴m m 或………………………………10分
当O 、A 、B 共线时，1=λ，此时0=m
综上所述{}0)1,2
1
()21,1( --∈m ………………………………12分
22．解：（I ）()22f x x '=+，………1分
122n n a a +∴=+ 122(2)n n a a +∴+=+ 11{2},2(2)2n n n a a a -+∴+=+为等比数列 1322n n a -∴=⋅-…………4分
（Ⅱ）由已知得0n b >， 2
11(1),n n b b ++=+……1分
1lg(1)2lg(1),n n b b +∴+=+
∴又1lg(1)lg(1)0,b t +=+≠
所以{lg(1)}n b +的公比为2的等比数列， ∴1
2(1)1n n b t -=+-………8分
（Ⅲ）
212,k k k b b b +=+1
2,k k k
b b b +∴+=
111
1(2)111
k k k k k k k b b c b b b b +++++-=
==-， n k ,,2,1 = 121223
1
1111
11
(
)()(
)n n n n S c c c b b b b b b +∴=++
+=-+-++-211,(1)1n
t t =-+- 0,t >11,t ∴+>n S n ∴∈在*N 上是增函数
1n S S ∴≥211(1)1t t =-+-21
,2t t t
+=+
又不等式n S <λ对所有的正整数n 恒成立，21
,2t t t
λ+∴<+
故λ的取值范围是(,-∞2
1
)2t t t
++…………14分。