2018届高考数学理科二轮总复习高考小题限时练 2 含解

高考小题限时练2
1．(2017·江苏运河中学质检)设集合M ＝{2,0，x }，集合N ＝{0,1}，若N ⊆M ，则x ＝________. 答案 1
解析 ∵集合M ＝{2,0，x }，N ＝{0,1}，
∴若N ⊆M ，则集合N 中元素均在集合M 中，∴x ＝1.
2．已知集合M ＝{x |x 2－2x <0}，N ＝{x |x <a }，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 [2，＋∞)
解析 M ＝{x |x 2－2x <0}＝(0,2)， 因为M ⊆N ，所以a ≥2.
3．(2017·江苏如东、丰县中学联考)函数f (x )＝log 2x 在点A (1,0)处切线的斜率为________． 答案
1
ln 2
解析 ∵f ′(x )＝1x ln 2，∴k ＝f ′(1)＝1
ln 2
.
4．从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为________． 答案 1
3
解析 从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个，所取2个数的和能被3整除的基本事件有(1,2)，(1,5)，(2,4)，(3,6)，(4,5)，共5个．∴所取2个数的和能被3整除的概率为515＝1
3
.
5．已知Ω1是集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{(x ，y )|y ≤|x |}所表示的区域，向区域Ω1内随机地投一个点，则该点落在Ω2内的概率为________． 答案 34
解析 区域Ω1是半径为1的圆面，其中在区域Ω2内的部分是34个圆面，故所求的概率是3
4.
6．如图是一个算法流程图，则输出S 的值是________．
答案 1 326
解析 初始值S ＝4，k ＝2；第一次循环，S ＝4>8×2＋5＝21不成立．S ＝42－5＝11，k ＝2＋1＝3；第二次循环，S ＝11>8×3＋5＝29不成立，S ＝113－5＝1 326，k ＝3＋1＝4；第三次循环，S ＝1 326>8×4＋5＝37成立，此时结束循环．故输出S 的值是1 326. 7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，
3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为________．
答案 6
解析 由约束条件作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，
目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－2
5x ，
平移该直线，易知经过点A 时z 最小．
又知点A 的坐标为(3,0)，∴z min ＝2×3＋5×0＝6.
8．若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心
率的取值范围是__________． 答案 [3，＋∞)
解析 依题意可知双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a x ，
与抛物线方程联立消去y ，得x 2±b
a
x ＋2＝0.
∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝b 2
a 2－8≥0，求得
b 2≥8a 2，
∴c ＝a 2＋b 2≥3a ，∴e ＝c
a
≥3.
9．已知角α，β满足tan αtan β＝－4，cos(α＋β)＝1
3，则cos(α－β)＝________.
答案 －1
5
解析 方法一 设cos(α－β)＝x ，即 cos αcos β＋sin αsin β＝x .①
又cos(α＋β)＝13，即cos αcos β－sin αsin β＝1
3.②
由①②得cos αcos β＝16＋x 2，sin αsin β＝x 2－1
6，
所以tan αtan β＝x 2－16x 2＋16＝－4，解得x ＝－1
5.
方法二 由tan αtan β＝－4，得 sin αsin β＝－4cos αcos β，①
由cos(α＋β)＝13，得cos αcos β－sin αsin β＝1
3.②
由①②得cos αcos β＝115，sin αsin β＝－4
15，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－1
5
.
10．已知函数f (x )＝x 2－4x 的图象上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1<x 2，若曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则3x 1－2x 2的最大值是________． 答案 2－ 6
解析 由题意得f ′(x )＝2x －4，
因为曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直， 所以x 1≠2，x 2≠2，(2x 1－4)·(2x 2－4)＝－1. 又x 1<x 2，所以2x 1－4<0,2x 2－4>0，x 1＝－14x 2－8＋2，
则3x 1－2x 2＝3×⎝
⎛⎭
⎪⎫－14x 2－8＋2－2x 2＝－2x 2
－34x 2－8＋6
＝－⎣⎡⎦
⎤12(4x 2－8)＋3
4x 2
－8＋2
≤－2
12(4x 2－8)·34x 2－8
＋2＝2－6， 当且仅当12(4x 2－8)＝3
4x 2－8
时，上式取等号，因此3x 1－2x 2的最大值为2－ 6.
11．已知公差为2的等差数列{a n }及公比为2的等比数列{b n }满足a 1＋b 1>0，a 2＋b 2<0，则a 3＋b 3的取值范围是________．
答案 (－∞，－2)
解析 ∵a 1＋b 1>0，a 2＋b 2＝a 1＋2＋2b 1<0， ∴0<a 1＋b 1<－2－b 1，b 1<－2，b 2＝2b 1<－4.
∴a 3＋b 3＝a 2＋2＋2b 2＝a 2＋b 2＋2＋b 2<0＋2－4＝－2， 则a 3＋b 3的取值范围是(－∞，－2)．
12．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，P 为边CD 上的一个动点(含端点C ，D )，则AP →·BP →
的取值范围是________． 答案 [0,1]
解析 方法一 由题意得当点P 与点D 或点C 重合时，AP →·BP →取得最大值，且最大值为AD →·BD →＝|AD →|·|BD →|·cos 〈AD →，BD →〉＝1×5×15＝1；当P 在DC 的中点时，AP →·BP →取得最小值，且
最小值为AP →·BP →＝|AP →|·|BP →|·cos 90°＝0.故AP →·BP →
的取值范围为[0,1]． 方法二 以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
A (0,0)，
B (2,0)，设P (x,1)，x ∈[0,2]．
AP →·BP →＝x (x －2)＋1＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2∈[0,1]．
13．已知在三角形ABC 中，AC ⊥AB ，AB ＝3，AC ＝4.若点P 在三角形ABC 的内切圆上运动，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值为________． 答案 －2
解析 因为AC ⊥AB ，所以以A 为坐标原点，AB ，AC 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，
则A (0,0)，B (3,0)，C (0,4)．
由题意可知三角形ABC 的内切圆的圆心为(1,1)，半径为1. 因为点P 在三角形的内切圆上运动， 所以可设P (1＋cos θ，1＋sin θ)(0≤θ<2π)．
所以P A →·(PB →＋PC →)＝(－1－cos θ)·(1－2cos θ)＋(－1－sin θ)(2－2sin θ)＝－1＋cos θ＋2cos 2θ－2＋2sin 2θ＝－1＋cos θ≥－1－1＝－2，
当且仅当cos θ＝－1，即P (0,1)时，P A →·(PB →＋PC →)取到最小值，且最小值为－2.
14．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x e ax
，x <0，x e x ，x ≥0的图象过点⎝⎛⎭⎫－1，1
e (其中e 为自然对数的底数)，若关于x 的方程[
f (x )]2－mf (x )＋1＝0(m ∈R )有四个不同的实数根，则实数m 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭
⎫e 2
＋1
e ，＋∞
解析 由题意可得a ＝1，所以f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x e x
，x <0，
x e x ，x ≥0.
当x ≥0时，f ′(x )＝e x ＋x e x >0恒成立，所以f (x )在区间[0，＋∞)上为增函数；当x <0，f ′(x )＝－e x －x e x ＝－e x (x ＋1)，
由f ′(x )＝0，得x ＝－1，当x ＝(－∞，－1)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，
f (x )为减函数，所以函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x e x
，x <0，x e x ，x ≥0在(－∞，0)上有一个极大值f (－1)＝1
e ，
结合函数图象(图略)，得要使方程[f (x )]2－mf (x )＋1＝0(m ∈R )有四个不同的实数根， 令f (x )＝t ，则方程t 2－mt ＋1＝0有两个不相等的实根，且一个根在⎝⎛⎭
⎫0，1
e 内，一个根在⎝⎛⎭
⎫1e ，＋∞内．
令g (t )＝t 2－mt ＋1，因为g (0)＝1>0， 则只需g ⎝⎛⎭⎫1e <0，即⎝⎛⎭⎫1e 2－m ×1e
＋1<0， 解得m >e 2＋1e ，所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭
⎫e 2＋1e ，＋∞.。