版：山东省山东师范大学附属中学2019届高三上学期第二次模拟考试理数试题解析(解析版)

第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合{
}
(
){
}
2
2
2230,log 1,=A x x x B x x x A B =--≤=->⋂则（ ）
A. ()23，
B. (]23，
C. ()32--，
D. [)32--，
【答案】B
考点：集合的交集运算.
2.若()()sin 2f x x θ=+，则“()f x 的图象关于3
x π
=对称”是“6
π
θ=-
”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【答案】B 【解析】
试题分析：()f x 的图象关于3
x π
=
对称，'03f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
22cos 0,,3326k k z k ππππθθπθπ⎛⎫
∴+=∴+=+∈=-+ ⎪⎝⎭
，
50,;1,;66
k k ππ
θθ==-==
考点：充分必要条件.
3.已知()(),ln 1x
f x e x
g x x x =-=++，命题():,0p x R f x ∀∈>，命题()0:0,q x ∃∈+∞，
使得()00g x =，则下列说法准确的是（ ） A.p 是真命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈< B. p 是假命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤ C. q 是真命题，()():0,,0q x g x ⌝∀∈+∞≠ D. q 是假命题，()():0,,0q x g x ⌝∀∈+∞≠ 【答案】
C
考点：命题的真假、命题的否定. 4.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2
3cos cos 2tan 210
πααα⎛⎫++== ⎪⎝⎭，则（ ）
A.
12 B.
13
C.
14
D.
15
【答案】B 【解析】 试题分析：103)22cos(cos
2
=++απα，23
cos 2sin cos 10
ααα-=
2
212tan 33tan 20tan 701tan 10αααα-=⇒+-=+所以
()1tan ,tan 73
αα==-舍 考点：齐次式.
5.设,x y 满足约束条件2
31,1x x y y x ≥⎧⎪
-≤⎨⎪≥+⎩
则下列不等式恒成立的是（ ）
A. 3x ≥
B. 4y ≥
C. 280x y +-≥
D. 210x y -+≥
【答案】C
【解析】
试题分析：,x y 满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪
-≤⎨⎪≥+⎩
的区域如图所示，整个区域在直线280x y +-=的上
方，所以选C.
考点：线性规划. 6.将函数()sin 6f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数()g x 图象的一个对称中心能够是（ ） A. ,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B. 5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
C. ,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D. 2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】
C
考点：三角函数图象的平移、三角函数的对称中心. 7.设函数()2x
x
f x e e
x -=--下列结论准确的是（ ）
A. ()()min 20f x f =
B. ()()max 20f x f =
C. ()()2f x -∞+∞在，
上递减，无极值D. ()()2f x -∞+∞在，上递增，无极值 【答案】D 【解析】
试题分析：(
)22'222440x
x f x e e -=+-≥=，()f x 在(),-∞+∞上递增，无极
值
考点：函数的最值和极值. 8.1
1y x
=-的图象与()2sin 24y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和为（ ） A.2
B.4
C.6
D.8
【答案】
D
考点：函数图象.
【方法点睛】函数的零点：1.对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.
2.零点存有性定理：如果函数()y f x =在区间(,)a b 上的图象是连续持续一条曲线，并且有()()0f a f b <，
那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存有(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.
3.要求函数()()f x g x =的零点个数，能够转化为()y f x =与()y g x =函数图象的交点个数.
9.若函数()()()()
201
0x a x f x x a
x x ⎧-≤⎪
=⎨++>⎪⎩
的最小值为()0f ，则实数a 的取值范围（ ）
A. []1,2-
B. []1,0-
C. []1,2
D. []0,2
【答案】D
【解析】
试题分析：()()()min 00a f x f a f <=≠当时，，所以0a ≥；
()()()()2min 1
0,2020x f x x a a
f x f a f a x
>=++≥+=∴+≥=
解得12a -≤≤02a ∴≤≤ 考点：分段函数的最值.
【思路点睛】由分段函数可得当0x =时，2
(0)f a =，因为(0)f 是()f x 的最小值，则(,0]-∞为减函数，即有0a ≥，则有21
a x a x
≤+
+，0x >恒成立，使用基本不等式，即可得到右边的最小值2a +，解不等式22a a ≤+，即可得到a 的取值范围.
10.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当10,2
x ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
时，
()()2log 1f x x =+，则()f x 在区间31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
内是（ ）
A.减函数且()0f x <
B. 减函数且()0f x >
C.增函数且()0f x >
D. 增函数且()0f x <
【答案】A
考点：函数的奇偶性、单调性、周期性.
【思路点睛】本题主要考查函数综合、函数的奇偶性、单调性、周期性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的水平，根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性，得出()f x 在3(1,)2上的图象和1(1,)2
--上的图象相同，利用条件、奇偶性、对数函数、单调性之间的关系即可得到结论.
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.已知函数()lg 12x
a f x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的定义域是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，则实数a 的值为________.
【解析】 试题分析：∵102
x
a -
>，∴2x a >，当0a ≤时，定义域为∞∞（-,+）
，与题设矛盾，
221
0log log 2
a x a a a ∴>∴>∴=∴=，
考点：函数的定义域、不等式的解法.
12.直线()0y m m =>与函数2log y x =的图象交于()()()112212,,A x y B x y x x <、，下列结论准确的是_________（填序号） ①1201x x <<<；②121x x =；③12
224x
x +<；④12224x x +>
【答案】①②④
考点：函数图象.
13.设()[](]2,0,11,1,x x f x x e x
⎧∈⎪
=⎨∈⎪⎩（其中e 为自然对数的底数），则()0
e f x dx ⎰的值为_______.
【答案】23
- 【解析】 试题分析：
()()1
12310
1
1112ln 1333e
e
e f x dx x dx dx x x x ⎛⎫
=+=-=-=- ⎪⎝⎭⎰
⎰⎰
. 考点：积分的运算.
14.若对于任意的[]0,1x ∈，不等式11
ax bx -≤≤-恒成立，则a 的最小值为______b 的最大值为________. 【答案】1,
2a b ≥
≤
考点：恒成立问题.
【思路点睛】先将对于任意的[]0,1x ∈，不等式11
ax bx -≤
≤-恒成立，转化为111,1
a b x x ⎛⎛≥≤- ⎝⎝
恒成立，构造函数()11f x x ⎛=- ⎝
，用换元法，
t =∈， 将()f x 转化成()
1
1y t t =
+，用配方法求函数的最值，代入即可.
15.定义在R 上的函数()f x 满足()()1121f f x '=<，且，当[]0,2x π∈时，不等式
()2
1
2cos 2cos 22
x f x <-的解集为_____________. 【答案】50,,233πππ⎡⎫⎛⎤
⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
【解析】
试题分析：设()()()()11,''022g x f x x g x f x =-
=-<，()()111122
g f =-= 不等式()2
12cos 2cos
22x f x <-可化为()()()1
2cos cos ,2cos 12
f x x
g x g -<<即
所以()g x 单调递减，2cos 1x >，即1cos 2x >，50,,233x πππ⎡⎫⎛⎤∴∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
. 考点：抽象不等式的解法.
【思路点睛】由()21f x '<转化成()1'02f x -
<，构造函数()()1
2
g x f x x =-，将()2
12cos 2cos 22x f x <-，转化为()1
2cos cos 2
f x x -<，再利用()
g x 的单调性，解不等式，转化为2cos 1x >，最后解三角不等式即可.
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本题满分12分） 已知6
x π
=
是函数()()1
sin cos cos 2
f x a x x x =+-
图象的一条对称轴. （1）求a 的值；
（2）求函数()f x 的单调增区间；
（3）作出函数()f x 在[]0,x π∈上的图象简图（列表，画图）.
【答案】（1）3=a ；（2）[,],36
k k k Z ππ
ππ-
+∈；（3）图象如图所示.
（2）列表 ---------------------------------------------10分
()x f 在],0[π∈x 上的图象简图如下图所示．
………………12分
考点：三角函数中的恒等变换应用、复合三角函数的单调性、倍角公式、两角和与差的正弦公式、三角函数的对称性、三角函数图象. 17.（本题满分12分）
已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示. （1）求函数()y f x =的解析式；
（2）将函数2cos 2y x x =-的图象做怎样的平移变换能够得到函数()f x 的图象； （3）若方程()02f x m π⎡⎤
=-
⎢⎥⎣⎦
在，上有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.
【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
；
（2）向左平移4
π
个单位；（3）2m -<≤
3
πϕ=-------------------------------------------------------5分 ()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭---------------6分 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫
⎝⎛
-=-=342sin 262sin 22cos 2sin 3πππx x x x y
将函数2cos 2y x x -的图象向左平移
4π
个单位就得到函数()f x 的图象----9分
（3）20,22333
x x ππππ-≤≤-≤+≤，()2f x -≤≤-------------11分
若方程()f x m =在[,0]2
π-上有两个不相等的实数根，2m -<≤--------12分 考点：三角函数的图象、三角函数的图象变换、三角函数的最值、两角和与差的正弦公式.
18.（本题满分12分）
设函数()2
=cos sin 2f x x a x -+，若对于任意的实数x ，都有()5f x ≤，求实数a 的范围.
【答案】33a -≤≤
（2）1,22
a a -<->即，()()130,3,23h t h a a a >-=-≥∴≤<≤于是-----8分 （3） 1,22a a -
><-即，()()130,3,2h t h a a a >=+≥∴≥-≤<-于是-3-----11分 综上所述 ：33a -≤≤ ----------------------12分
解法二： ()2
5sin sin 20f x x a x ≤⇒++≥ 设]1,1[,sin -∈∴∈=t R x x t
0=t 时不等式成立;2201,;10,t a t t a t t t
<≤≥---≤<≤-- 设()()2
2
2221',2t t t t g t t t g -=+-=--= ()()()()()
↓+∞↑↑-↓-∞-,2,2,0,0,2,2,在t g ()()()()max min 01,13;10,13t a g t g t a g t g <≤≥==--≤<≤=-=
综上所述 ：33a -≤≤
考点：恒成立问题、二次函数的最值、换元法、利用导数求函数的最值.
19.（本题满分12分）
设函数()()()210x f x ax x e a =+-<
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当1a =-时，函数()()321132y f x g x x x m ==
++与的图像有三个不同的交点，求实数m 的范围.
【答案】（1）详见解析；（2）3116m e -
-<<-. 【解析】
试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的水平、转化水平、计算水平.第一问，对()f x 求导，令()'0f x =，求出方程的2个根为1210,2x x a ==--，讨论12a --和0的大小，分12a =-、102a -<<、12
a <-三种情况讨论，通过'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性；第二问，先将函数
()()321132
y f x g x x x m ==++与的图像有三个不同的交点，转化为()232
11132x m x x e x x -=-+++有三个不同的根，构造函数
()()23211132
x h x x x e x x =-+++， 对()h x 求导，利用'()0h x >和'()0h x <判断函数的单调性，求出函数的极值，结合函数的图象判断直线y m =-与()h x 的交点个数.
（2）1a =-，函数 ()()321132
y f x g x x x m ==++与 的图像有三个不同的交点，等价于()23211132
x m x x e x x -=-+++有三个不同的根 设()()23211132
x h x x x e x x =-+++-----------------------8分 ()()()'11x h x x x e =++，函数()()()(),1,1,0,0,h x -∞-↑-↓+∞↑在
()()()()31=1,=016
h x h h x h e -=+=极大极小-----------------10分 当3116m e --<<-时方程()23211132
x m x x e x x -=-+++有三个不同的根 ----------------------------------------------------------12分
考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值.
【方法点睛】1、函数单调性的判断：函数()y f x =在某个区间内可导，如果'
()0f x >，那么()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么()y f x =在这个区间内单调递减.
2.函数的最大值和最小值：设函数()y f x =是定义在区间[,]a b 上的函数，()y f x =在区间
(,)a b 内有导数，求()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值，可分两步实行：
（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；
（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
20.（本题满分13分）
已知函数()2
ln f x x x x =-+ （1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）若对于任意的0x >，不等式()2112a f x x ax ⎛⎫≤-+-
⎪⎝⎭
的恒成立，求整数a 的最小值. 【答案】（1）(1,)+∞；（2）2.
试题解析：（Ⅰ）解：（Ⅰ）2121()21(0)x x f x x x x x
-++'=-+=> ， 由()0f x '<，得2210x x -->，
又0x >，所以1x >．
所以()f x 的()f x 的单调减区间为(1,)+∞.------------4分 （Ⅱ）令221()()[(1)1]ln (1)122
a g x f x x ax x ax a x =--+-=-+-+， 所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x
-+-+'=-+-=． 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>．
所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，
令1()ln 2h a a a
=-， 因为1(1)02h =
>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <．
所以整数a 的最小值为2． …………………………………………………………12分 解法二.()()恒成立112,,02-+⎪⎭⎫
⎝⎛-≤+∞∈ax x a x f x 所以()3
42231≥∴-≤a a f 又2,≥∴∈a Z a (必要性),----------------------------------------4分
下面证明充分性,当2≥a 时,
设()()()112ln 11222+-+-=+-⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=x a x a x ax x a x f x g ()()x
x a x a a ax x x g 1111'+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-= ()()()()递减递增x g x g a x x g x g a x ,0',,1;,0',1,0<⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞∈>⎪⎭⎫ ⎝⎛∈------8分
()()0ln 2111211ln 1max <-=+-+-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=≤a a a a a a a g x g x g ---------13分 所以不等式成立
考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值.
21.（本题满分14分）
设函数()2
2ln f x x x a x =-+ （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处切的切线方程；
（2）若函数()f x 存有两个极值点()1212x x x x <、，①求实数a 的范围；②证明：()123ln 22
f x x >-- 【答案】（1）23y x =-；（2）102
a <<，证明详见解析.
考点：利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求曲线的切线方程.
【方法点睛】1、导数的几何意义（求曲线的切线方程）：函数在()y f x =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率，即斜率为'0()f x ，过点P 的切线方程为'000()()y y f x x x -=-.
2.求函数的极值：设函数()f x 在点0x 处连续，（1）如果在0x 附近的左侧'
()0f x >，右侧
'()0f x <，那么0()f x 是极大值；（2）如果在0x 附近的左侧'()0f x <，右侧'()0f x >，那么0()f x 是极小值；（3）如果在0x 附近左右两侧值同号，0()f x 不是极值.。