2021年秋高中数学第1章统计案例阶段复习课学案新人教A版选修12

2021年秋高中数学第1章统计案例阶段复习课学案新
人教A版选修12
[核心速填]
1．线性回来方程
关于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，回来直线y＝bx
＋a的斜率和截距的最小二乘估量公式分别为b
^
＝
∑
i＝1
n
x i－x y i－y
∑
i＝1
n
x i－x
2
＝
∑
i＝1
n
x i y i－n x y
∑
i＝1
n
x2i－n x2
，a
^
＝y－b
^
x，其中(x，y)称为样本点的
中心．
2．线性回来模型为y＝bx＋a＋e，其中e为随机误差．
3．残差e
^
i＝y i－y
^
i.
4．刻画回来成效的方法
(1)残差平方和法
残差平方和∑
i＝1
n
(y i－y
^
)2越小，模型拟合成效越好．
(2)残差图法
残差图形成的带状区域的宽度越窄，模型拟合成效越好．
(3)相关指数R2法
R2越接近1，模型拟合成效越好．
5．K2公式
K2＝
n ad－bc2
a＋c b＋d a＋b c＋d
，其中n＝a＋b＋c＋d.
[题型探究]
线性回来分析
年份201x (年) 0 1 2 3 4 人口数y (十万) 5
7
8
11
19
(2)请依照上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回来方程y ^＝b ^x ＋a ^
； (3)据此估量2022年该市人口总数.
【导学号：48662025】
[解] (1)散点图如图：
(2)因为x ＝
0＋1＋2＋3＋4
5
＝2，
y ＝
5＋7＋8＋11＋19
5
＝10，
0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132， 02
＋12
＋22
＋32
＋42
＝30， 因此b ^＝
132－5×2×10
30－5×2
2
＝3.2，
a ^＝y －
b ^
x ＝3.6.
因此线性回来方程为y ^
＝3.2x ＋3.6. (3)令x ＝8，则y ^
＝3.2×8＋3.6＝29.2， 故估量2020年该都市人口总数为29.2(十万)． [规律方法] 解决回来分析问题的一样步骤 (1)画散点图.依照已知数据画出散点图.
(2)判定变量的相关性并求回来方程.通过观看散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回来系数，然后写出回来方程.
(3)回来分析.画残差图或运算R 2
，进行残差分析. (4)实际应用.依据求得的回来方程解决实际问题. 1．在一段时刻内，某种商品的价格x 元和需求量y 件之间的一组数据为：
x (元) 14 16 18 20 22 y (件)
12
10
7
5
3
且知x 与y 具有线性相关关系，求出y 关于x 的线性回来方程，并说明拟合成效的好坏． [解] x ＝1
5
×(14＋16＋18＋20＋22)
＝18，
y ＝15
×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
∑i ＝1
5
x 2
i ＝142＋162＋182＋202＋222
＝1 660， ∑i ＝1
5
y 2
i ＝122＋102＋72＋52＋32
＝327， ∑i ＝1
5
x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
因此b ^
＝
∑i ＝1
5
x i y i －5 x y
∑i ＝1
5
x 2i －5x 2
＝620－5×18×7.4
1 660－5×18
2＝－1.15，
因此a ^
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
因此y 对x 的线性回来方程为y ^
＝－1.15x ＋28.1， 列出残差表为
y i －y ^
i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 y i －y
4.6
2.6
－0.4
－2.4
－4.4
因此∑i ＝1
5
(y i －y ^
i )2
＝0.3，
∑i ＝1
5
(y i －y )2＝53.2，
R 2
＝1－
∑i ＝1
5
y i －y ^
i
2
∑i ＝15
y i －y
2
≈0.994.
因此R 2
≈0.994，拟合成效较好.
独立性检验
户外运动差不多成为一种时尚运动，某单位为了了解职员喜爱户外运动是否与
性别有关，决定从本单位全体650人中采纳分层抽样的方法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：
喜爱户外运动 不喜爱户外运动
总计 男性
5 女性 10
总计
50
已知在这50人中随机抽取1人抽到喜爱户外运动的职员的概率是3
5.
(1)请将上面的列联表补充完整； (2)求该公司男、女职员各多少人；
(3)在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜爱户外运动与性别有关？并说明你的理由．
下面的临界值表仅供参考：
P (K 2≥k 0)
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式：K 2
＝
n ad －bc 2a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
，其中
n ＝a ＋b ＋c ＋d )
【导学号：48662026】
[解] (1)因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱户外运动的职员的概率是3
5，
因此喜爱户外运动的男女职员共30人，其中男职员20人，列联表补充如下：
喜爱户外运动
不喜爱户外运动
总计 男性 20 5 25 女性 10 15 25 总计
30
20
50
(3)K 2
的观测值k ＝
50×20×15－10×5
2
30×20×25×25
≈8.333>7.879，因此在犯错误的概率不超
过0.005的前提下认为喜爱户外运动与性别有关．
[规律方法] 独立性检验问题的求解策略
(1)等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略地判定两个变量的相关性.
(2)K 2
统计量法：通过公式
先运算观测值k ，再与临界值表作比较，最后得出结论. [跟踪训练]
2．研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验．发觉有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作确信的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的项目上作确信的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用条形图和独立性检验的方法判定．
[解] 建立性别与态度的2×2列联表如下：
确信 否定 总计 男生 22 88 110 女生 22 38 60 总计
44
126
170
依照列联表中所给的数据，可求出男生中作确信态度的频率为22
110＝0.2，女生中作确信
态度的频率为22
60≈0.37.作等高条形图如图，其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中
作确信态度的频率，比较图中深色条形的高能够发觉，女生中作确信态度的频率明显高于男生中作确信态度的频率，因此能够认为性别与态度有关系．
依照列联表中的数据得到K 2
的观测值 k ＝
170×22×38－22×88
2110×60×44×126
≈5.622>5.024.
因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别和态度有关系．
转化与化归思想
x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
检验每册书的成本费y 与印刷册数的倒数1
x
之间是否具有线性相关关系．如有，求出y
对x 的回来方程．
思路探究：令z ＝1
x
，使问题转化为z 与y 的关系，然后用回来分析的方法，求z 与y
的回来方程，进而得出x 与y 的回来方程．
[解] 把1x 置换为z ，则有z ＝1
x
，
从而z 与y 的数据为
z 1 0.5 0.333 0.2 0.1 0.05 0.033 0.02 0.01 0.005 y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
可作出散点图(图略)，从图可看出，变换后的样本点分布在一条直线的邻近，因此能够用线性回来方程来拟合．
z ＝110×(1＋0.5＋0.333＋0.2＋0.1＋0.05＋0.033＋0.02＋0.01＋0.005)＝0.225 1， y ＝110
×(10.15＋5.52＋4.08＋…＋1.15)＝3.14，
∑i ＝1
10
z 2
i ＝12＋0.52＋0.3332＋…＋0.012＋0.0052
≈1.415， ∑i ＝1
10
z i y i ＝1×10.15＋0.5×5.52＋…＋0.005×1.15
＝15.221 02，
因此b ^＝
∑i ＝1
10
z i y i －10z y
∑i ＝1
10
z 2
i －10z 2
≈8.976，
a ^＝y －
b ^
z ＝3.14－8.976×0.225 1≈1.120，
因此所求的z 与y 的回来方程为y ^
＝8.976z ＋1.120. 又因为z ＝1x ，因此y ^＝8.976
x
＋1.120.
[规律方法] 非线性回来方程转化为线性回来问题求解步骤. 1确定变量，作出散点图.
2依照散点图，选择恰当的拟合函数.
5依照相应的变换，写出非线性回来方程.
3．在某化学试验中，测得如下表所示的6对数据，其中x(单位：min)表示化学反应进行的时刻，y(单位：mg)表示未转化物质的质量．
x/min12345 6 y/mg39.832.225.420.316.213.3
(2)估量化学反应进行到10 min时未转化物质的质量(精确到0.1).
【导学号：48662027】[解](1)在y＝cd x两边取自然对数，令ln y＝z，ln c＝a，lnd＝b，则z＝a＋bx.由已知数据，得
x 12345 6
y 39.832.225.420.316.213.3
z 3.684 3.472 3.235 3.011 2.785 2.588 由公式得a≈3.905 5，b≈－0.221 9，则线性回来方程为z＝3.905 5－0.221 9x.而ln c＝3.905 5，lnD＝－0.221 9，
故c≈49.675，d≈0.801，
因此c，d的估量值分别为49.675和0.801.
(2)当x＝10时，由(1)所得公式可得y≈5.4(mg)．
因此，化学反应进行到10 min时未转化物质的质量约为5.4 mg.。