(完整版)等比数列知识点总结

a
1 n -m
n 等比数列
知识梳理：
1、等比数列的定义：
a n
= q ( q ≠ 0) (n ≥ 2,且n ∈ N * ) n -1
， q 称为公比
2、通项公式：
a = a q n -1 = a
1 q n = A ⋅ B n (a ⋅ q ≠ 0, A ⋅ B ≠ 0) n 1 q
1
，首项： a ；公比： q
推广：
a = a n
m
q n -m ⇔ q n -m =
a
⇔ q = a n
a
a
m
m
3、等比中项：
（1） 如果 a , A , b 成等比数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项，即： A 2 = ab 或 A = ±
ab
1
1 n n 1 n 1 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为 相反数）
（2） 数列 {a }是等比数列 ⇔ a
2
= a - ⋅ a +
4、等比数列的前 n 项和 S n 公式：
（1） 当q =1时， S n = na 1
（2） 当q ≠1时，
a (1 - q n )
S =
=
n
1- q
a - a q
1
n
1- q
= a - a
1 q n = A - A ⋅ B n = A ' B n - A ' 1- q 1- q
（ A , B , A ', B ' 为常数）
5、等比数列的判定方法：
（1） 用定义：对任意的 n ，都有
n +1 = qa 或 n n +1 = q (q 为常数，a a n n
≠ 0) ⇔ {a } n
为等比数列
a a n
n a n
a
（2） 等比中项：
a 2
= a n +1 a n -1 (a n +1
n -1 ≠ 0) ⇔ { } n
为等比数列
（3） 通项公式：
= A ⋅ B n ( A ⋅ B ≠ 0) ⇔{a }
为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若
a n
= q ( q ≠ 0) (n ≥ 2,且n ∈ N * ) n -1
或a n +1 = qa n ⇔ {a n } 为等比数列
7、等比数列的性质：
（1） 当q ≠1时
①等比数列通项公式
a a n
n n m
t 3 a = a q n -1 = a
1 q n = A ⋅ B n ( A ⋅ B ≠ 0) n 1
q
是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比 q ；
②前n 项和
a (1- q n ) a - a q n a a S = 1 = 1 1 1 - 1 q n = A - A ⋅ B n = A ' B n - A ' n
1- q 1- q 1- q 1- q
，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比
q 。

（2） 对任何 m , n ∈ N * ，在等比数列{a } 中，有a = a q n -m ，特别的，当 m = 1时，便得到等比数列的通项公式。

因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

（3） 若
m + n = s + t (m , n , s , t ∈ N * )
，则a n ⋅ a m = a s ⋅ a 。

特别的，当 m + n = 2k 时，得a n ⋅ a m = a 2 k
a ⋅ a = n
n -1 = a a
n -2
⋅⋅⋅
（4） 数列 {a } n {b } n
为等比数列，则数列 { k } a n ， {k ⋅ a } n
{a k } n ，{k ⋅ a n ⋅ b } n {a n }
n （ k 为
非零常数）均为等比数列。

1
⋅ a
注：
a 2 ， ， ， b
m m +k m +2k m +3k
（5） 数列 {a n } 为等比数列，每
隔
k (k ∈ N *) 项取出一项
(a , a , a , a ,⋅⋅ ⋅)
仍为等比数列
（6） 如果 {a n } 是各项均为正数的 等比数列，则数列 {log a a n } 是等差数列
（7） 若{a n } 为等比数列，则数列 S n ， S 2n - S n ， S 3n - S 2n ,⋅⋅⋅，成等比数列
（8）若{a n } 为等比数列，则数列 a ⋅ a 2 ⋅⋅⋅⋅ ⋅a n ，a n +1 ⋅ a n +2 ⋅⋅⋅⋅ ⋅a 2n ，a 2n +1 ⋅ a 2n +2 ⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅a 成等比数
1
3 n
列
（9）①当 q > 1 时，
a 1 >0，则{a n }为递增数a <0，则{a }为列
递减数 1
n
列
②当0<q < 1时，
{a 1 >0，则{a n }为递减数列 a
1
<0，则{a n
}为递增数列
③当q = 1 时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列） ；
{
④当q < 0 时,该数列为摆动数列 .
S
奇=1
（10）在等比数列{a n } 中，当项数为
二例题解析
2n(n ∈N * ) 时，S偶q
【例 1】已知Sn 是数列{an} 的前n 项和，Sn＝pn(p ∈R，n∈N*)，那么数列{an}．（）
A．是等比数列B．当p≠0时是等比数列
B．C．当p≠0，p≠1时是等比数列D．不是等比数列
【例 2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．
【例3】等比数列{a }中，(1) 已知a
n 2= 4，a
1
＝－，求通项公
5 2
式；(2) 已知a3·a4·a5＝8，求 a2a3a4a5a6 的值．
【例 4】设a、b、c、d 成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．【例 5】求数列的通项公式：
(1){an} 中，a1＝2，an+1＝3an ＋2
a = 2 3
(2){an} 中，a1=2 ，a2＝5，且 an+2 －3an+1 ＋2an ＝0
三 考点分析
考点一：等比数列定义的应用
1 { }
a = - a 4 (n ≥ 2)
a = a n
3 n -1
1
3
a =
1、数列 n
满足
，
，则
4
．
2、在数列 {
n }中，若a 1 = 1 ， a n +1 = 2a +1(n ≥1) ，则该数列的通项 a n
．
考点二：等比中项的应用
1、已知等差数列 {a } n 的公差为 2
，若 a 1 ， a 3 ， a 4 成等比数列，则 a = （ ）
A ． -4
B ． -6
C ． -8
D ． -10
2、若a 、b 、c 成等比数列，则函数 y = ax 2
+ bx + c 的图象与 x 轴交点的个数为（
）
A ． 0
B ．1
C ． 2
D ．不确定
3、已知数列
{a } n
为等比数列，
a = 2 ， a 2 + a 20
=
3 ， 求
{a }
n
的通项公式．
考点三：等比数列及其前 n 项和的基本运算
n 4
a = a 6 {a } 2a = a - a q = 2 9 1
1、若公比为 3 的等比数列的首项为 8 ，末项为 3 ，则这个数列的项数是（ ）
A ． 3
B ． 4
C ． 5
D ． 6
2、已知等比数列 { n }中， a 3 = 3 ， a 10 = 384 ，则该数列的通项 a n
．
3、若 n 为等比数列，且 4 6 5 ，则公比
．
2a 1 + a 2
4、设a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 成等比数列，其公比为 2 ，则2a 3 + a 4 的值为（ ）
1
A ． 4
1
1
B ． 2
C ． 8
D ．1
5 、 等 比 数 列 {a n } 中 ， 公 比a 1+a 2+…+a 100=
.
1
q= 2 且 a 2+a 4+…+a 100=30 ， 则
考点四：等比数列及其前 n 项和性质的应用
1、在等比数列 {
n } 中，如果 a = 6 ， a 9 = 9 ，那么 a 3 为（ ）
3
16
A ． 4
B ． 2
C ． 9
D ． 2
2、如果-1， a ， b ， c ， -9 成等比数列，那么（
）
n 100 n 2 4 = ≠ ， + 99 ⎨ A ． b = 3 ， ac = 9 B ． b = -3 ， ac = 9
C ．b = 3 ， ac = -9
D ． b = -3 ， ac = -9
{a }
a = 1
a = 3
a a a a a a a a
3、在等比数列
n
中 ， 1 ， 10 ， 则 2 3 4 5 6 7 8 9
等于（ ）
A ．
81 B ． 275 27
C ．
D ． 243
4、在等比数列 {a }中， a a a (a 0) a a 10 19 20
= b ，则 a + a 等于（ ）
b 9
⎛ b ⎫9
b
10 ⎛ b ⎫
10
⎪ ⎪
A. a 8
B. ⎝ a ⎭
C. a 9
D. ⎝ a ⎭
5、在等比数列 {a } 中，a 3 和a 5 是二次方程 x 2 + kx + 5 = 0 的两个根，则 a a a 的值为
（ ）
A ． 25
B ． 5 C. -5 D. ±5
{a } a > 0
a a + 2a a + a a = 25
a + a
6、若
n
是等比数列，且 n
， 若 2 4
3 5
4 6
， 那 么 3 5
的值等于
考点五：公式
a = ⎧S , (n = 1) 1
n ⎩S n - S n -1 , (n ≥ 2)
的应用
3
5
5
5
+ 6 9
1、若数列的前n 项和 S n=a1+a2+…+a n，满足条件 log 2S n=n ，那么{a n}是( )
1
A.公比为 2 的等比数列
B.公比为2 的等比数列
C.公差为 2 的等差数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
2、等比数列前n 项和 S n=2n-1，则前 n 项的平方和为 ( )
1 1
A.(2n-1)2
B. 3 (2n-1) 2
C.4n-1
D. 3 (4n-1)
3、设等比数列 {a n}的前 n 项和为 S n=3n+r，那么 r 的值为.
4、设数列{a n}的前 n 项和为 S n且 S1=3，若对任意的n∈N*都有 S n=2a n-3n.
(1)求数列{a n}的首项及递推关系式a n+1=f(a n);
(2)求{a n}的通项公式 ;
(3)求数列{a n}的前 n 项和 S n.。