2020-2021备战中考数学培优专题复习二次函数练习题含详细答案

2020-2021备战中考数学培优专题复习二次函数练习题含详细答案
一、二次函数
1．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．
【答案】(1) y=﹣23
4x +94x+3；(2) 有最大值,365
;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（
73，256）或（173，﹣253）． 【解析】
试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）设P （m ，﹣
34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣
34x+3，表示PD=﹣2334m m ，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC V V 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365
，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：
CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94
n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34
n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析:
（1）由OC=3OA ，有C （0，3），
将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：
016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩
， 解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩
， 故抛物线的解析式为：y=﹣234x +
94x+3； （2）如图2，设P （m ，﹣34
m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ， ∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3），
设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，
则403
k b b +=⎧⎨=⎩ 解得：343
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为：y=﹣
34
x+3， 则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2334
m m +， ∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ，
∴∠BDE=∠BCO ，
∵∠BDE=∠PDF ，
∴∠PDF=∠BCO ，
∵∠PFD=∠BOC=90°，
∴△PFD ∽△BOC ， ∴=PED PD BOC BC
V V 的周长的周长， 由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，
故△BOC 的周长=12， ∴2334
125
m m L -+=， 即L=﹣95（m ﹣2）2+365
，
∴当m=2时，L 最大=365； （3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3， 当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，
理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ， 当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ，
∴∠PCQ=∠CPD ，
∴∠PCD=∠CPD ，
∴CD=PD ，
∴CD=DP=PQ=QC ，
∴四边形CDPQ 是菱形，
过D 作DG ⊥y 轴于点G ，
设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34
n+3），G （0，﹣334n +）， 在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣
34n+3）﹣3]2+n 2=22516n ， 而|PD|=|（﹣
239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n +3n|， ∵PD=CD ，
∴﹣
235344n n n +=①， ﹣235344
n n n +=-②， 解方程①得：n=73
或0（不符合条件，舍去）， 解方程②得：n=
173或0（不符合条件，舍去）， 当n=73时，P （73，256
），如图3，
当n=173时，P （173
，﹣253），如图4，
综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（7
3
，
25
6
）
或（17
3
，﹣
25
3
）．
点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(
3
2
，15
4
)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，
D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．
【解析】
【分析】
(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；
(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y
轴交直线AB 于点F ，利用S △ABP ＝S △PBF +S △PFA ，用含m 的式子表示出△ABP 的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P 的坐标；
(3)求出点E 的坐标，然后求出直线BC 、直线BE 、直线CE 的解析式，再根据以点B 、E 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D 1D 2、直线D 1D 3、直线D 2D 3的解析式，即可求出交点坐标．
【详解】
解：(1)令y ＝0，可得：x ﹣1＝0，解得：x ＝1，
∴点A(1，0)，
∵抛物线y ＝ax 2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x ＝﹣1，
∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，
∴30
9330a b a b ++⎧⎨-+⎩＝＝ ，解得：1
2a b -⎧⎨-⎩＝，＝
∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3；
(2)∵点P 在直线AB 上方的抛物线上运动，
∴设点P(m ，﹣m 2﹣2m+3)，
∵抛物线与直线y ＝x ﹣1交于A 、B 两点，
∴2231y x x y x ⎧--+⎨-⎩
＝＝ ，解得：1145x y -⎧⎨-⎩＝＝，2210x y ＝，＝⎧⎨⎩ ∴点B(﹣4，﹣5)，
如图，过点P 作PF ∥y 轴交直线AB 于点F ， 则点F(m ，m ﹣1)，
∴PF ＝﹣m 2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m 2﹣3m+4，
∴S △ABP ＝S △PBF +S △PFA ＝12(﹣m 2﹣3m+4)(m+4)+12
(﹣m 2﹣3m+4)(1﹣m) ＝-52（m+32 ）2+ 1258
， ∴当m ＝32-
时，P 最大， ∴点P(32-，154
). (3)当x ＝﹣1时，y ＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴点E(﹣1，﹣2)，
如图，直线BC 的解析式为y ＝5x+15，直线BE 的解析式为y ＝x ﹣1，直线CE 的解析式为y ＝﹣x ﹣3，
∵以点B 、C 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形，
∴直线D 1D 3的解析式为y ＝5x+3，直线D 1D 2的解析式为y ＝x+3，直线D 2D 3的解析式为y ＝﹣x ﹣9，
联立
53
3
y x
y x
+
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
得D1(0，3)，
同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，
综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：
2
y mx2mx3m
=--（m＜0）的顶点．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．
【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．
（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m 2
=-
或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】
【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．
（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．
【详解】
解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，
∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．
∴A （，0）、B （3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），
把C （0，32-）代入可得，12
a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=
+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22
--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23
327p 4216--+
（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716
． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），
∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，
解得：12m =22m =(舍去)．
当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，
解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2m
=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．
4．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；
（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．
【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；
（3）2213(03)2213(03)2
2t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】
试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程
2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223
y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3
b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；
（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），
∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；
（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，
∵PQ=2，∴QF=1． ①当点P 在点M 上方时，即0
＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，
∴S=
12
PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t ＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -． 综上所述，S=2213 (03)22{13 (03)22
t t t t t t t 或-+<<-．
考点：二次函数综合题；分类讨论．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （1, 0）、C （3, 0）、D （3, 4）．以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ．动点P 从点A 出发，以每秒12
个单位的速度沿线段AD 向点D 运动，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥x 轴交抛物线于点M ，交AC 于点N ．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？
（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？
【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为
1；（3）2085
-或20 13
．
【解析】
（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x －1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值；
（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是
△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；
（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；
②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得：
，解得t值．
解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），
∵抛物线的顶点为A，
设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，
代入点C（3, 0），可得a＝－1．
∴y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．
（2）∵P（
1
1
2
t
+，４），
将
1
1
2
x t
=+代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝2
1
4
4
t
-，
∴M （112t +
，21
44
t -）， 设直线AC 的解析式为
，
将A （１,４），C （３,０）代入，得：
，
将1
12x t =+代入得，
∴N （112
t +，），
∴MN ，
∴
，
∴当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1． （3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时， ∵Ｎ（112
t +
，），P （1
12
t +
，４）， ∴P Ｎ＝４—（）＝＝CQ ，
又∵PN ∥CQ ，
∴四边形PNCQ 为平行四边形， ∴当PQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形， PQ 2＝PD 2+DQ 2 ＝，
∴
，
整理，得240800t t -+=．解得12085t =-，22085t =+（舍去）；
②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时，
NH=CQ=，NQ ＝CQ 时，四边形NHCQ 为菱形， NQ 2＝CQ 2，得：
．
整理，得213728000t t -+=．()()1320400t t --=．所以12013
t =
，（舍去）．
“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.
6．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
【答案】（1）足球飞行的时间是8
5
s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.
【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，
∴当t=时，y 最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8， ∴当t=2.8时，y=﹣
×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门． 考点：二次函数的应用．
7．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .
（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4
D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.
【答案】（1）2
(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当1
02
b <<
时，12y y >；②当12b =
时，12y y =；③当14
25b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】
（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)
又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b = ∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A
代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-
（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，
∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为
5y x =-+
解方程组415y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得45
215x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪
=⎪⎩
∴点421
(,
)55
E ，(0,1)
F ∵点M 在AOB ∆内，∴405
b <<
当点,C D 关于抛物线对称轴（直线x b =）对称时，1344b b -
=-，∴12
b = 且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线41y x =+上 综上：①当102b <<
时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当14
25
b <<时，12y y <.
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.
8．如图1，在矩形ABCD 中，DB ＝6，AD ＝3，在Rt △PEF 中，∠PEF ＝90°，EF ＝3，PF ＝6，△PEF （点F 和点A 重合）的边EF 和矩形的边AB 在同一直线上．现将Rt △PEF 从A 以每秒1个单位的速度向射线AB 方向匀速平移，当点F 与点B 重合时停止运动，设运动时间为t 秒，解答下列问题：
（1）如图1，连接PD ，填空：PE ＝ ，∠PFD ＝ 度，四边形PEAD 的面积
是 ；
（2）如图2，当PF 经过点D 时，求△PEF 运动时间t 的值；
（3）在运动的过程中，设△PEF 与△ABD 重叠部分面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及相应的t 的取值范围．
【答案】（1）3009+93
；（233）见解析. 【解析】
分析：（1）根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE 的长，再根据梯形的面积公式求解.
（2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函数计算可得3
（3）根据题意，分三种情况：①当0≤t 3时，3＜3时，③3≤t≤6时，根据三角形、梯形的面积的求法，求出S 与t 的函数关系式即可. 详解：（1）∵在Rt △PEF 中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6
∴sin ∠P=
1
=2
EF PF ∴∠P=30° ∵PE ∥AD
∴∠PAD=300，
根据勾股定理可得3 所以S 四边形PEAD =
12×（3+3）993 ； （2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°， 在Rt △ADF 中，由AD=3，得33 ； （3）分三种情况讨论：
①当0≤t 3 PF 交AD 于Q ，∵AF=t ，3t ，∴S=
1233
； ②3＜3时，PF 交BD 于K ，作KH ⊥AB 于H ，∵AF=t ，∴3-t ，S △ABD 93
， ∵∠FBK=∠FKB ，∴3，KH=KF×sin6009-3t
,∴S=S △ABD ﹣S △FBK
=23993,424
t t -
+- ③当3≤t≤33时，PE 与BD 交O ，PF 交BD 于K ，∵AF=t ，∴AE=t-3，BF=33-t, BE=33-t+3，OE=BE×tan300=
9-333t +，∴S=233233633
-t t --++
． 点睛：此题主要考查了几何变换综合题，用到的知识点有直角三角形的性质，三角函数值，三角形的面积，图形的平移等，考查了分析推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，要熟练掌握，比较困难.
9．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x 2+4x 刻画，斜坡可以用一次函数y=x 刻画．
（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P 的坐标； （2）小球的落点是A ，求点A 的坐标；
（3）连接抛物线的最高点P 与点O 、A 得△POA ，求△POA 的面积；
（4）在OA 上方的抛物线上存在一点M （M 与P 不重合），△MOA 的面积等于△POA 的面积．请直接写出点M 的坐标．
【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，
）．
【解析】
试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P 的坐标；
（2）联立两解析式，可求出交点A 的坐标；
（3）作PQ ⊥x 轴于点Q ，AB ⊥x 轴于点B ．根据S △POA =S △POQ +S △梯形PQBA ﹣S △BOA ，代入数值计算即可求解；
（4）过P 作OA 的平行线，交抛物线于点M ，连结OM 、AM ，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA 的面积等于△POA 的面积．设直线PM 的解析式为y=x+b ，将P （2，4）代入，求出直线PM 的解析式为y=x+3．再与抛
物线的解析式联立，得到方程组
，解方程组即可求出点M 的坐标．
试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；
（2）联立两解析式可得：，解得：，或．
故可得点A的坐标为（，）；
（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．
S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA
=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××
=4+﹣
=；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．
设直线PM的解析式为y=x+b，
∵P的坐标为（2，4），
∴4=×2+b，解得b=3，
∴直线PM的解析式为y=x+3．
由，解得，，
∴点M的坐标为（，）．
考点：二次函数的综合题
10．课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
【答案】（1）240
7
mm，
480
7
mm；（2）PN=60mm，40
PQ mm．
【解析】
【分析】
(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根据平行得出△APN和△ABC 相似，根据线段的比值得出y的值，然后得出边长；(2)、根据第一题同样的方法得出y与x的函数关系式，然后求出S与x的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值.
【详解】
(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm）
∵PN∥BC,
∴=，△APN∽△ABC
∴=
∴=
∴=解得 y=
∴2y=
∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm
(2)、设PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面积为S ，则AE=80-x（mm）．.
由（1）知=
∴=
∴ y=
则S=xy===
∵
∴ S有最大值
∴当x=40时，S最大=2400（mm2）此时，y==60 ．
∴面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ、PN长分别是40 mm ，60 mm．
考点：三角形相似的应用
11．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，
（0，3﹣）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【解析】 【分析】
（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=
1
2
×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【详解】
解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，
10
3b c c ++=⎧⎨
=⎩
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3； （2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0， 解得：x=1或x=3， ∴B （3，0）， ∴
点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB 时，，∴或OP=PC ﹣﹣3 ∴P
1（0，P 2（0，3﹣ ②当PB=PC 时，OP=OB=3， ∴P 3（0，-3）； ③当BP=BC 时， ∵OC=OB=3 ∴此时P 与O 重合， ∴P 4（0，0）；
综上所述，点P 的坐标为：（0，0，3﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，则DN=2t ，
∴S △MNB=12
×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t=﹣（t ﹣1）2+1， 当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．
12．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；
（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标.
【答案】（1）21452
=-+-y x x ；（2）()2,1-M ，25y x =-；（3）点P 、Q 的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1．
【解析】
【分析】
（1）函数表达式为：()243y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解；
（2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式，即可求解；
（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.
【详解】
解：（1）函数表达式为：()243y a x ==+，
将点B 坐标代入上式并解得：12a =-
， 故抛物线的表达式为：21452
=-+-y x x ； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，
设直线AB 的表达式为：5y kx =-，
将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =，
故直线AB 的表达式为：25y x =-；
（3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛
⎫-+- ⎪⎝⎭
， ①当AM 是平行四边形的一条边时，
点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ， 同样点21,452P m m m ⎛
⎫-+- ⎪⎝⎭
向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ， 即：24m -=，214542
m m s -+--=， 解得：6m =，3s =-，
故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-；
②当AM 是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：424m +=+，2131452
m m s -=-
+-+， 解得：2m =，1s =，
故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；
故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.
13．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．
①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；
②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣
32
，154） 【解析】
试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；
②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0
{312a b c c b a
++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得
x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；
②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形
=
12OB•OC+12AD•PD+12
(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222
x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228
x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32
-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
14．如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．
【答案】（1）y=x 2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣
2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．
【解析】
试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC 的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；
（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．
试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，
∴B（3，0），C（0，3），
把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），
设M（2，t），且C（0，3），
∴MC=，MP=|t+1|，PC=，
∵△CPM为等腰三角形，
∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，
①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；
②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；
③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣
1+2）或（2，﹣1﹣2）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；
（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，
设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），
∵0＜x＜3，
∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，
∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），
即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．
考点：二次函数综合题．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.
【答案】(1)点A的坐标为（4，8）
将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx
得8=16a+4b
0=64a+8b
解得a=,b=4
∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PE
AP
=
BC
AB
,即
PE
AP
=
4
8
∴PE=AP=t．PB=8-t．
∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.
∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8.∴EG=-t2+8-(8-t)
=-t2+t.
∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.
②共有三个时刻：t1=16
3
， t2=
40
13
，t3
85
25
．
【解析】
（1）根据题意即可得到点A的坐标，再由A、C两点坐标根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，由tan∠PAE，即可表示出点E的坐标，从而得到点G 的坐标，EG的长等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标，得到一个函数关系式，根据函数关系式的特征即可求得结果；②考虑腰和底，分情况讨论．。