高中数学 人教A版 必修5 第一章 解三角形 高考复习习题(解答题201-300)含答案解析

高中数学 人教A 版 必修5 第一章 解三角形 高考复习习题
（解答题201-300）含答案解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105∘方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120∘方向的B 2处，此时两船相距10 2海里，问乙船每小时航行多少海里？(结论保留根号形式)
2．设ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ， tan a b A =，且B 为钝
角. （1）证明： 2
B A π
-=
； （2）求sin sin A C +的取值范围.
3．如图，在ABC ∆ 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c , ()cosC a b sinC =+ .
（1）求角B 的大小；
（2为ABC ∆外一点， 2,1DB DC == ，求四边形ABCD 面积的最
大值.
4．已知在斜三角形A B C 中，已知A , B , C 对的边分别为a , b , c ，且b 2−a 2−c 2a c
=
cos (A +C )sin A cos A
.
（1）求角A 的大小;
（2）若sin B
cos C > 2求角C 的取值范围。

5．如图，在△ABC 中，AB=2，cosB=，点D 在线段BC 上． （1）若∠ADC=π，求AD 的长； （2）若BD=2DC ，△ADC 的面积为
，求
的值．
6．在 ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足 ·AB AC =3
（1）求 ABC 的面积；
（2）若b +c a 的值。

7．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为
a ，
b ，
c ，且满足条件
()()()sin sin sin sin a A B c b C B -=-+.
（1）求角C ；
（2 ABC 的面积为
，求ABC 的周长.
8．在ABC ∆中，边,,a b c 的对角分别为,,A B C ；且
（1）求a 的值；
（2）设()()2c o s s i n c o s c o s f x C x A
x
=-，将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的
（纵坐标不变）得到()g x 的图象，求()g x 的单调增区间． 9．在ΔA B C 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，向量m =(a +b ,sin A −sin C )，向量n =(c ,sin A −sin B )，且m ∥n . （1）求角B 的大小；
（2）设B C 的中点为D ，且AD = 3，求a +2c 的最大值.
10．在ABC △中，角 A B C ，
，所对的边分别为 a b c ，，，已知2 b a b c =>>，.
（1）求ac 的值； （2）若ABC △的面积，求a 和c 的值.
11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c （1，求ABC ∆的面积；
（2，且//x y ，求角B 的值．
12．如图，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且
1
s i n c o s s i n c o s 3
a A C c
A A c +=， D 为AC 边上一点.
（1）若5
24,3
BCD c b S ∆===
，求DC 的长；
（2）若D 是AC 的中点，且cos B BD =
=ABC ∆的最短边的边长. 13．在锐角ΔA B C 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知a =b cos C + 3
3
c sin B ． （1）若a =2,b = 7，求c ；
（2）设函数y = 3sin (2A −30∘)−2sin 2(C −15∘)，求y 的取值范围. 14．ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，，D 为BC 边中点，1=AD ．
（Ⅱ）求ABC ∆的面积.
15．ΔA B C 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m =(a , 3b )与n =(cos A ,sin B )平行. （1）求A ；
（2）若a = 7，b =2，求ΔA B C 的面积.
16．在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别是,,a b c ，
（1
（2，求ABC S ∆． 17．已知向量(4,3)a = ，(1,2)b =-
.
（1）求a 与b
的夹角的余弦值；
（2）若向量a b λ- 与2a b +
平行，求λ的值.
18．某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位：m ），如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度4h m =，仰角ABE ADE αβ∠=∠=，
．
（1）该小组已经测得一组αβ，的值，tan 1.24tan 1.20αβ==，，请据此算出H 的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），
使α与β的差较大，可以提高测量精确度，若电视塔高度为125m ，问d 为多大时，
αβ-最大？
19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若 （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）在x B =处取到最大值a ，求ABC ∆的面积。

20．如图,在四边形A B C B ′中,ΔA B C ≅ΔA B ′C ,A B ⊥A B ′,cos ∠B C B ′=3
4,B C =2 2.
（1）求sin ∠B C A ； （2）求B B ′及A C 的长.
21．已知ABC ∆的面积S 满足且2-=⋅CB AC ,θ=∠ACB . (Ⅰ)若)2sin ,2(cos ),2cos ,2(sin B B n A A m ==,求|2|n m +的取值范围；
(Ⅱ)22． （1）求角A 的大小；
（2）若3a =，sin C 2sin =B ，求b ，c 的值． 23．已知点
是抛物线
上不同的两点，
为抛物线的焦点，且满足
，弦
的中点到直线：的距离记为，若，
则
的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
24．设点P 是圆224x y +=上的任意一点，点D 是点P 在x 轴上的投影，动点M 满
过定点()0,2Q 的直线l 与动点M 的轨迹交于,A B 两点.
（1）求动点M 的轨迹方程；
（2）在y 轴上是否存在点()0,E t ，使？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.
25．已知ABC ∆是斜三角形，,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，若
（1）求角C ； （2，且sin sin()5sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.
26．在
ABC ∆中，角
,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
c o s
（1）求cos A 的值；
（2，求向量BA 在BC
方向上的投影．
27．已知△A B C 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且满足
sin (2A +B )sin A
=2+2cos (A +
B ).
（Ⅰ）求b
a 的值；
（Ⅱ）若a =1 ， c = 7，求△A B C 的面积.
28．如图,在△ABC 中点D 在边AB 上,AD=DC,DE ⊥AC,E 为垂足.
（1）若△BCD 求CD 的长;
（2）若求角A 的大小. 29．
ABC
∆中
，
角
,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
C
2c o s
a - （1）判断ABC ∆的形状； （2，点D 为AB 边的中点，，求ABC ∆的面积 30．在
中，三边
所对应的角分别是
，已知
成等比数列.
（1）若，求角
的值；
（2）若
外接圆的面积为
，求
面积的取值范围.
31．如图，OM ，ON 是两条海岸线，Q 为海中一个小岛，A 为海岸线OM 上的一个码头．已知tan ∠M O N =−3，O A =6 k m ，Q 到海岸线OM ，ON 的距离分别为3 km ，6 105
km ．现要
在海岸线ON 上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB 经过小岛Q ．
（1）求水上旅游线AB 的长；
（2）若小岛正北方向距离小岛6 km 处的海中有一个圆形强水波P ，从水波生成t h 时的半径为r =3 a t （a 为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以18 2km/h 的速
度自码头A 开往码头B ，问实数a 在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行． 32．在ABC ∆中，内角B C A 、、的对边分别是a b c 、、，且222b c a bc +-=． （1）求A ；
（2，求ABC ∆的周长.
33．ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足()()B a c A b -+=πcos 2cos ． （I ）求角B 的大小； （II ，ABC ∆的面积为，求c a +的值．
34．C ∆AB 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， （1）求A 的大小；
（2）若C ∆AB 为锐角三角形，求函数22sin 2sin cosC y =B -B 的取值范围； （3）现在给出下列三个条件：① 1a =；②
45B = ，试从
中再选择两个条件以确定C ∆AB ，求出所确定的C ∆AB 的面积．
35．如图，B A ,是海岸线OM ，ON 的两个码头，Q 为海中一小岛，在水上旅游线AB 上，测得Q km OA MON ,6,3tan =-=∠到海岸线ON OM ,的距离分别为km 2
，
（1）求水上旅游线AB 的长；
（2）海中km PQ P 6(=，且
OM PQ ⊥处的某试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时的速度自码头A 开往码头B ，试研究强水波是否波及游轮的航行? 36．在ABC ∆中，设 （1）求B 的值；
（2.
37．已知A 、B 、C 是ABC '∆ （1）求角A 的大小；
（2，求tan C .
38．
成立的x 的取值范围；
（Ⅱ）记ABC ∆内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，若，求a 的
值．
39．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(cos θθ)，B(sin θ，0)，其中θ∈R ．
（1）当θ时，求向量AB 的坐标；
（2）当θ时，求||AB 的最大值．
40．在ΔA B C 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足.
（1）求
的值.
（2）若a ,b ,c 成等差数列，且公差大于0，求cos A −cos C 的值. 41，x R ∈． （1）求()f x 的单调增区间；
（2）已知△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3c =，若向量()1,sin m A = 与()2,sin n B =
共线，求a 、b 的值．
42．在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、
，面积为
，已知
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若，，求．
43 （Ⅰ）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的值；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1f C
=，，sin 2sin A B =，求ABC ∆的面积．
44．已知函数f (x )=2sin x cos x +2 3cos 2x − 3. （1）求函数f (x )的单调减区间;
（2）已知ΔA B C 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中a =7,若锐角A 满足f (A 2−π
6)= 3,且sin B +sin C =
13 314
,求b c 的值.
45．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c 足：对于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立． （1）求角A 的大小；
（2BC 边上的中线AM 长的取值范围．
46．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos 14cos cos B C B C --=. （1）求A ；
（2）若a =
ABC ，求b c +. 47．已知ABC ∆的面积为S ，且AB AC S ⋅=
．
（1）求A 2tan 的值；
（2，求ABC ∆的面积S ．
48．已知P 是圆4:2
2=+y x C 上的动点，P 在x 轴上的射影为P '，点M 满足
P M PM '=，当P 在圆C 上运动时，点M 形成的轨迹为曲线E ．
（1）求曲线E 的方程；
（2）经过点)2,0(A 的直线l 与曲线E 相交于点D C ,，求直线l 的方程．
49满足0m n ⋅= ．
（1）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的单调递增区间；
（2）已知ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若，且2a =，求ABC ∆面积的最大值．
50．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足 （1）求角C 的大小； （2的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．
51．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且2
2
2
b c a bc +-=． （1）求角A 的大小；
（2，当)(B f 取最大值时，判断ABC ∆的形状．
52．在平面直角坐标系中，为坐标原点，以
为圆心的圆与直线
相切． （Ⅰ）求圆
的方程；
（Ⅱ）若直线：
与圆
交于
，
两点，在圆
上是否存在一点
，使
得OB OA OQ +=，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．
53．已知动点()y x S ,到直线 （1）求动点S 的轨迹C 的方程；
（2）设轨迹C 上一动点P 满足：ON OM OP μλ2+=，其中N M ,是轨迹C 上的点，
直线OM 与ON 的斜率之积为若),(μλQ 为一动点，
54．设ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，，cos cos a A b B =.
（1）求角B 的大小；
（2）如图，在ABC ∆内取一点P ，使得2PB =，过点P 分别作直线,BA BC 的垂线
,PM PN ，垂足分别是,M N ，设PBA α∠=，求PM PN +的最大值及此时α的值.
55．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知1)cos(32cos =+-C B A ． （1）求角A 的大小；
（2）若△ABC
b=5，求sinBsinC 的值． 56（其中0ω>），若()f x 的一（Ⅰ）求()y f x =的单调递增区间；
（Ⅱ）在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、满足
()
()2c o s c o s
b a C
c A f B -=⋅
，且恰是
()f x 的最大值，试判断ABC ∆
的形状． 57．已知角A
、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ，若m ＝（－，n ＝（
，a ＝，且m ·n ＝
（1）若△ABC 的面积S b ＋c 的值． （2）求b ＋c 的取值范围．
58．已知函数，其中，．若函数相邻两对称轴的距离等于．
（1）求的值；并求函数在区间的值域； （2
）在△中，
、、分别是角、、的对边
，若
，求边、的长．
59．已知点 D 为ΔABC 的边 BC 上一点．且 BD =2DC ，∠ACD=30°，
AD =
．
求：（I ）求CD 的长；
()f x m n =⋅ (sin cos )m x x x ωωω=+
(cos sin ,2sin )(0)n
x x x ωωωω=-> ()f x 2
πω()f x 0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
ABC a b c A B C ()1,3f A a b c ==+=()b c >b c
（II ）求ΔABC 的面积．
60．设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,a b c 且 （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若1=b ，求ABC ∆的周长l 的取值范围．
61．设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若A B C 、、是△ABC 的三个内角，且()1f A =-，求s i n s i n B C +的取值范围．
62．在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且满足(2c o s
1)s i n 2
c A B A -+=． （1）求A 的大小；
（2）若222
52b a c =+，求
63．在C ∆AB 中，角A ，B ，
C 所对的边长分别为a ，b ，c ，向量()2sin ,2cos m =B B
，，且1m n ⋅=
．
（1）求角B ；
（2）若a ，b ，c 成等差数列，且2b =，求C ∆AB 的面积．
64．已知角A 、B 、C 是ABC ∆的内角，c b a ,,分别是其对边长，向量
，→→⊥n m ．
（1）求角A 的大小； （2求b 的长． 65．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
，角C 为锐角． （1）求角C 的大小；
（2ABC ，求2
2b a +的值． 66．直线过点(3,1)P -，且与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点．
（Ⅰ）若点P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程； （Ⅱ）若2AP PB =
，求直线l 的方程． 67．（本小题满分12分）
在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且满足
（1）求角B 的值；
（2且b a ≤，求 68．（15分）在一个六角形体育馆的一角MAN 内，用长为a 的围栏设置一个运动器材存储区域（如图所示），已知0120A ∠=，B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点．
（1）若20BC a ==，求存储区域面积的最大值；
（2）若10AB AC ==，在折线MBCN 内选一点D ，使20BD DC +=，求四边形存储区域DBAC 的最大面积． 69．（本小题满分12分）
已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝bcosC ＋csinB ． （1）求B ；
（2）若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．
70．设ABC ∆是边长为1的正三角形，点321,,P P P 四等分线段
BC （如图所示）．
（1）求112AB AP AP AP ⋅+⋅
的值；
（2）Q 为线段1AP 上一点，若，求实数m 的值； （3）P 为边BC 上一动点，当PA PC ⋅
取最小值时，求PAB ∠cos 的值．
71．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,, （1）用余弦定理证明：当C 为钝角时，222c b a <+；
（2）当钝角△ABC 的三边c b a ,,是三个连续整数时，求△ABC 外接圆的半径． 72．在锐角ABC ∆中， ,,a b c 为角,,A B C 所对的边，且()2
2cos 2cos 2
B
b c A a a -=-. （1）求角A ；
（2）若a =ABC ∆是锐角三角形，求b c +的取值范围.
73．（本小题满分12分）在ABC ∆中， )cos ,(),cos ,2(B b n C c a m =-= 且m ∥n （1）求角B 的大小；
（2）若1=b ，当ABC ∆面积取最大时，求ABC ∆内切圆的半径． 74．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，已知
（Ⅰ）求2a c b +-的值；
，求b ．
75．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，且
（1）求角B 的大小；
（2）若A C b sin 2sin ,3==，求,a c 的值．
76．（本小题满分12分）已知函数 ()sin (0)f x x ωω=->在区间
OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内角以B ， C
（Ⅰ）证明：b+c =2a ：
（Ⅱ）若b=c ，设 AOB θ∠=．(0),22OA OB θπ<<==，求四边形OACB 面积的最大值．
77．ΔΑΒC 的内角Α，Β，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量m =(a , 3b )与n =(cos Α,sin Β)平行．
（Ⅰ）求角Α；
（Ⅱ）若a = 7，b =2，求ΔΑΒC 的面积．
78．（本小题满分13，m 与n 共
线．
（1）求θ的值；
（2）求函数()sin sin()f x x x θ=+-在区间上 79．设向量a =(λ+2,λ2− 3cos 2α)，b =(m ,m
2
+sin αcos α)，其中λ，m ，α为实数．
（1）若α=π
12
，求|b
|的最小值； （2）若a =2b ，求λm
的取值范围． 80．（本题满分12分） 在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且C B A ,,成等差数列．
（1，求c a +的值；
（2）求C A sin sin 2-的取值范围．
81．（ 本小题满分12分） 在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且c a >．已知2=⋅BC BA ,, 3=b ．求： （1）c a ,的值； （2）)cos(C B -的值．
82．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且acosB ﹣bcosA=c ． （Ⅰ）求证tanA=3tanB ； （Ⅱ）若B=45°，b=
，求△ABC 的面积．
83．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，
且 //m n ． （1）求锐角B 的大小; （2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值．
84．（本小题满分13分）在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且
1)1tan (tan cos cos 3=-C A C A .
求ABC ∆的面积. 85．（本题满分14分）如图所示， A 、B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上， AOP θ∠=（0θπ<<），点C 坐标为()2,0-，平行四边形OAQP 的面积为S ．
（Ⅰ）求
的最大值；
（Ⅱ）若CB ∥CB ，求sin 23πθ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
． 86．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若
()2cos cos a c B b C
-=
． （1）求角B 的大小；
（2）若3a =， ABC ∆，求BA AC ⋅ 的值．
87．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
a ＝1，
b ＝2．
（1）求∠C 和边c ；
（2）若BC BM 4=
,,且点P 为△BMN 内切圆上一点，
求
88．（本小题满分12
时，求)(x f 的值域；（5分）
（Ⅱ）已知ABC ∆中，角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，，2=a ，求ABC ∆面积的最大值．（7分）
89．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量)1,1(-=m ，
，且n m ⊥． （Ⅰ）求A ； 取得最大值时，求B 和b ． 90．（本小题满分12分）如图，为测得河对岸某建筑物AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在建筑物底端B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿东偏北75°方向走20米到达位置D ，测得∠BDC=30°。

北南
西东
D C
B
A
（Ⅰ）求s Ⅰn ∠BCD 的值； （Ⅱ）求此建筑物的高度．
91．（本小题满分12分）如图，为测得河对岸某建筑物AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在建筑物底端B 的正东方向上，
测得点A 的仰角为α，再由点C 沿东偏北β（β角方向走d 米到达位置D ，测得∠BDC=γ．
北南
西东D C
B
A
（Ⅰ）若β=75°，求s Ⅰn ∠BCD 的值； （Ⅱ）求此建筑物的高度（用字母表示）．
92．（本小题满分12分）已知函数)(,)cos (sin cos 2)(R m
m x x x x f ∈++=
，在区间
（1）求实数m 的值；
（2）在ABC ∆中，三内角A 、B 、C 所对边分别为c b a ,,，且求b 的取值范围．
93．（本小题满分13分）在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别是a, b,
c. 已知sin 3sin b A c B =, a = 3,
（Ⅰ）求b 的值;
.
94．（12分）如图，海上有A B ，
两个小岛相距10km ，船O 将保持观望A 岛和B 岛所成的视角为60︒，现从船O 上派下一只小艇沿BO 方向驶至C 处进行作业，且OC BO =．设A C x
=km 。

（1）用x 分别表示22OA OB +和OA OB ⋅，并求出x 的取值范围；
（2）晚上小艇在C 处发出一道强烈的光线照射A 岛，B 岛至光线CA 的距离为BD ，求BD 的最大值．
95．（本题满分13分）如图，直角坐标系XOY 中，点F 在x 轴正半轴上，OFG ∆的面
积为S.且1OF FG ⋅=
，设
（1）以O 为中心，F 为焦点的椭圆E 经过点G ，求点G 的纵坐标.
（2）在（1E 的标准方程.
（3）在（2）的条件下，设点A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，点C 是椭圆的下顶点，点P 在椭圆E 上（与点A 、B 均不重合），点D 在直线PA 上，若直线PB 的方程为
，且0AP CD ⋅=
，试求CD 直线方程.
96．（本小题满分12分）在△ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，满足
222a c b ac +-=，
（1）求角B 的大小；
（2）设(sin ,cos2)m A A = ，(6,1)n =--
，求m n ⋅ 的最小值
97．如图，已知,B C 是以原点O 为圆心，半径为1的圆与x 轴的交点，点A 在劣弧 PQ
（包含端点）上运动，其中60POx ∠= ，OP OQ ⊥，作A H B C ⊥于H ．若记
AH xAB yAC =+
，则xy 的取值范围是
（A （B （C （D
98．（本题共12分，第（Ⅰ）问4分，第（Ⅱ）问8分）设P 为圆221:2C x y +=上的
动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足：
（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的方程；
（Ⅱ）过直线2x =上的点T 作圆1C 的两条切线，设切点分别为,A B ，若直线AB 与点M 的轨迹2C 交于,C D 两点，若，求实数λ的取值范围．
99．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边且
C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=．
（1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值．(10分)
100．已知△ABC 中，a,b,c 分别为角A,B,C 的对边，a 2
+b 2
<c 2
,且sin(2C －)=
(1)求角C 的大小； （2）求
的取值范围．
参考答案
1．302
【解析】
试题分析：连结A1B1，根据题意计算∴A1A2=A2B1，∴A1A2=A2B1的值，再根据出根据∠A1A2B2=180∘−120∘=60∘，推出∴△A1A2B2是等边三角形，由此到此，导出∠B1A1B2=105∘−60∘=45∘的值，再根据余弦定理，在△A1B2B1中,先求出∴B1B2=102的距离，最后由时间求出乙船航行的速度．
试题解析：如图，连结A1B1，由已知A2B2=102，A1A2=302×20
60
=102，
∴A1A2=A2B1，又∠A1A2B2=180∘−120∘=60∘，
∴△A1A2B2是等边三角形，
∴A1B2=A1A2=102，
由已知，A1B1=20，∠B1A1B2=105∘−60∘=45∘，
在△A1B2B1中，由余弦定理，
B1B22=A1B12+A1B22−2A1B2·A1B2·cos45∘=202+(102)2−2×20×102×2
2
=200．∴B1B2=102．
因此，乙船的速度的大小为102
20
×60=302（海里/小时）
答：乙船每小时航行302海里．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
2．（1）见解析；（2）
9 28⎛⎤ ⎥
⎝⎦
.
【解析】试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数的值域即可.
试题解析：(Ⅰ)由tan a b A =及正弦定理，得
sin sin cos sin A a A
A b B
==，∴sin cos B A =， 即sin sin 2B A π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
， 又B 为钝角，因此
,22A π
ππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
， 故2
B A π
=
+，即2
B A π
-=
；
(Ⅱ)由（1）知， ()C A B π=-+
22022A A ππ
π⎛
⎫-+
=-> ⎪⎝
⎭，∴0,4A π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
于是sin sin sin sin 22A C A A π⎛⎫
+=+-
⎪⎝⎭
2
2
19sin cos22sin sin 12sin 48A A A A A ⎛
⎫=+=-++=--+ ⎪⎝
⎭，
∵04A π
<<，∴0sin A <<，因此2
1992sin 2488A ⎛
⎫<--+≤ ⎪⎝⎭，由此可知
sin sin A C +的取值范围是98⎤
⎥⎝⎦
． 考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.
视频 3．（1π
25
【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将条件转化为角的关系()sin cos ,sinA B sinC C =+再利用三角形内角关系、诱导公式及两角和正弦公式化简得cos ,BsinC sinBsinC =即得
tan 1B =， （2由余弦定理得222
12212cos 54cos BC D D =+-⨯⨯⨯=-，将数据代入可得
最后根据三角形有界性可得四边形ABCD 的面积最大值。

试题解析：解：（1）在ABC ∆ 中，
()cosC a b sinC =+. 有
()()()
sin cos ,cos sinA B sinC C sin B C sinB sinC C =++=+
，
cos ,0BsinC sinBsinC sinC ∴=> ，则c o s B s i n B = ，即()t an 1,0,B B π=∈ ，则
（2）在BCD ∆ 中， 2222,1,12212cos 54cos BD DC BC D D ==∴=+-⨯⨯⨯=- ，
，
则ABC ∆为等腰直角三角形， ，又
时，四边形ABCD 4．（1）A =π4
（2）π4
<C <π
2
【解析】试题分析：（1）由余弦定理化简条件得cos (A +C )sin A cos A =
−2cos B sin 2A
，即得sin 2A =1，再根据
三角形内角范围可得A =π
4（2）利用B +C =3
4π化简条件得sin B
cos C =
sin (3
4
π−C )cos C
=
22
+
2
2
tan C > 2，即得tan C >1，最后根据三角形内角范围可得π4<C <π
2 试题解析：①由余弦定理得：
b 2−a 2−
c 2a c =−2cos B
又cos (A +C )
sin A cos A =−2cos B sin 2A
且cos B ≠0
∴
−2cos B sin 2A
=−2cos B
∴sin 2A =1 又∵A ∈(0,π) ∴A =π
4 ②∵B +C =3
4π ∴sin B
cos C =
sin (3
4
π−C )cos C
=
22
+
2
2
tan C > 2
∴tan C >1 又 0<C <3
4
π
∴π4
<C <π
2
5．（1）
8
3
（2）
【解析】试题分析：（1）求出sin B =
由正弦定理得sin AB AD sin ADB B =∠ ，由此能求
出AD ；（2）推导出2,3,6ABD ADC ABC ADC ABC S S S S S BC ∆∆∆∆∆==== ，从而得到
2?sin BAD AC sin CAD AB ∠=∠ ，由此利用余弦定理能求出sin BAD
sin CAD
∠∠ 的值.
试题解析：（1）在三角形中，∵cosB=，∴sinB=．
在△ABD 中，由正弦定理得，
又AB=2，，sinB=
．
∴AD=．
（2）∵BD=2DC，∴S △ABD =2S △ADC ，S △ABC =3S △ADC ， 又，∴ ∵S △ABC =，∴BC=6， ∵
，，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
S △ABD =2S △ADC ，∴
，
在△ABC 中，由余弦定理得：
AC 2
=AB 2
+BC 2
﹣2AB•BC•cos∠ABC，∴AC=4
，
∴=2•=4．
6．（1）2（2）4a = 【解析】试题分析：
（1）由余弦的二倍角公式求得cos A ，再由同角关系求得sin A ，根据数量积的定义求得
5bc =，选面积公式
（2）由余弦定理可得()2
222
2cos 22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--可求得a ．
试题解析：
（1
又cos 3bc A = ∴5bc =
（2）由（1）5bc =又由余弦定理()2
222
2cos 22cos 16a b c bc A b c bc bc A =+-=+--=
∴4a =
7．（12【解析】试题分析：（1）由正弦定理把条件统一成边，转化成余弦定理，即可求解；（2）根据面积公式及（1）的结果，得出6ab =，再有即222a b c ab +-=，即可求出5a b +=，从而得到周长．
试题解析：（1）由已知以及正弦定理，得()()()a a b c b c b -=-+，
即222
a b c ab +-=，
又()0,C π∈，所以
（2）由（1）知222
a b c ab +-=，所以()2
237a b ab c +-==，
，所以6ab =， 所以()2
7325a b ab +=+=，即5a b +=， 所以ABC 的周长为
8．（1
（2
【解析】【试题分析】（1）依据题设运用三角形的面积公式建立方程求解；（2）运用正弦定理求出三角形内角,B C 的值，运用三角变换公式及函数的图像的变换求出
（1）在ABC ∆
中 2c ∴=
（2
又∵0B π<<
将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的
()g x 的单调增区间为
9．（1）B =π
3;（2）4 3. 【解析】
试题分析：（1）由向量m ,n 共线可得到坐标间的关系，即三角形边角的关系式a 2+c 2−b 2=a c ，结合余弦定理可求得B 的大小；（2）由正弦定理将a ,c 边转化为三角形的内角表示，借助于三角函数单调性可求得最大值.
解：（1）因为m ∥n ，所以(a +b )(sin A −sin B )−c (sin A −sin C )=0.由正弦定理可得(a +b )(a −b )−c (a −c )=0，即a 2+c 2−b 2=a c .由余弦定理可知cos B =a 2+c 2−b 2
2a c
=a c
2a c =1
2.
因为B ∈（0，π），所以B =π
3.
（2）设∠B A D =θ，则在ΔB A D 中，由B =π3
，可知θ∈（0，
2π3
）.由正弦定理及A D = 3，有
B D sin θ
=
A B
sin (2π3
−θ)
=
A D sin
π3
=2，所以B D =2sin θ,A B =2sin (2π
3−θ)= 3cos θ+sin θ，所以a =2B D =
4sin θ,c =A B = 3cos θ+sin θ，从而a +2c =2 3cos θ+6sin θ=4 3sin (θ+π
6)，由
θ∈（0，2π3），可知θ+π6∈（π6，5π6），所以当θ+π6=π2，即θ=π
3
时，a +2c 取得最大值4 3.
点睛：本题是向量与解三角形的结合，解答题中的向量运算以坐标运算为主，在解三角形问题中常利用正弦定理实现边化角，利用三角函数性质求最值，利用余弦定理由边可求得角的大小.
10．（1）4ac =；（2
【解析】
试题分析：（1）根据正弦定理变形可以将已知条件
所以2sin sin sin B A C =，则24b a c ==；（2）
1，又因为a b c >>，所以B 为锐角，则
所以2210a c +=，
于是可以求出,a c 的值.
由正弦定理得2b ac =，即4ac =.………………6分
（2分 又4ac =且 2 b a b c =>>，
， ∴B 为锐角，∴分
，又a c >，∴分 考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角形面积公式. 11．
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用向量的数量积公式及三角形的面积公式求解；(2)依据题设运用向量平行的条件建立三角方程进行探求. 试题解析：
（1
，∴15ab =，
，(0,)C π∈，
（2）因为//x y ，所以
，显然cos 20B ≠，
考点：向量的坐标形式的平行条件、数量积公式、三角变换公式等有关知识的综合运用． 12．（1）
5
4
CD =
；（2）【解析】试题分析：由正弦定理可得1
sin sin cos sin sin cos sin 3
A A C C A A C +=
⇒ 1sin sin sin 3A B C =.（1）由2c b = ⇒ sin 2sin C B = ⇒ 2
sin 3A = ⇒
18sin 23ABC S bc A ∆=
= 58
BCD ABC S CD AC S ∆∆⇒== ⇒ 54
CD =；（2）由cos B = ⇒
sin 5
B =
，又()3sin A A B =+ ⇒ sin cos A A = ⇒ tan 1A = ⇒ 4A π=
⇒
22126
42
c b +-=，
易
得
3c b c =
==
⇒
222
913265105
a a a +-= ⇒
a =⇒
6b c == ⇒
最短边的边长试题解析： 1
sin cos sin cos 3a A C c A A c += ，
∴1
sin sin cos sin sin cos sin 3
A A C C A A C +=，
即1
sin sin sin 3
A B C =.
（1）2c b = ，∴sin 2sin C B =，则2
sin 3
A =，
∴18
sin 23
ABC S bc A ∆==，
52,,3BCD
BCD ABC
S CD AC S AC S ∆∆∆===
， ∴54
CD =
. （2
）由cos B =
sin B =， ()C A B π=-+
，∴()3sin A A B =+，
则sin cos A A =，得tan 1A = ∴4
A π
=
，则2212642
c b +
-=，
1
sin sin 3
A C =
且1sin sin 3B C =，
∴c b =
==，∴222913265105a a a +-=.
解得a =
6b c ==. ∴ABC ∆
的最短边的边长考点：1、解三角形；2、三角恒等变换.
13．（1）c=3；（2）y∈(−1,1].
【解析】试题分析：（1）用正弦定理化简a=b cos C+3
3c sin B得B=π
3
，再由余弦定理求得c=3；
（2）化简y=3sin(2A−60∘)−1，由于三角形为锐角三角形，所以A∈(30∘,90∘)，由此求得y∈(−1,1].
试题解析：
(1)∵a=b cos C+3
3c sin B∴sin A=sin B cos C+3
3
si n C sin B；
∴cos B sin C=
3
3
si n C sin B∴tan B=3∴∠B=
π
3∵b2=a2+c2−2a c cos B∴c2−2c−3=0∴c=3
(2)∵y=3sin(2A−30∘)−2sin2(C−15∘)=3sin(2A−30∘)−1+2cos(2C−30∘)
=3sin(2A−30∘)+cos(210∘−2A)−1=3sin(2A−30∘)−cos(2A−30∘)−1=3sin(2A−60∘)−1……10分
又ΔA B C为锐角三角形，∴A∈(π
6,π
2
)∴y∈(−1,1].
考点：解三角形，三角恒等变换.
14．（Ⅱ）2．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先利用同角三角形函数间的基本关系求得cos B的值，然后利用两角和的正弦公式求得sin C的值，从而利用正弦定理可使问题得解；（Ⅱ）首先根据D为BC边中点，利用向量间的关系求得,b c间的关系式，然后结合（Ⅰ）求得,b c的值，从而利用三角形面积公式可使问题得解．
试题解析：（Ⅰ）ABC
∆中
（Ⅱ）D 为BC 中点，2AD AB AC ∴=+
22242AD AB AB AC AC =+⋅+ 即
由()I 知
②，联立①②解得2=b ，
考点：1、同角三角形函数间的基本关系；2、两角和的正弦公式；3、正弦定理；4、平面向量的运算．
【方法点睛】在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围． 15．(1) A =π
3
(2)
3 32
【解析】
分析：（1）利用平面向量共线（平行）的坐标表示可得asinB− 3bcosA ＝0，又sinB≠0，结合正弦定理可得：tanA ＝ 3，再结合范围0＜A ＜π，即可求得A 的值. （2）先由（1）的A 的余弦定理可得c 值，然后由面积公式即可解决. 详解：因为m
//n ，所以a sin B − 3b cos A =0， 由正弦定理，得si n A sin B − 3si n B cos A =0，
又sin B ≠0，从而tan A = 3，由于0<A <π，所以A =π
3；
(2)解法一：由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2b c cos A ，代入数值求得c =3， 由面积公式得,ΔA B C 面积=1
2b c sin A =
3 32
.
解法二：由正弦定理，得
7
sin
π3
=2
sin B ，从而sin B =
21
7
， 又由a >b 知A >B ，所以cos B =
2 77
，
由sin C =sin (A +B )=sin (B +π
3)，计算得sin C =3 2114
，
所以ΔA B C 面积=1
2a b sin C =
3 32
.
点睛：考查向量的平行，三角函数的计算以及三角形公式，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
16．（1）2；（2 【解析】
试题分析：（1）利用正弦定理，化简题设中的条件，可得()()sin 2sin A B B C +=+，即
（2）由（1）和利用余弦定理可得,a c 的值，再利用三角形的面积公式，即可求解ABC S ∆．
∴cos sin 2cos sinB 2sinCcosB sinAcosB A B C -=-， ∴()()sin 2sin A B B C +=+， ∴sin 2sin C A =，∴
（2考点：正弦定理；余弦定理；三角形的面积公式．
17．（1（2【解析】
试题分析：（1）直接利用向量的数量积求解a 与b 的夹角的余弦值；（2）表示出向量a b λ-
与2a b +
的坐标，利用向量平行，列出方程，即可求解λ的值.
试题解析：（1）∵(4,3)a = ，(1,2)b =-
， ∴4(1)322a b ∙=⨯-+⨯= ，||5a = ，
（2）∵(4,3)a = ，(1,2)b =- ，∴(4,32)a b λλλ-=+- ，2(7,8)a b +=
，
∵a b λ- 与2a b + 平行，∴
考点：向量的坐标运算；向量平行（共线）的应用. 18．（1）124米 （2时，αβ-最大．
【解析】
试题分析：（1）在直角ABE ∆
中，可得，在直角ADE ∆中可得，再根据AB BD AD +=，即可求解H 的值；（2）先用d 表示出和tan ,tan αβ，再根据两角和的公式，求出()tan αβ-，利用基本不是可知当
时，tan()αβ-有最大值，即可得到答案．
因此，算出的电视塔的高度H 是124m ．
m ）时，上式取等号．
时，()tan αβ-最大，
时，αβ-最大．
考点：解三角形的实际应用． 19．（Ⅰ）【解析】
试题分析：（Ⅰ）所以，即可求出结果． (Ⅱ)因s 2
，所以，
当
即时，()m a x 3f x =，此时
又因为sin 0C ≠，
(2)
，()m a x 3f x =，此
，所以
考点：1.三角恒等变换；2.正弦定理。

20．（1） 2
4
（2）B B ′=2，A C =1+ 7
【解析】试题分析：（1）因为∠B C B ′=2∠B C A ，所以利用二倍角余弦公式得1−2sin 2∠B C A =3
4，
解得sin ∠B C A =
24
（2）在等腰ΔB B ′C 中，由余弦定理得B B ′2
=2B C 2−2B C ·B C cos ∠B CB ′,或利用
直角三角形B C M ，M 为B B ′与A C 交点.在ΔA B C 中，利用正弦定理得A C =B C ·sin ∠C B A
sin ∠B A C
,而sin ∠A B C =sin (∠B C A +∠B A C )，利用两角和正弦公式可得 试题解析：（1）∵ΔA B C ≅ΔA B ′C ,∴∠B C A =∠B ′C A ,
∵sin ∠B C A >0,∴sin ∠B C A =
24
∴cos ∠B C B ′=cos 2∠B C A =1−2sin 2∠B C A =3
4,. （2）∵ΔA B C ≅ΔA B ′C .A B ⊥A B ′,∴∠B A C =π
4, 由正弦定理得：A B sin ∠B C A =B C
sin ∠B A C ⇒A B =B C ⋅sin ∠B CA
sin ∠B A C
= 2,
∴在等腰R t ΔA B B ′中,B B ′= 2A B =2,
由余弦定理得：B C 2=AB 2+AC 2−2A B ·A C cos ∠B A C , 即8=2+AC 2−2 2A C ⋅
2
2
⇒AC 2−2A C −6=0⇒A C =1+ 7（负根舍去）,
（或由A C =B C (sin ∠B C A +cos ∠B C A )亦可求得）.
考点：二倍角公式，正余弦定理
【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件
即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具
即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
21．（I （II ）2max -=y . 【解析】
试题分析：（I ）2-=⋅CB AC 可得2,
,c o s
C A C B A C B a b θθ⋅=∠== 得由
sin 2cos2cos2sin 2m n A B A B
⋅=+
sin(22)sin(22)sin 2sin 2A B C C πθ
=+=-=-=-，
所
以
2
2
|2||
|
44
|
m n m m n n
+
=
+⋅+
54sin 2θ=-，根据三角函数即可求得|2|n m +的取值范围；（II ）根据三角恒等变换可
得
，换元处理，可设
，由三角函数的值域可得，所以，这样可得关于t 的二次函数，通过研究其单调性求得其最大值.
试
题
解
析
：
()sin 2,cos2m =A A ，()cos2,sin 2n =B B
θπ2sin 2sin )22sin()22sin(2sin 2cos 2cos 2sin -=-=-=+=+=⋅C C B A B A B A n m θ2sin 45||44|||2|222-=+⋅+=+n n m m n m
]3,1[2sin 45∈-θ,
（
2
）
时，2max -=y 考点：向量数量积的运算与性质 、三角恒等变换及三角函数的值域与最值等.
【方法点睛】本题主要考查了向量数量积的运算与性质 、三角恒等变换及三角函数的值域
与最值等，考查了换元法及函数的思想方法，属于中档题.行转化，本题第一问根据这一性质把问题转化为正弦函数在给定区间上的值域问题；本题解答的难点是第二问中通过三角恒等变换把函数化为
通过换元进一步转化为二次函数在定区间上的最值来求解.
22．（1（2
【解析】
试题分析：（1）运用正弦定理进行等价转化求解；（2）借助题设条件运用余弦定理求解. 试题解析:
因为sin 0B ≠，整理得2sin Ccos sin cos sin cos A -B A =A B 即()2sinCcos sin cos sin cos sin sinC A =B A+A B =A+B =
因为sin C 0≠得（2）由sin C 2sin =B 及正弦定理得2c b = 由余弦定理，得2222cos a b c bc =+-A 把3a =，2c b =，代入上式得：293b =
考点：正弦定理余弦定理的运用． 23．D 【解析】
试题分析：设
,是y =4x 2的准线,∴d =1
2
(m +n ),
|M N |2=m 2+n 2−2m n c os 135∘=m 2
+n 2+ 2m n =(m +n )2+( 2−2)m n ≤(m +n )2+( 2−
2)×
(m +n )2
4 =( 2+2)
4
·(m +n )2, ∴λ=
|M N |2
d ≤
2+2
4(m +n )2(m +n )24
= 2+2,故选D.
考点：1、抛物线的定义；2、余弦定理及基本不等式求最值.
【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及余弦定理和基本不等式求最值，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的相互转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.解
答本题的关键就是将的中点到直线：的距离记为转化为到焦点的距离
和的一半.
24．（1）（2）存在符合题意的点E ，且实数t 的取值范围为 【解析】
试题分析：（1）根据“求什么设什么”的原则，设()y x M ,
表示P 点的坐标，代入圆的方程，422=+y x ，就得到点M 的轨迹方程；（2）当斜率不存在时，易得点E 是原点，当斜率存在时，设直线l ：2+=kx y ，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系以及0>∆，若则AB EB EA ⊥+,这样转化为向量数量积等于0，转化为坐标的关系得到实数t 的取值范围. 试题解析：（1）设点M 的坐标为()y x ,， 点P 的坐标为()yp xp ,，
点P 在圆上，
∴点M 的轨迹方程为 （2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0=x ，当E 与原点重合，即0=t
时，满足
当直线l 的斜率存在时，
设直线l 的方程为2y kx =+，代入，消去y ，得()2341640k kx +++=， 则由()(
)2
2
1616340k k ∆=-+>，得 设()()1122,,,A x y B x y ，
又()()1212,42EA EB x x k x x t +=+++-
，。