28.1 锐角三角函数（1）导学案（教师版学生版）

28.1锐角三角函数（1）
学习目标：
1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sin A 表示直角三角形中两边的比．
2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用．
3.通过学习培养学生的合作意识，提高学生学习数学的兴趣． 学习重点：
锐角三角函数的概念． 学习难点：
锐角三角函数概念的理解． 学习过程： 一、新知引入
问题：操场上有一个旗杆，老师让小美去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片)小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1米，然后他很快就算出旗杆的高度了．
你想知道小美是怎样算出的吗？
二、新知讲解
问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m ，那么需要准备多长的水管？
分析：问题转化为在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝35 m ，求AB.（试一试）
解：
思考1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m ，那么需要准备多长的水管？
●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于_________.
思考2：如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠A ＝45°，计算∠A 的对边与斜边的比BC
AB ，
能得到什么结论？
分析：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由于∠A ＝45°，所以Rt △ABC 是等腰直角三角形 ∴BC
AB =_________________
●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于__________.
疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝∠A ′＝α，那么BC
AB 与
B ′
C ′
A ′
B ′
有什么关系？你能解释一下吗？
●结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A 的对边与斜边的比都是一个________．
●正弦的概念：
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即
sin A ＝
∠A 的对边斜边＝a
c
.
例如，当∠A ＝30°时，sin A ＝sin 30°＝____；当∠A ＝45°时，sin A ＝sin 45°＝________.
当∠A ＝60°时，sin A ＝sin 60°＝________ ※注意：
1．sin A 不是sin 与A 的乘积，而是一个整体．
2．正弦的三种表示方式：sin A ，sin 56°，sin ∠DEF. 3．sin A 是线段之间的一个比值，sin A 没有单位．
提问：∠B 的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
sin B ＝
∠B 的对边斜边＝b
c
.
三、例题讲解
例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求sin A 和sin B 的值．
解：
巩固练习：
1.判断对错:
2.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin ∠OAB 等于____
3.在Rt △ABC 中,∠C=900,AD 是BC 边上的中线,AC=2,BC=4,则sin ∠DAC=___.
4.在Rt △ABC 中,3
3 b a 则sin ∠A=___. 四、拓展提高
例2 在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=2,sinA=
3
2
则边AC 的长是( ) A.5 B.3 C.
3
4
D.13 巩固练习：
1.如图,在Rt △ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100倍,sinA 的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
1题 2题 3题 4题 2.如图，则sinA=______
3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF ＝( )
A.
43 B.34 C.53 D.5
4 4.如图，⊙O 的直径AB ＝4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC ＝5，则AD 的长为( ) A.
56 B.5
8
C. 57
D.532
5.如图, ∠C=90°CD ⊥AB.sinB 可以由哪两条线段之比?若ＡC=5,CD=3,求sinB 的值.
总结：求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。

五、课堂小结
本节课你有哪些收获？谈谈你的体会。

六、布置作业
教材64页练习1、2题
当堂测评
1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则sin A 的值是( )
A.34
B.43
C.35
D.45 2．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则sin ∠AOB ＝( )
A.
55 B.255 C.12
D ．2 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值( )
A ．扩大2倍
B ．缩小2倍
C ．扩大4倍
D ．不变 4．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，sin B ＝3
5
，则AB ＝( )
A ．15
B ．12
C ．9
D ．6
5．如图，在平面直角坐标系内一点P (5，12)，那么OP 与x 轴的夹角α的正弦值是____．
6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，求sin A 和sin B 的值．
7．计算：sin30°－|－2|＝______
8．如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A 出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B 处)，AB ＝80米，则孔明从A 到B 上升的高度BC 是____米．
9．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列线段之比不等于sin A 的是( ) A.
CD AC B.BD BC C.BC AB D.CD BC
10．已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，DE ＝3，BC ＝9. (1)求AD AB
的值；
(2)若BD ＝10，求sin A 的值．
11．在矩形ABCD 中，DC ＝23，CF ⊥BD 分别交BD ，AD 于点E ，F ，连接BF .
(1)求证：△DEC∽△FDC；
(2)当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．。