江苏省淮阴中学第一学期期中考试高二数学试题

江苏省淮阴中学2008-2009学年度第一学期期中考试
高二数学试题
命题 刘彩虹 沈毅 审定 俞光军
一、填空题：（每题5分，共70分）
1．已知命题p:01x x ,R x 2≥+-∈∀，则⌝p 2．将下列三段论形式的演绎推理补充完整： ___________ ★ ____________，
0.3
3 是无限循环小数， 所以0.3
3 是有理数。

3．根据上面的流程图，当输入的值为3时，输出的结果是____★ ___
4．在∆ABC 中，3,4,5为其三边长，且随机地向∆ABC 内丢一粒豆子，则豆子落入此三角形内切圆内的概率是____★
___ 5．P ：
03
x 1
<-,q ：x 2-4x-5<0，若p 且q 为假命题，则x 的取值范围是____★ ___ 6．某小卖部为了了解热茶销量y （杯）与气温C x 0之间的关系，随机统计了某4天卖出 的热茶杯数与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据得线性回归方程a bx y
ˆ+=中2b -=，预测当气温为C 50-时，热茶销量约为____★__ _杯
7．已知
22cos )
4sin(=α
π
-α，则α2sin =____★ ____ 8．高二（1）班有65名学生，某次数学考试的平均分是120分，标准差为S ，后来发现录
分有误，甲同学的130分误记为150分，乙同学的120分误记为100分，更正后重新计算得标准差为S 1，则S 1与S 的大小关系是__★ ___
9．函数)x sin(2)x (f θ+=是奇函数的充要条件是___ ★ ____ 10．下列命题中，真命题的序号是___ ★ ____ ①命题“若a>b ，则
b
1
a 1<”的逆命题； ②“m>0”是“方程0m 2x 4x 2=--有实根”的充分不必要条件； ③甲、乙两人下棋，两人和棋的概率为,2
1乙获胜的概率为
31
，则6
5是乙不输的概率。

11．甲、乙、丙、丁四位女生玩传手绢游戏，拿到手绢的人立即传给其他3人中的一个，现从甲开始传手绢，经过三次传递后，手绢仍回到甲手中的概率是___ ★ ____ 12．下面伪代码输出的结果是___ ★ ____ S ←1
For i Form 1 TO 2009 S ←2S+3
If S>20 Then S ←S-20 End For Print S
13．等差数列{n a }中，S n 是数列{n a }的前n 项和，则数列}n
S {
n
为等差数列。

类比上述结论，在等比数列}b {n （0b n >）中正确的结论是___ ★ ____
14．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当b a ≥时，a ⊕b=a,当a<b 时，a ⊕b=b 2。

已知函数f(x) = (2⊕x )·x-(m ⊕x)(m<2)，若对任意]2,3[x -∈， f(x )≥ - 5恒成立，则m 的取值范围是___ ★ ____（“· ”“— ”仍为通常的乘法与减法）
二、解答题：（本大题共90分）
15．(14分)写出命题：“若a ，b 都是偶数，则a+b 是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别其判断真假。

16．(14分) 已知复数z=i )3m (2
)i 1(m 2
-+++. (1)若R m ∈且R z ∈，求实数m 的值；
(2)若R m ∈,复数z 所对应的点位于第一象限，求实数m 的范围； (3)若m 是复数，且z=0, 求复数m 。

17．(15分)某中学共有1000名学生参加了科普知识竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：
（1）填充频率分布表的的空格，并画出频率分布直方图与折线图；
（2）若成绩在[98，100]分的学生为一等奖，成绩在[71，90]分的学生为三等奖，根据抽取学生的成绩估计获得一等奖、三等奖的学生分别为多少人？
18．（15分）设复数z=a+bi ()R b ,a ∈,
（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求事件“|z |>3”的概率；
（2）若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求事件“|z |>3”的概率。

19．(16分) （1）A 、B 为锐角．．∆ABC 的两个内角，判断sinA 与cosB 的大小关系，并证明你的结论； (2) 在∆ABC 中，若
2B
sin A
cos A sin B cos =+，它的形状确定吗？证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，若∆ABC 的周长为2，求其面积的最大值。

20．（本小题满分16分）（文科只做（1）、（2），理科做（1）、（2）、（3）） 已知二次函数x ax )x (f 2+-=． （1）若０＜a ＜
21，]1,1[x -∈时，f(x)的最大值为3
2
，求a 的值； （2）∃R x ∈，|f(sinx)|≥2．试求a 的取值范围； （3）当1a -=时，求证：*
N n ∈∀，2)i (f i
1n
3n
i <<
∑=．
江苏省淮阴中学2008-2009学年度第一学期期中考试
高二数学答题纸
一、填空题：（本题共14小题，每题5分，共70分）
1．__________________________________ 2．___________________________________ 3．______________ 4．______________ 5．______________ 6．_______________ 7．______________ 8．______________ 9．______________ 10．______________ 11．______________ 12．______________ 13．___________________________________ 14．______________
二、解答题：（本大题共90分）
15
16
18
20
江苏省淮阴中学2008-2009年度第一学期期中考试高二数学试题参考答案及评分标准
1．01x x ,R x 2<+-∈∃ 2．无限循环小数是有理数。

3．26 4．6
π 5.),3[]1,(+∞⋃--∞ 6．70 7．43-
8．S>S 1 9．)z k (k ∈π=θ 10．②③ 11．9
2
12．5 13．若T n 是等比数列的前n 项积，则n n T 是等比数列 14． ]1,61[-- 15.逆命题：若a+b 是偶数，则a ，b 都是偶数；（假） -------- --(4′) 否命题：若a ，b 不都是偶数，则a+b 不是偶数；（假） -------- --(9′) 逆否命题：若a+b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数。

（真） -------- --(14′) 16. z=m+(m-2)i---- --(2′),
（1）m=2- --(6′), (2)m>2- --(10′), (3)i 1m += ------(14′), 17． （1）0.24, 15 , 0.2, 5 , 0.1 , 1--------- --(5′) 图--------- --(10′) (2)一等奖：
3010001.010
3
=⨯⨯；二等奖：360100016.010002.0=⨯+⨯(15′) 18．1）解：设事件A 为“|z |>2”，|z |>3 3b a 22>+⇔--------- --(3′) 基本事件共12个（其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．）：
(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.--------- --(6′)
事件A 中包含6个基本事件:（0，2）,(1,2),（2，0），(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)--(8′)
事件A 发生的概率为3
2
128)A (p ==
．--------- --(10′) （2）试验的全部结果所构成的区域为．}2b 0,3a 0|)b ,a {(≤≤≤≤，构成事件A 的区域
为}0b ,0a ,3b a |)b ,a {(22>>>+．--(13′)所求概率为8
16436)A (p π-=π
-
=．---(15′) 19．1）sinA>cosB --------- --(2′)
证：由条件：A+B>90°,即0°<90°-A<B<180°,∴B cos )A 90cos(0>-，即sinA>cosB (5′) （2）猜想C=900. ---- --(7′)
①假设C<90°,则A+B>90°,又由2B
sin A
cos A sin B cos =+，若A 为钝角，则B 也为钝角，故A 、B 只能都为锐角。

由（1）sinA>cosB ，1A sin B cos <∴
，同理1B sin A cos <2B
sin A
cos A sin B cos <+∴与条件矛盾。

--------- --(9′)
②假设C>90°,则A+B<90°,0°<A<90°-B<90°, 所以0<sinA<sin(90°-B)，即sinA<cosB,
1A sin B cos >∴
，同理1B sin A cos >2B
sin A
cos A sin B cos >+∴与条件矛盾。

--------- --(11′)
因此假设不成立，所以C=90°,即三角形ABC 是直角三角形。

（3）csinA+ccosA+c=21
A cos A sin 2
c ++=
⇒,A cos A sin c 21S 2ABC =∴∆
2
ABC )
A cos A sin 1(A
cos A sin 2S ++=
∆,--------- (13′) 设sinA+cosA=t,则]2,1(t ∈，1t A cos A sin 22-=
1
t 2
11t 1t S ABC +-=+-=
∆，---(15′) 223)S (，45A ,2t max ABC 0-===∴∆时即(16′) 20．解:⑴1
02a <<⇒1a 21>故x=1时()f x 最大,321a )1(f =+-=,31a =(5′) (8′) ⑵令t=sinx,，则命题转化为2|t at |],1,1[t 2≥+--∈∃， 当0t =时，f(0)=0，结论不成立; -------- (6′) (10′)
当0t ≠时，]1,0()0,1[t ⋃-∈∃，t 1)t 1(2a 2+≥ 或t
1)t 1(2a 2
+-≤------- (8′) (12′)
]1,0()0,1[t ⋃-∈，),1[]1,(t
1
+∞⋃--∞∈∴
1]t 1)t 1(2[min 2=+∴，1]t
1
)t 1(2[max 2-=+-1a 1a ≥-≤∴或 ------- (10′) (16′)
（3）由题意，3311111()112331
n
n
i n i n i f i i n n n n ====+++⋯++++++∑
∑ 令1111
()123
31g n n n n n =
++++
++++， 则1111
(1)234
34
g n n n n n +=
++++++++ 1111
(1)()03433321
g n g n n n n n +-=
++-=>++++
()g n ∴在*N n ∈时单调递增，13
()(1)112
g n g ∴≥=
>．
（也可用数学归纳法）-------- (13′) 又
1111123
31n n n n >>>>++++,1
()(21)21
g n n n ∴<+<+,综上,原结论成立．-- (16′)。