高二期末理(学生)试卷

湖北省黄冈中学2012年春季高二年级期末考试
数学试题（理）
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．若复数2
(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 （ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．1-或1 2．设集合A={ln(1)x y x =-}，集合B={2y y x =}，则A
B = ( )
A ．[0,1]
B ．[0,1)
C ．(,1)-∞
D ．∅
3．[)
22,(,1)
(),1,x x f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩ ，则[])2(-f f = ( )
A ．16
B ．4
C ．
41 D ．16
1
4．对于函数()y f x =，x ∈R ，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
5．如图，ABCD 是边长为l 的正方形，O 为AD 的中点，抛物线的顶点为O 且通过点C ，则
阴影部分的面积为 ( )
A ．
1
4
B ．
1
2 C ．1
3
D ．16
6．如图，AB 为O 的直径，弦AC ，BD 交于点P ，若3,AB =1CD =，
则sin APD ∠= ( ) A ．
3
B ．
3 C ．1
3
D
．3 7．若直线20(0,0)mx ny m n -+=>>和函数1
()1(01)x f x a a a +=+>≠且的图像恒过同
一个定点，则21
m n
+的最小值为（ ） A ．10
B ．8
C ．4
D ．2
8．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，(1)0,)(f x x '-<
设1
(0),(),(5),2
a f
b f
c f ===则,,a b c 的大小顺序为（ ）
A ．b c a <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b a c <<
9．定义域为R 的偶函数()f x 满足对x ∀∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时
2()2(3)f x x =--，若函数()log (1)a y f x x =-+在0+∞（，）
上至少有三个零点，则a 的取值范围为（ ） A
． B
． C
． D
． 10．已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表，
()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示．
下列关于函数()f x 的命题： ① 函数()y f x =是周期函数； ② 函数()f x 在[]02，是减函数；
③ 如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的
最大值为4；
④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点． 其中真命题的个数是 ( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知命题“x ∃∈R ,|||1|2x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________． 12．若直线340x y m ++=与曲线 ⎩⎨
⎧+-=+=θ
θ
sin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的
取值范围是____________．
13．已知函数()f x 在R 上满足22()(1)321f x f x x x +-=-+，则曲线()y f x =在点
(1,(1))f 处的切线方程是 ．
14．设(1,1,2),(,,)a b x y z =-=，若2
2
2
16x y z ++=，则a b ⋅的最大值为 ． 15
==
=
=(a ，t ，n 为正
实数，2n ≥），通过归纳推理，可推测a ，t 的值，则a t += ．（结果用n 表示）
y
x
f (x )
x
三．解答题（本大题共6小题，共75分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）
已知命题p ：函数2
lg(1)y ax ax =-+的定义域为R ，命题q :函数2
23
a
a y x --=在
(0,)x ∈+∞上是减函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．
17．（本小题满分12分）
已知函数)()(x g x f 和的图象关于原点对称，且.2)(2
x x x f += （Ⅰ）求函数)(x g 的解析式；
（Ⅱ）如果对x ∀∈R ，不等式()()|1|g x c f x x +≤--恒成立，求实数c 的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知2
()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值． （Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）若关于x 的方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．
19．（本小题满分12分）
一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻桥墩之间的桥面
工程费用为(2x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因
素，记余下．．工程的费用为y 万元． （Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式；
（Ⅱ）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？
20．（本小题满分13分）
已知直三棱柱111C B A ABC -的三视图如图所示，且D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；
（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒
角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．
21．（本小题满分14分）
设函数()x
f x e =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!
n
n x x x g x x n =+++++L （n +∈N ）． （Ⅰ）证明：()f x 1()g x ≥；
（Ⅱ）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；
（Ⅲ）证明：123222212341(1)n
n g
n e ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
≤L （n +∈N ）
．
A B
C
A 1
B 1
C 1
1 1。