2007年高考数学第二轮复习卷三

2007年高考数学第二轮复习卷三
说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟． 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ） 球的表面积公式 S ＝2
π4R 其中R 表示球的半径 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ） 球的体积公式 3π3
4
R V =
其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
k n k
k n n P P C k P --=)1()(
说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。

1．设全集U ＝R ，集合2|{2-==x x x M ，R}∈x ，21|{≤+=x x N ，R}∈x 则N M C U )(等
于（ ）
A ．{2}
B ．}31|{≤≤-x x
C ．{x |x ＜2，或2＜x ＜3}
D ．21|{<≤-x x 或}32≤<x
2．（理）i
i i i +---+1)2(1)21(2
2等于（ ）
A ．-3＋4i
B ．-3-4i
C ．3＋4i
D ．3-4i
（文）若12
221
33
lim →=+++x x ax x ，则a 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．函数x
+-
11
1的图像是（ ）
4．设三棱柱ABC -111C B A 的体积为V ，P 为其侧棱1BB 上的任意一点，则四棱锥P -11A ACC 的体积等于（ ） A ．V 32 B ．V 31 C ．V 4
3
D ．V 2
1
5．不等式组⎩⎨⎧>->-a
x a x 2412
，有解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（-1，3）
B ．（-3，1）
C ．（-∞，1） （3，＋∞）
D ．（-∞，-3） （1，＋∞） 6．直线1l 、2l 分别过点P （-2，3）、Q （3，-2），它们分别绕点P 、Q 旋转但保持平行，那么它们之间的距离d 的取值范围是（ ）
A ．（0，＋∞）
B ．（0，25]
C ．（25，＋∞）
D ．[25，＋∞） 7．已知f （2x ＋1）是偶函数，则函数f （2x ）图像的对称轴为（ ） A ．x ＝1 B ．21=
x C ．2
1
-=x D ．1-=x 8．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是（ ） A ．
6π7 B ．2π C ．6π D ．3
π
9．各项都是正数的等比数列{n a }的公比q ≠1，且2a ，
321a ，1a 成等差数列，则5
443a a a
a ++的值为（ ） A ．
215+ B ．215- C ．251- D ．215+或2
1
5-
10．如图，正三棱锥A -BCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上．并且
λ==FD
CF
EB AE （0＜λ＜＋∞），设α 为异面直线EF 与AC 所成的角，β 为异面直线EF 与BD 所成的角，则α＋β 的值是（ ）
A ．
6π B ．4π C ．2
π
D ．与λ 有关的变量 11．以三角形的三个顶点和它内部的三个点共6个点为顶点，能把原三角形分割成的小三角形的个数是（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
12．已知函数c bx ax x x f +++=2
3)(，∈x [-2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：
①f （x ）的解析式为：x x x f 4)(3
-=，∈x [-2，2] ②f （x ）的极值点有且仅有一个 ③f （x ）的最大值与最小值之和等于零 其中正确的命题个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上
13．已知n
n
x )1(+展开式中3
x 项的系数是
16
1
，则正整数n ＝________． 14．如图，空间有两个正方形ABCD 和ADEF ，M 、N 分别在BD 、AE 上，有
BM ＝AN ，那么
①MN AD ⊥；②M N ∥平面C D E ；③M N ∥C E ；④M N 、C E 是异面直线． 以上四个结论中，不正确的是________． 15．设向量a ＝（cos23°，cos67°），b ＝（cos68°，cos22°），u ＝a ＋t b （R ∈t ）则|u|的最小值是________．
16．连结双曲线12222=-b y a x 与122
22=-a
x b y （a ＞0，b ＞0）的四个顶点的四边形面积为1S ，连结四个焦点
的四边形的面积为2S ，则
2
1
S S 的最大值是________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知86)1(2+-=-x x x f ，-∞∈(x ，3]．
（1）求f （x ）；
（2）求)(1
x f -；
（3）在f （x ）与)(1
x f
-的公共定义域上，解不等式f （x ）＞)(1x f -＋2x ．
18．（12分）在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：
（1）乙连胜四局的概率；
（2）丙连胜三局的概率．
注意：考生在（19甲）、（19乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（19甲）计分．
19甲．（12分）已知长方体ABCD -1111D C B A 中，棱AB ＝BC ＝3，1BB ＝4，连结C B 1，过B 点作C B 1的垂线交1CC 于E ，交C B 1于F ．
（1）求证：C A 1⊥平面EBD ；
（2）求ED 与平面C B A 11所成角的大小；
（3）求二面角E -BD -C 的大小．
19乙．（12分）如图，在正方体ABCD -1111D C B A 中，E 、F 分别是1BB ，CD 的中点．
（1）证明：AD ⊥F D 1；
（2）求AE 与F D 1所成的角；
（3）证明：面AED ⊥面11FD A ；
（4）设1AA ＝2，求三棱锥F -11ED A
的体积11ED A F V -．
20．（12分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．
（1）问第几年开始获利?
（2）若干年后，有两种处理方案：
方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船
方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算．
21．（12分）已知椭圆
2222b y a x +（a ＞b ＞0）的离心率3
6
=e ，过点A （0，
-b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为
2
3
． （1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2（k ≠0）与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由．
22．（14分）（理）已知函数2
)1()(-=x x f ，数列{n a }是公差为d 的等差数列，数列{n b }是公比为q 的等比数列（q ≠1，R ∈q ），若)1(1+=d f a ，)1(1+=q b ，)1(3-=q f b ．
（1）求数列{n a }和{n b }的通项公式；
（2）设数列{n c }的前n 项和为n S ，对+
∈N n 都有+++212
1b b c c …1+=+n n n a b c 求∞→+n
n
n S S 212lim ．
（文）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且11=a ，N)2(41∈+=+n a S n n ．
（1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{n b }是等比数列；
（2）设n
n
n a c 2=，求证：数列{n c }是等差数列；
（3）求∞→-⋅n n n
n S 1
2lim ．
参考答案
1．D 2．（理）A （文）D 3．A 4．A 5．A 6．B 7．B 8．C 9．B 10．C 11．C 12．C 13．4 14．③ 15．
2
2
16．21
17．解析：（1）设t ＝x -1，得1+=t x ，2](，
-∞∈t ． 将上式代入得348)1(6)1()(22+-=++-+=t t t t t f ，（2](，-∞∈t ）． ∴ 34)(2+-=x x x f ，（2≤x ）． （2）令342+-=x x y ，得122
)
3(4164+±=--±=y y x ．
由于2≤x ，∴ 12+-
=y x ．)1(-≥y ．
∴ 12)(1+-=-x x f ，)1(-≥x ．
（3）f （x ）与)(1
x f -的公共定义域为[-1，2]．原不等式等价于⎩⎨⎧≤≤-++->+-2
1123422x x x x x ，
∴ ⎩⎨
⎧≤≤-->+2
1141x x x ， ∴ 16
91<
≤-x ． ∴ 不等式的解集为{}16
9
1|≤
≤-x x ． 18．解析：（1）当乙连胜四局时，对阵情况如下：
第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜． 所求概率为1P ＝20.4)(1-×20.5＝2
0.3＝0.09 ∴ 乙连胜四局的概率为0.09． （2）丙连胜三局的对阵情况如下： 第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜．
当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜．第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜．
当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜．
故丙三连胜的概率2P ＝0.4×2
0.6×0.5＋（1-0.4）×2
0.5×0.6＝0.162． 19．解析：（甲）（1）连结AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD ．
又 ∵ A A 1⊥平面AC ， ∴ C A 1⊥BD ．
∵ C B 1⊥BE 而11B A ⊥平面C B 1， ∴ C A 1⊥BE ．
∵ BD BE ＝B ， ∴ C A 1⊥平面BED ．
（2）连结D A 1，由B A 1∥CD 知D 在平面C B A 11内，由（1）是C A 1⊥E B ． 又∵ 11B A ⊥BE ，
∴ BE ⊥平面C B A 11，即得F 为垂足．
连结DF ，则∠EDF 为ED 与平面C B A 11所成的角． 由已知AB ＝BC ＝3，B B 1＝4，可求是C B 1＝5，5
12=
BF ． ∴ 59=
CF ，5161=F B ，则2027=EF ，49=EC ． ∴
4
15
=ED ．
在Rt △EDF 中，25
9
sin =∠EDF ，
∴ ED 与平面C B A 11所成的角为25
9
arcsin ．
（3）连结EO ，由EC ⊥平面BDC 且AC ⊥BD 知EO ⊥BD ． ∴ ∠EOC 为所求二面角E -BD -C 的平面角． ∵ 49=
EC ，2
23=OC ， ∴ 在Rt △EOC 中，42
3tan ==
∠OC EC EOC ． ∴ 二面角E -BD -C 的大小为4
2
3arctan
． （乙）如图所示，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，则D （0，0，0），A （2，0，0），F （0，1，0），1D （0，0，2），1A （2，0，2），E （2，2，1）．
（1）∵ =（-2，0，0），=D 1（0，1，-2），且21-=⋅D ×0＋0×1＋0×（-2）＝0 ∴ F D AD 1⊥．
（2）=（0，2，1），F D 1=（0，1，-2）设与F D 1的夹角为θ ，
则，
0)
2(101
20)2(11200|
|||cos 2
2
22
2
2
11=-++++-⨯+⨯+⨯=
=
⋅
⋅F D AE θ
∴ θ ＝90°，即AE 与F D 1所成的角为直角． （3）由（1）知⊥D 1，由（2）知⊥D 1， ∴ F D 1⊥平面AED ．
又F D 1⊂面11FD A ，∴ 面AED ⊥面11FD A ． （4）设AB 的中点为G ，连结GE ，1GD ． ∵ FG ∥11D A ，∴ FG ∥面11ED A ． ∴ G E A D ED A G ED A F V V V 111111---==， ∵ 21=AA ， ∴=
∆G E A S
1
2
3
21=
--∆∆BEG AG A S S ， ∴ 12
3
231311111111-⨯⨯=⨯⨯==∆--GE A GE
A D ED A F S D A V V ． 20．解析：（1）由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列．
设纯收入与年数n 的关系为f （n ），则
++-=1612[50)(n n f …9840298)]48(2
-+-=-++n n n ．
由题知获利即为f （n ）＞0，由0984022
>-+-n n ，得-10511051+<<n ．
∴ 2.1＜n ＜17.1.而n ∈N ，故n ＝3，4，5，…，17． ∴ 当n ＝3时，即第3年开始获利． （2）方案一：年平均收入)49
(240)(n
n n n f +-==
． 由于1449
249=≥+n
n n n ，当且仅当n ＝7时取“＝”号． ∴
1214240)
(=⨯-≤n
n f （万元）． 即第7年平均收益最大，总收益为12×7＋26＝110（万元）． 方案二：f （n ）＝2
2n -＋40n -98＝-22
)10(-n ＋102．
当n ＝10时，f （n ）取最大值102，总收益为102＋8＝110（万元）．
比较如上两种方案，总收益均为110万元，而方案一中n ＝7，故选方案一． 21．解析：（1）直线AB 方程为：bx -ay -ab ＝0．
依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=2336
22b
a a
b a
c ， 解得 ⎩⎨⎧==13b a ，
∴ 椭圆方程为 13
22
=+y x ． （2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=0
3322
2y x kx y ，得)31(2
k +09122=++kx x ． ∴ 0)31(36)12(22>+-=∆k k ． ①
设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=
+-=+⋅2212213193112k x x k
k x x ， ②
而4)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ．
要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则
11
12211
-=++⋅x y x y ，即0)1)(1(2121=+++x x y y ．
∴ 05))(1(2)1(21212
=+++++x x k x x k ． ③ 将②式代入③整理解得67=k ．经验证，6
7
=k ，使①成立． 综上可知，存在6
7
=
k ，使得以CD 为直径的圆过点E ． 22．解析：（1）数列{n a }为等比数列， ∴ d a a 213=-．为等比数列， 又∵ 2
213)2()1()1(--=--+=-d d d f d f a a ， ∴ d d d 2)2(2
2
=--，解得d ＝2，0)1(1==f a ． ∴ )1(2-=n a n ．又∵ }{n b 为等比数列，∴
21
3
q b b =．
而 2
213)2()1()1(q
q q f q f b b -=+-=，∴ 2
22)2(q q q =- ∵ 1≠q ，R ∈q ，∴ 2-=q ，41=b ．∴ 11)2()2(4+--=-=n n n b ． （2）由
++2
2
11b c b c …1+=+n n n a b c ①
++22
11b c b c …n n n a b c =+--1
1 ② ①-②得
21=-=+n n n
n
a a
b
c ．∴ 11)2(8)2(22-+-=-==⋅n n n n b c ． 对于}{n c ，
21
-=-n n
c c ，81=c ，知其为等比数列． ∴ ])2(1[3
8
)2(1])2(1[8n n n S --=----=，])2(1[381212++--=n n S ，])2(1[3822n n S --=．
∴ =+∞→n n n S S 212lim ∞→n lim 2)2(1)2(121
2-=----+n
n ． （文）（1）∵ 11144-++-=-=n n n n n a a S S a ，
∴ )2(2211-+-=-n n n n a a a a ，∴ )2(21≥=-n b b n n ．
且3232112121=+=-=-=a a S a a b ． ∴ }{n b 是首项为3，公比为2的等比数列． （2）∵ 123-⋅=n n b ，∴ 11232-+⋅=-n n n a a ，
∴ 432321)2(21221
111111==-=-=
--++++++⋅⋅n n n
n n n n n n n n a a a a c c ， 且 2
1
211==a c ．
∴ {n c }是以21为首项，公差为43
的等差数列．
（3）∵ 4
143-=n c n ，∴ )13(222
-==-⋅n c a n n n n ．
∴ 2≥n 时，2)43(22]1)1(3[24241
31+-=+--=+=---⋅n n a S n n n n ，
且n ＝1时，1S ＝1，∴ 2)43(21
+-=-n S n n ． 故∞→n lim =-⋅12n n n S ∞→n lim 322
)43(21
1=+---⋅n n n n ．。