沈丘中考数学试卷真题答案

一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）
1. 下列各数中，有理数是（）
A. √2
B. π
C. -√3
D. √-1
答案：C
解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，而C选项中的-√3可以表示为-√3/1，故选C。

2. 已知函数f(x) = x² - 2x + 1，则f(1)的值为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：A
解析：将x=1代入函数f(x)中，得f(1) = 1² - 2×1 + 1 = 0，故选A。

3. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，且∠BAC=60°，则∠ABC的度数为（）
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 150°
答案：C
解析：由等腰三角形的性质可知，∠ABC=∠ACB。

又因为∠BAC=60°，所以
∠ABC=∠ACB=(180°-60°)/2=60°，故选C。

4. 若一个数的平方等于它本身，则这个数是（）
A. 0或1
B. 0或-1
C. 1或-1
D. 0或2
答案：A
解析：设这个数为x，则x²=x，移项得x²-x=0，因式分解得x(x-1)=0，解得x=0或x=1，故选A。

5. 下列函数中，单调递增的是（）
A. y=x²
B. y=2x
C. y=x³
D. y=3x-2
答案：B
解析：单调递增函数的特点是当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)。

对于A、C、D三个选项，当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，故排除。

对于B选项，当x1<x2时，有2x1<2x2，即f(x1)<f(x2)，故选B。

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
6. 若|a| = 3，则a的值为______。

答案：±3
解析：绝对值表示一个数与0的距离，所以|a| = 3时，a可以是3或-3。

7. 二元一次方程组
\[\begin{cases}
x+y=5 \\
2x-3y=1
\end{cases}\]
的解为______。

答案：x=2，y=3
解析：将第一个方程乘以2，得2x+2y=10，将第二个方程与上式相减，得5y=9，
解得y=3/5，将y的值代入第一个方程，得x=2。

8. 圆的半径为r，则圆的周长为______。

答案：2πr
解析：圆的周长公式为C=2πr，其中π为圆周率。

9. 若a、b、c是等差数列的前三项，且a+b+c=12，则公差d为______。

答案：2
解析：等差数列的前三项之和等于3倍的第一项，即a+b+c=3a，所以a=4。

由等差数列的性质可知，b=a+d，c=a+2d，将a=4代入得b=6，c=8，所以公差d=2。

10. 若函数f(x) = x² - 4x + 4在区间[1,3]上的最大值为______。

答案：5
解析：函数f(x) = x² - 4x + 4可以写成f(x) = (x-2)²，所以函数在x=2时取
得最小值，即f(2)=0。

在区间[1,3]上，函数的最大值发生在端点处，即f(1)=1²-4×1+4=1，f(3)=3²-4×3+4=1，所以最大值为5。

三、解答题（本大题共5小题，共70分）
11. （12分）已知函数f(x) = x³ - 3x² + 2x，求f(x)的极值。

答案：f(x)的极大值为2，极小值为-1。

解析：对f(x)求导得f'(x) = 3x² - 6x + 2，令f'(x)=0，得x=1或x=2/3。

当
x<1/3时，f'(x)>0，函数单调递增；当1/3<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减；当x>1时，f'(x)>0，函数单调递增。

所以x=1/3是f(x)的极大值点，f(1/3)=2；x=1是f(x)的极小值点，f(1)=-1。

12. （14分）已知等差数列{an}的前三项分别为a₁=2，a₂=5，a₃=8，求该数列的前10项之和S₁₀。

答案：S₁₀=210
解析：等差数列的前n项和公式为Sₙ=n/2×(a₁+aₙ)，代入a₁=2，a₃=8，得a₂=5。

所以公差d=a₂-a₁=5-2=3。

将a₁=2，d=3代入公式得S₁₀=10/2×(2+8)=210。

13. （16分）已知函数f(x) = (x-1)²(x+2)，求f(x)的图像。

答案：f(x)的图像是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(1,0)，与x轴交点为(-2,0)，与y轴交点为(0,9)。

解析：f(x)是一个三次函数，可以分解为f(x) = (x-1)²(x+2)。

由于(x-1)²≥0，
所以f(x)的图像是一个开口向上的抛物线。

顶点坐标为(1,0)，与x轴交点为(-
2,0)，与y轴交点为(0,9)。

14. （18分）已知等腰三角形ABC的底边BC=6cm，腰AB=AC=8cm，求三角形ABC
的面积。

答案：三角形ABC的面积为24cm²。

解析：由等腰三角形的性质可知，高AD垂直于底边BC，且BD=DC=3cm。

根据勾股
定理，得AD=√(AB²-BD²)=√(8²-3²)=√(64-9)=√55。

所以三角形ABC的面积为
S=1/2×BC×AD=1/2×6×√55=24cm²。

15. （20分）已知函数f(x) = ax² + bx + c（a≠0）的图像开口向上，且f(1) = 3，f(2) = 5，f(3) = 7，求a、b、c的值。

答案：a=1，b=2，c=0。

解析：由f(1) = 3得a+b+c=3，由f(2) = 5得4a+2b+c=5，由f(3) = 7得
9a+3b+c=7。

解这个方程组得a=1，b=2，c=0。