2020—2021年人教版初中数学八年级下册平行四边形专项训练题及答案(精品试题).docx

第18章平行四边形专项训练
专训1.判定平行四边形的五种常用方法名师点金：
判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程．
利用两组对边分别平行判定平行四边形
1．如图，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形．
(第1题)
利用两组对边分别相等判定平行四边形
2．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
求证：四边形ADEF是平行四边形．
(第2题)
利用一组对边平行且相等判定平行四边形
3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.
求证：四边形ABCD为平行四边形．
(第3题)
利用两组对角分别相等判定平行四边形
4．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF 平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．
(第4题)
利用对角线互相平分判定平行四边形
5．如图①，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过
点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．
(第5题)
专训2.构造中位线的方法
名师点金：
三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线．
连接两点构造三角形的中位线
1．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．
(1)求证：PM＝PN；(2)求∠MPN的度数．
(第1题)
利用角平分线＋垂直构造中位线
2．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC 的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．
(第2题)
3．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．
(第3题)
倍长法构造三角形的中位线
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等
腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：ME＝1
2 CF
(第4题)
已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线
5．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．
(第5题)
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE＝2MN.
(第6题)
已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线
7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是
AD 的中点，延长BP 交AC 于点N ，求证：AN ＝13
AC.
(第7题)
答案
专训1
1．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，DE ＝BF ，∴DE 綊BF.
∴四边形BFDE 为平行四边形．
∴BE ∥DF.
同理，AF ∥CE.∴四边形FMEN 为平行四边形．
2．证明：∵△ABD ，△BCE ，△ACF 都是等边三角形，
∴BA ＝BD ，BC ＝BE ，∠DBA ＝∠EBC ＝60°.
∴∠EBC －∠EBA ＝∠DBA －∠EBA ，
∴∠ABC ＝∠DBE.
∴△ABC ≌△DBE.
∴AF ＝AC ＝DE.
同理，可证△ABC ≌△FEC ，
∴AD ＝AB ＝EF.
∴四边形ADEF 是平行四边形．
3．证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF.
∵BE ∥DF ，∴∠BEF ＝∠DFE.
∴∠AEB ＝∠CFD.
在△AEB 和△CFD 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠DCF ，AE ＝CF ，
∠AEB ＝∠CFD ，
∴△AEB ≌△CFD ，
∴AB ＝CD.
又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．
4．解：四边形BFDE 是平行四边形．理由：在▱ABCD 中，∠ABC ＝∠CDA ，∠A ＝∠C.
∵BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，
∴∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC ，∠CDF ＝∠ADF ＝12
∠ADC.∴∠
ABE ＝∠CBE ＝∠CDF ＝∠ADF.∵∠DFB ＝∠C ＋∠CDF ，∠BED ＝∠ABE ＋∠A ，∴∠DFB ＝∠BED.∴四边形BFDE 是平行四边形．
5．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，OA ＝OC ，
∴∠EAO ＝∠FCO.
在△OAE 与△OCF 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，
∠AOE ＝∠COF ，
∴△OAE ≌△OCF ，∴OE ＝OF.
同理OG ＝OH ，
∴四边形EGFH 是平行四边形．
(2)解：与四边形AGHD 面积相等的平行四边形有▱GBCH ，▱ABFE ，▱EFCD ，▱EGFH.
专训2
1．(1)证明：如图，连接CD ，AE.由三角形中位线定理可得PM 綊12CD ，PN 綊12
AE.∵△ABD 和△BCE 是等边三角形，∴AB
＝DB ，BE ＝BC ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，∴∠ABE ＝∠DBC.
∴△ABE ≌△DBC ，
∴AE ＝DC.∴PM ＝PN.
(2)解：如图，设PM 交AE 于F ，PN 交CD 于G ，AE 交CD 于H.由(1)知△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC.
∴∠AHD ＝∠ABD ＝60°，
∴∠FHG ＝120°.
易证四边形PFHG 为平行四边形，
∴∠MPN ＝120°.
(第1题)
2．解：如图，延长BD ，CA 交于N.
(第2题)
在△AND 和△ABD 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠NAD ＝∠BAD ，AD ＝AD ，
∠ADN ＝∠ADB ＝90°，
∴△AND ≌△ABD(ASA)．
∴DN ＝DB ，AN ＝AB.
∴DM＝1
2NC＝
1
2
(AN＋AC)＝
1
2
(AB＋AC)＝15.
3．解：如图，延长BD交AC于点F，
(第3题)
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF，
又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA)．
∴AF＝AB＝6，BD＝FD.
∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.
∵E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线．
∴DE＝1
2
CF＝
1
2
×4＝2.
4．证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.
易得ME＝1
2 AN.
∵EF＝EN，∠BEF＝90°，∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.
∴∠BNF＝∠BFN.∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，
∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.又∵∠FBA＋∠CBF ＝90°，
∴∠CBF ＝∠ABN.在△BCF 和△BAN 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝BN ，∠CBF ＝∠ABN ，BC ＝BA ，
∴△BCF ≌△BAN.
∴CF ＝AN.∴ME ＝12AN ＝1
2CF.
(第4题)
(第5题)
5．解：如图，取BD 的中点P ，连接PM ，PN.
∵M 是AD 的中点，P 是BD 的中点，
∴PM 是△ABD 的中位线，
∴PM ＝1
2AB ＝5.
同理可得PN ＝1
2CD ＝4.
在△PMN 中，
∵PM －PN<MN<PM ＋PN ，
∴1<MN<9.
6．证明：如图，取AB 的中点H ，连接MH ，NH ，则MH ＝
1
2BF ，NH ＝1
2AE.
∵CE＝CF，CA＝CB，∴AE＝BF.
∴MH＝NH.
∵点M，H，N分别为AF，AB，BE的中点，
∴MH∥BF，NH∥AE.
∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC.
∴∠MHN＝180°－(∠AHM＋∠BHN)＝180°－(∠ABC＋∠BAC)＝90°.
∴NH＝
2
2 MN.
∴AE＝2NH＝2×
2
2
MN＝2MN.
(第6题)
(第7题)
7．证明：如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE ∥AD，交BN的延长线于E.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点．
又∵H为NC的中点，
∴DH∥BN.
又∵PD∥EH，∴四边形PDHE是平行四边形．
∴HE ＝PD.又∵P 为AD 的中点， ∴AP ＝PD.
∴AP ＝EH ，
易证△APN ≌△HEN ，∴AN ＝NH.
∴AN ＝NH ＝HC ，∴AN ＝13
AC.。