高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法(第2课时)一元二次不等式的应用(习题课)巩

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第2课时 一元二次不等式的应用(习题课)
[A 基础达标]
1.已知集合A =⎩⎨⎧

⎬⎫
x ⎪⎪
⎪x -2x ≤0,B ={0,1,2,3},则A ∩B =( )
A .{1,2}
B .{0,1,2}
C .{1}
D .{1,2,3}
解析:选A.由A 中不等式变形得:x (x -2)≤0且x ≠0,解得0<x ≤2,即A =(0,2].因为B ={0,1,2,3},所以A ∩B ={1,2}.
2.不等式
x -1
x
≥2的解集为( ) A .[-1,+∞) B .[-1,0)
C .(-∞,-1]
D .(-∞,-1]∪(0,+∞)
解析:选B.不等式
x -1x ≥2,即x -1x -2≥0,即-x -1x ≥0,所以x +1
x
≤0,等价于x (x +1)≤0且x ≠0,所以-1≤x <0.
3.若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y =3 000+20x -0.1x 2
(0<x <240),每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )
A .100台
B .120台
C .150台
D .180台
解析:选C.y -25x =-0.1x 2
-5x +3 000≤0, 即x 2
+50x -30 000≥0, 解得x ≥150或x ≤-200(舍去).
4.(2019·临川一中月考)不等式x 2
+ax +4<0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是( )
A .(-∞,-4)∪(4,+∞)
B .(-4,4)
C .(-∞,-4]∪[4,+∞)
D .[-4,4]
解析:选A.不等式x 2
+ax +4<0的解集不是空集,即不等式x 2
+ax +4<0有解,所以Δ=a 2
-4×1×4>0,解得a >4或a <-4.
5.关于x 的不等式ax -b >0的解集为(-∞,1),则不等式x -2
ax -b
>0的解集为( ) A .(-1,2) B .(-∞,1)∪(1,2)
C .(1,2)
D .(-∞,-1)∪(-1,2)
解析:选C.因为关于x 的不等式ax -b >0的解集为(-∞,1)所以a <0,且b a
=1.则不等式
x -2ax -b >0,即x -2
x -1
<0,解得1<x <2. 6.已知关于x 的不等式x 2
-ax +2a >0在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是________. 解析:因为不等式x 2
-ax +2a >0在R 上恒成立. 所以Δ=(-a )2
-8a <0,解得0<a <8. 答案:(0,8)
7.若方程x 2
+(m -3)x +m =0有两个正实数根,则m 的取值范围是________.
解析:由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧Δ=(m -3)2
-4m ≥0,3-m >0,m >0,
解得0<m ≤1. 答案:(0,1]
8.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,六月份的销售额为500万元,七月份的销售额比六月份增加x %,八月份的销售额比七月份增加x %,九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等,若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元,则x 的最小值为________.
解析:由题意得七月份的销售额为500(1+x %),八月份的销售额为500(1+x %)2
,所以一月份至十月份的销售总额为3 860+500+2[500(1+x %)+500(1+x %)2
]≥7 000,解得1+x %≤-115(舍去)或1+x %≥6
5
,即x %≥20%,所以x min =20.
答案:20
9.解下列不等式:
(1)x +43-x <0;(2)x +1x -2≤2. 解:(1)由x +43-x <0,得x +4x -3
>0,
此不等式等价于(x +4)(x -3)>0, 所以原不等式的解集为{x |x <-4或x >3}. (2)法一:移项得
x +1
x -2
-2≤0, 通分并化简有-x +5x -2≤0,即x -5
x -2
≥0,
同解不等式组为⎩
⎪⎨⎪⎧(x -2)(x -5)≥0,
x -2≠0,
所以x <2或x ≥5.
所以原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}. 法二:原不等式可化为
x -5
x -2
≥0, 此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x -5≥0,
x -2>0①
或⎩
⎪⎨⎪⎧x -5≤0,
x -2<0,② 解①得x ≥5,解②得x <2,
所以原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}.
10.用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2
的矩形吗?若“能”,当长、宽分别为多少时,所围成的矩形的面积最大.
解:设矩形一边的长为x m ,则另一边的长为(50-x )m ,0<x <50.由题意,得x (50-x )>600,即x 2
-50x +600<0,解得20<x <30.所以,当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时,能围成一个面积大于600 m 2
的矩形,用S 表示矩形的面积,则S =x (50-x )=-(x -25)2
+625(0<x <50).当x =25时,S 取得最大值,此时50-x =25.即当矩形的长、宽都为25 m 时,所围成的矩形的面积最大.
[B 能力提升]
11.设集合A ={x |x 2
+2x -3>0},B ={x |x 2
-2ax -1≤0,a >0}.若A ∩B 中恰含有一个整数,则实数a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,34
B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34,43
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34,+∞ D .(1,+∞)
解析:选B.A ={x |x 2
+2x -3>0}={x |x >1或x <-3},因为函数y =f (x )=x 2
-2ax -1的对称轴为x =a >0,f (-3)=6a +8>0,根据对称性可知,要使A ∩B 中恰含有一个整数,则这个整数解为2,所以有f (2)≤0且f (3)>0,即⎩
⎪⎨⎪
⎧4-4a -1≤0,9-6a -1>0,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34,a <43
,即34≤a <43.
12.设a 是实数,要使得对任意x ∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有x 2
-2(a -2)x +a >0,则a 的取值范围为________.
解析:令f (x )=x 2
-2(a -2)x +a .
(1)f (x )没有零点.这时f (x )恒大于0,满足要求.
由Δ=4(a -2)2
-4a <0,解得1<a <4.
(2)f (x )有零点.这时,由函数图象可知,f (x )满足要求当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≥0,f (5)≥0,
1≤a -2≤5,f (a -2)≤0,

得4≤a ≤5.
综上可知,a 的取值范围是(1,5]. 答案:(1,5]
13.(2019·广元中学月考)已知f (x )=-3x 2
+a (5-a )x +b . (1)当不等式f (x )>0的解集为(-1,3)时,求实数a ,b 的值; (2)若对任意实数a ,f (2)<0恒成立,求实数b 的取值范围. 解:(1)由f (x )>0,得-3x 2
+a (5-a )x +b >0, 所以3x 2
-a (5-a )x -b <0. 又f (x )>0的解集为(-1,3),
所以⎩
⎪⎨⎪⎧3+a (5-a )-b =0
27-3a (5-a )-b =0,
所以⎩⎪⎨

⎧a =2b =9或⎩
⎪⎨⎪
⎧a =3b =9. (2)由f (2)<0,得-12+2a (5-a )+b <0, 即2a 2
-10a +12-b >0.
又对任意实数a ,f (2)<0恒成立, 所以Δ=(-10)2
-4×2(12-b )<0, 所以b <-12

所以实数b 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫-∞,-12. 14.(选做题)(2019·河北衡水中学高三调考)已知函数f (x )=ax 2
+2ax +1的定义域为R .
(1)求实数a 的取值范围; (2)若函数f (x )的最小值为
22
,求关于x 的不等式x 2-x -a 2
-a <0的解集. 解:(1)因为函数f (x )=ax 2
+2ax +1的定义域为R , 所以ax 2
+2ax +1≥0恒成立. 当a =0时,ax 2
+2ax +1≥0恒成立;
当a ≠0时,则有⎩
⎪⎨⎪⎧a >0
Δ=(2a )2
-4a ≤0,解得0<a ≤1. 综上,实数a 的取值范围是[0,1].
(2)由(1),知当a =0时,f (x )=1,不满足条件. 当0<a ≤1时,f (x )=ax 2
+2ax +1 =a (x +1)2
+1-a , 当x =-1时,f (x )min =1-a , 由题意,得1-a =22
, 所以a =1
2

所以x 2
-x -⎝ ⎛⎭⎪⎫122
-1
2
<0,
即(2x +1)(2x -3)<0,
解得-12<x <32,故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32.。

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