苏教版初三九年级上册数学 压轴解答题中考真题汇编[解析版]

苏教版初三九年级上册数学 压轴解答题中考真题汇编[解析版]
一、压轴题
1．已知在ABC 中，AB AC =．在边AC 上取一点D ，以D 为顶点、DB 为一条边作BDF A ∠=∠，点E 在AC 的延长线上，ECF ACB ∠=∠．
（1）如图（1），当点D 在边AC 上时，请说明①FDC ABD ∠=∠；②DB DF =成立的理由．
（2）如图（2），当点D 在AC 的延长线上时，试判断DB 与DF 是否相等？
2．问题发现：
（1）如图①，正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AB 上点（点E 不与A 、B 重合），将射线OE 绕点O 逆时针旋转90°，所得射线与BC 交于点F ，则四边形OEBF 的面积为 ．
问题探究：
（2）如图②，线段BQ ＝10，C 为BQ 上点，在BQ 上方作四边形ABCD ，使∠ABC ＝∠ADC ＝90°，且AD ＝CD ，连接DQ ，求DQ 的最小值；
问题解决：
（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，AD ＝CD ，AC ＝600米．其中AB 、BD 、BC 为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB +BD +BC 的最大值．
3．在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．
（1）填空：______＝______，______＝______（用含t 的代数式表示）；
（2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？
（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
4．如图，已知矩形ABCD 中，BC =2cm ，AB =23cm ，点E 在边AB 上，点F 在边AD 上，点E 由A 向B 运动，连结EC 、EF ，在运动的过程中，始终保持EC ⊥EF ，△EFG 为等边三角形．
（1）求证△AEF ∽△BCE ；
（2）设BE 的长为xcm ，AF 的长为ycm ，求y 与x 的函数关系式，并写出线段AF 长的范围；
（3）若点H 是EG 的中点，试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上，并求在点E 由A 到B 运动过程中，点H 移动的距离．
5．如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的弦，AE 平分BAF ∠，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED AF ⊥，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .
(1)求证:CD 是⊙O 的切线;
(2)若10,6AB AF ==，求AE 的长.
6．如图，Rt △ABC ，CA ⊥BC ，AC ＝4，在AB 边上取一点D ，使AD ＝BC ，作AD 的垂直平分线，交AC 边于点F ，交以AB 为直径的⊙O 于G ，H ，设BC ＝x ．
（1）求证：四边形AGDH 为菱形；
（2）若EF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式；
（3）连结OF ，CG ．
①若△AOF 为等腰三角形，求⊙O 的面积；
②若BC ＝330＝______．（直接写出答案）．
7．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，连结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ．
（1）若ED ＝BE ，求∠F 的度数：
（2）设线段OC ＝a ，求线段BE 和EF 的长（用含a 的代数式表示）；
（3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长．
8．平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(2,0)，(0,3)，点D 是经过点B ，C 的抛物线2
y x bx c =-++的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E 是（1）中抛物线对称轴上一动点，求当△EAB 的周长最小时点E 的坐标； （3）平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线CD 上移动，若平移后的抛物线与射线．．BD 只有一个公共点，直接写出平移后抛物线顶点的横坐标m 的值或取值范围．
9．如图 1，抛物线21:4C y ax ax c =-+交x 轴正半轴于点()1,0,A B ，交y 轴正半轴于
C ，且OB OC =．
（1）求抛物线1C 的解析式；
（2）在图2中，将抛物线1C 向右平移n 个单位后得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线1C 在第一象限内交于一点P ，若CAP ∆的内心在CAB △内部，求n 的取值范围
（3）在图3中，M 为抛物线1C 在第一象限内的一点，若MCB ∠为锐角，且
3tan MCB ∠＞，直接写出点M 横坐标M x 的取值范围___________
10．如图，已知抛物线234
y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点，A 点的坐标为(1,0)-，过点C 的直线334y x t
=-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．
（1）点C 的坐标是________，b =________；
（2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；
（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与COQ 相似？若存在，直接写出所有t 的值；若不存在，说明理由．
11．如图，抛物线2
y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ，(30)B ，．抛物线的对称轴和x 轴交于点M ．
（1）求这条抛物线对应函数的表达式；
（2）若P 点在该抛物线上，求当PAB △的面积为8时，求点P 的坐标．
（3）点G 是抛物线上一个动点，点E 从点B 出发，沿x 轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F 由点M 出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t ．
①若点G 到AE 和MF 距离相等，直接写出点G 的坐标．
②点C 是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG 和FC 为边做矩形FGDC ，直接写出点E 恰好为矩形FGDC 的对角线交点时t 的值．
12．如图，扇形OMN 的半径为1，圆心角为90°，点B 是上一动点，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．
（1）当点B 移动到使AB ：OA=：3时，求的长；
（2）当点B 移动到使四边形EPGQ 为矩形时，求AM 的长．
（3）连接PQ ，试说明3PQ 2+OA 2是定值．
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一、压轴题
1．（1）见解析；（2）DB DF =
【解析】
【分析】
（1）①直接利用三角形的外角性质，即可得到；
②过D 作DG BC 交AB 于点G ，由等腰三角形的性质，平行线的性质和等边对等角，得到BG DC =，DGB FCD ∠=∠，然后证明三角形全等，即可得到结论成立；
（2）连接BF ，根据题意，可证得BCF BDF A ∠=∠=∠，则B 、C 、D 、F 四点共圆，即可证明结论成立.
【详解】
解：（1）①∵BDC A ABD ∠=∠+∠，
即BDF FDC A ABD ∠+∠=∠+∠，
∵BDF A ∠=∠，
∴FDC ADB ∠=∠；
②过D 作DG BC 交AB 于点G ，
∴ADG ACB ∠=∠，AGD ABC ∠=∠，
又AB AC =，
∴A ABC CB =∠∠，
∴AGD ADG ∠=∠，
∴AD AG =，
∴AB AG AC AD -=-，
∴BG DC
=，
又ECF ACB AGD
∠=∠=∠，
∴DGB FCD
∠=∠，
在GDB
△与CFD
△中，
,
,
DGB FCD
GB CD
GBD FDC
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴()
GDB CFD ASA
△≌△
∴DB DF
=；
（2）证明：如图：连接BF，
由（1）可知，A
ABC CB
=∠
∠，
∵ECF ACB
∠=∠，
∴ABC ECF
∠=∠，
∵BC
A C
A BCF E F
=∠+∠
∠+∠，
∴A BCF
∠=∠，
∴BDF A BCF
∠=∠=∠，
∴B、C、D、F四点共圆，
∴180
DCB DFB
∠+∠=︒，DBF ECF
∠=∠，
∴ACB DFB
∠=∠，
∵BC EC AC
A F B
=∠=∠
∠，
∴DBF DFB
∠=∠，
∴DB DF
=.
【点睛】
本题考查了四点共圆的知识，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，以及三角形外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而得到角的关系，再进行证明.
2．（1）4；（2）2；（3）6002+1）．
【解析】
【分析】
（1）如图①中，证明△EOB≌△FOC即可解决问题；
（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．利用四点共圆，证明∠DBQ＝∠DAC＝45°，再根据垂线段最短即可解决问题．
（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，首先证明AB+BC+BD＝（2+1）BD，当BD最大时，AB+BC+BD的值最大．
【详解】
解：（1）如图①中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOF＝∠BOC，
∴∠EOB＝∠FOC，
∴△EOB≌△FOC（SAS），
∴S△EOB＝S△OFC，
∴S四边形OEBF＝S△OBC＝1
4
•S正方形ABCD＝4，
故答案为：4；
（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．
∵∠ABD＝∠ADC＝90°，AO＝OC，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠DBC＝∠DAC，
∵DA＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠DBQ＝45°，
根据垂线段最短可知，当QD⊥BD时，QD的值最短，DQ的最小值＝
2
2
BQ＝2．
（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，
∵∠ABC +∠ADC ＝180°，
∴∠BCD +∠BAD ＝∠EAD +BAD ＝180°，
∴B ，A ，E 三点共线，
∵DE ＝DB ，∠EDB ＝90°，
∴BE 2BD ，
∴AB +BC ＝AB +AE ＝BE 2BD ，
∴BC +BC +BD 2+1）BD ，
∴当BD 最大时，AB +BC +BD 的值最大，
∵A ，B ，C ，D 四点共圆，
∴当BD 为直径时，BD 的值最大，
∵∠ADC ＝90°，
∴AC 是直径，
∴BD ＝AC 时，AB +BC +BD 的值最大，最大值＝6002+1）．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
3．（1）BQ ,2tcm ,PB ,()5t cm -；（2）当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，可以求得BQ ,PB .
（2）用含t 的代数式分别表示PB 和BQ 的值，运用勾股定理求得PQ 为22(5)(2)t t -+＝
25据此求出t 值.
（3）根据题干信息使得五边形APQCD 的面积等于226cm 的t 值存在，利用长方形ABCD 的面积减去PBQ △的面积即可，有PBQ △的面积为4，由此求得t 值.
【详解】
解：（1）点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，故BQ 为2tcm ,点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，AB ＝5cm ，故PB 为()5t cm -.
（2）由题意得：22(5)(2)t t -+＝25，
解得：1t ＝0，2t ＝2；
当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；
（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由如下： 长方形ABCD 的面积是：56⨯＝()230cm ，
使得五边形APQCD 的面积等于226cm ，则PBQ △的面积为3026-＝()24cm ，
()15242
t t -⨯⨯=， 解得：1t ＝4（不合题意舍去），2t ＝1．
即当t ＝1秒时，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．
【点睛】
本题结合长方形考查动点问题，其本质运用代数式求值，利用含t 的代数式表示各自线段的直接，根据题干数量关系即可确立等量关系式，从而求出t 值.
4．（1）详见解析；（2）21y 2x =-
,302AF ≤≤；(3)3. 【解析】
【分析】
（1）由∠A =∠B =90°，∠AFE =∠BEC ，得△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BCE 得
AF AE
BE BC =，2
y x x =，即212y x =-+，然后求函数最值；（3）连接FH ，取EF 的中点M ，证MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；连接AH ，证∠EFH =30°由A 、E 、H 、F 在同一圆上，得∠EAH =∠EFH =30°，线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角
形ABH 中，
602
AH sin AB =︒=，可进一步求AH. 【详解】
解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°，
∴∠AEF +∠AFE =90°，
∵EF ⊥CE ，
∴∠AEF +∠BEC =90°，
∴∠AFE =∠BEC ，
∴△AEF ∽△BCE ；
（2）由（1）△AEF ∽BEC 得
AF AE BE BC =，232
y x x -=， ∴2132y x x =-
+， ∵2132y x x =-
+=213(3)22x --+， 当3x =时，y 有最大值为32
， ∴302
AF ≤≤； （3）如图1，连接FH ，取EF 的中点M ，
在等边三角形EFG 中，∵点H 是EG 的中点，
∴∠EHF =90°，
∴ME =MF =MH ，
在直角三角形AEF 中，MA =ME =MF ，
∴MA =ME =MF =MH ，
则A 、E 、H 、F 在同一圆上；
如图2，连接AH ，
∵△EFG 为等边三角形，H 为EG 中点，∴∠EFH =30°
∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°，
如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径，
在直角三角形ABH 中，
3602
AH sin AB =︒=， ∵AB =23
∴AH =3， 所以点H 移动的距离为3．
【点睛】
此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键．
5．（1）详见解析；（2）5【解析】
【分析】
（1）通过证明OE ∥AD 得出结论OE ⊥CD ，从而证明CD 是⊙0的切线；
（2）在Rt △ADE 中，求出AD ，DE ，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】
（1）证明：∵AE 平分∠DAC ，
∴∠CAE ＝∠DAE ．
∵OA ＝OE ，
∴∠OEA ＝∠OAE ．
∴∠DAE ＝∠AEO ，．
∴AD ∥OE ．
∵AD ⊥CD ，
∴OE ⊥CD ．
∴CD 是⊙O 的切线．
（2）解：连接BF 交OE 于K ．
∵AB 是直径，
∴∠AFB ＝90°，
∵AB ＝10，AF ＝6，
∴BF 22106-8，
∵OE ∥AD ，
∴∠OKB ＝∠AFB ＝90°，
∴OE ⊥BF ，
∴FK ＝BK ＝4，
∵OA ＝OB ，KF ＝KB ，
∴OK ＝12
AF ＝3， ∴EK ＝OE ﹣OK ＝2，
∵∠D ＝∠DFK ＝∠FKE ＝90°，
∴四边形DFKE 是矩形，
∴DE ＝KF ＝4，DF ＝EK ＝2，
∴AD ＝AF+DF ＝8，
在Rt △ADE 中，AE 22AD DE +2284+45．
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
6．（1）证明见解析；（2）y＝1
8
x2（x＞0）；（3）①
16
3
π或8π或
（
）π；②
【解析】
【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；
（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得AE EF
AC BC
=解决问题；
（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；
②只要证明△CFG∽△HFA，可得GF
AF
=
CG
AH
，求出相应的线段即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，∴HA＝HD，GA＝GD，
∵AB是直径，AB⊥GH，
∴EG＝EH，
∴DG＝DH，
∴AG＝DG＝DH＝AH，
∴四边形AGDH是菱形．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠ACB＝90°，
∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴AE EF AC BC
=，
∴1
2
4
x y
x
=
，
∴y＝1
8
x2（x＞0）．
（3）①解：如图1中，连接DF．
∵GH 垂直平分线段AD ，
∴FA ＝FD ，
∴当点D 与O 重合时，△AOF 是等腰三角形，此时AB ＝2BC ，∠CAB ＝30°，
∴AB ＝83， ∴⊙O 的面积为163
π． 如图2中，当AF ＝AO 时，
∵AB 22AC BC +216x +
∴OA 216x +， ∵AF 22EF AE +22
21182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 216x +22
21182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得x ＝4（负根已经舍弃），
∴AB ＝2
∴⊙O 的面积为8π．
如图2﹣1中，当点C与点F重合时，设AE＝x，则BC＝AD＝2x，AB＝2
164x
+，
∵△ACE∽△ABC，
∴AC2＝AE•AB，
∴16＝x•2
164x
+，
解得x2＝217﹣2（负根已经舍弃），
∴AB2＝16+4x2＝817+8，
∴⊙O的面积＝π•1
4
•AB2＝（217+2）π
综上所述，满足条件的⊙O的面积为16
3
π或8π或（217+2）π；
②如图3中，连接CG．
∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝5，
∴OH＝OA＝5
2，
∴AE＝3
2，
∴OE＝OA﹣AE＝1，
∴EG＝EH
2
5
1
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
21
2
，
∵EF＝1
8
x2＝
9
8
，
∴FG ＝21
2
﹣
9
8
，AF＝22
AE EF
+＝
15
8
，AH＝22
AE EH
+＝
30，
∵∠CFG＝∠AFH，∠FCG＝∠AHF，
∴△CFG∽△HFA
，
∴GF CG AF AH
=，
∴219
28
1530
8
-
=，
∴CG＝
270﹣330，
∴30CG+9＝421．
故答案为421．
【点睛】
本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
7．（1）30°；（2）EF=；（3）CO的长为或时，△PEB为等腰三角形．
【解析】
试题分析：（1）利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可；
（2）首先证明△HBO≌△COD（AAS），进而利用△COD∽△CBF，得出比例式求出EF的长；
（3）分别利用①当PB=PE，不合题意舍去；②当BE=EP，③当BE=BP，求出即可．
试题解析：（1）如图1，连接EO，
∵
∴∠BOE=∠EOD，
∵DO∥BF，
∵BO=EO，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；
（2）如图1，作HO⊥BE，垂足为H，
∵在△HBO和△COD中
，
∴△HBO≌△COD（AAS），
∴CO=BH=a，
∴BE=2a，
∵DO∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴
∴，
∴EF=；
（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，
∴∠COD=∠DOE，
∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，
若△PEB为等腰三角形，设CO=x，∴OP=OC=x，则PE=EO-OP=4-x，由（2）得：BE=2x，
①当PB=PE，不合题意舍去；
②当BE=EP，2x=4-x，解得：x=，
③当BE=BP，作BM⊥EO，垂足为M，
∴EM=PE=，
∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，
∴， ∴，
整理得：x 2+x-4=0，
解得：x=（负数舍去），
综上所述：当CO 的长为或
时，△PEB 为等腰三角形． 考点：圆的综合题．
8．（1）2y x 2x 3=-++；（2）3(1,)2；（3）14m <≤或78
m =
【解析】
【分析】 （1）根据题意可得出点B 的坐标，将点B 、C 的坐标分别代入二次函数解析式，求出b 、c 的值即可． （2）在对称轴上取一点E ，连接EC 、EB 、EA ，要使得EAB 的周长最小，即要使EB+EA 的值最小，即要使EA+EC 的值最小，当点C 、E 、A 三点共线时，EA+EC 最小，求出直线AC 的解析式，最后求出直线AC 与对称轴的交点坐标即可．
（3）求出直线CD 以及射线BD 的解析式，即可得出平移后顶点的坐标，写出二次函数顶点式解析式，分类讨论，如图：①当抛物线经过点B 时，将点B 的坐标代入二次函数解析式，求出m 的值，写出m 的范围即可；②当抛物线与射线恰好只有一个公共点H 时，将抛物线解析式与射线解析式联立可得关于x 的一元二次方程，要使平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点，即要使一元二次方程有两个相等的实数根，即0∆=，列式求出m 的值即可．
【详解】
（1）矩形OABC ，
∴OC=AB ，
A(2，0)，C(0，3)，
∴OA=2，OC=3，
∴B(2，3)，
将点B ，C 的坐标分别代入二次函数解析式，
4233b c c -++=⎧⎨=⎩
， ∴23b c =⎧⎨=⎩
，
∴抛物线解析式为：2
y x 2x 3=-++．
（2）如图，在对称轴上取一点E ，连接EC 、EB 、EA ，当点C 、E 、A 三点共线时，EA+EC 最小，即EAB 的周长最小，
设直线解析式为：y =kx +b ，
将点A 、C 的坐标代入可得：
203k b b +=⎧⎨=⎩
， 解得：323
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴一次函数解析式为：3=32
y x -+． 2y x 2x 3=-++=2(1)4x -+-，
∴D(1，4)，
令x =1，y =332-+=32
． ∴E(1，32
)．
（3）设直线CD 解析式为：y =kx +b ，
C(0，3)，D(1，4)，
∴43k b b +=⎧⎨=⎩
, 解得13k b =⎧⎨=⎩
，
∴直线CD 解析式为：y =x +3，
同理求出射线BD 的解析式为：y =－x +5(x ≤2)，
设平移后的顶点坐标为(m ，m +3)，
则抛物线解析式为：y =－(x －m )2+m +3，
①如图，当抛物线经过点B 时，
－(2－m )2+m +3=3，
解得m =1或4， ∴当1<m ≤4时， 平移后的抛物线与射线只有一个公共点；
②如图，当抛物线与射线恰好只有一个公共点H 时，
将抛物线解析式与射线解析式联立可得：－(x －m )2+m +3=－x +5， 即x 2－(2m +1)x +m 2－m +2=0，
要使平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点，
即要使一元二次方程有两个相等的实数根，
∴22[(21)]4(2)0m m m ∆=-+⨯-+=－，
解得78
m =． 综上所述，14m <≤或78m =
时，平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点．
【点睛】
本题为二次函数、一次函数与几何、一元二次方程方程综合题，一般作为压轴题，主要考查了图形的轴对称、二次函数的平移、函数解析式的求解以及二次函数与一元二次方程的关系，本题关键在于：①将三角形的周长最小问题转化为两线段之和最小问题，利用轴对称的性质解题；②将二次函数与一次函数的交点个数问题转化为一元二次方程实数根的个数问题．
9．（1）()2
21y x =--；（2）10
23n <<；（3）552
M x << 【解析】 【分析】
(1)由题意可得对称轴方程，有二次函数对称性，由A 点坐标可求B 点坐标，代入解析式可得；
(2)根据函数图像平移可得新抛物线解析式，画出图像可得交点P ，由题意可得
ACB BCP ∠>∠，过点C 作//l x 轴.作PD l ⊥，可得ACO PCD ∠=∠，设
()2,43P t t t -+，由1
3
tan ACD tan PCD ∠=∠=可得关于t 的方程，解得t, 再将P 代入
2C 解析式中得n 的值，根据Q,P 在第一象限内得n 的取值范围；
(3) 当MCB ∠为直角时，可求直线CB 的解析式为：y=-x+3,直线CM 的解析式为：y=x+3，运用直线与曲线联立，可求CM 与抛物线的交点M 横坐标为：x=5；当MCB ∠为锐角且
3tan MCB ∠=时，过点M 作MN CB ⊥于N,则
3MN
CN
=，设M 点坐标为()2
,43t t
t -+，直线CB 解析式为y=-x+3,可求直线MN 解析式为：253y x t t =+-+，将
直线MN 与直线CB 解析式联立可得：N 221515,32222t t t t ⎛⎫
-
+-+ ⎪⎝⎭
， 由两点间距离公式
可得2
MN = 2213222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；2
CN =2
21522
2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；由
3MN CN =可得：52t =，进而可得满足已知条件的点M 横坐标M x 的取值范围. 【详解】
解：()1对称轴为422a
x a
-=-
= ()3,0B ∴ ()0,1C ∴
代入
()2
24321y x x x ∴=-+=--
()()
22
2:21C x n ---
()2423x n x =-++
CAP ∆的内心I 在CAB △内部
,ACB BCP ∴∠>∠ ∴当ACB BCP ∠=∠时
过C 作//l x 轴.作PD l ⊥
,ACB BCP ∠=∠
90,OCD ∠= 45,DCB ∠= ,ACO PCD ∴∠=∠
1
3
tan ACD tan PCD ∠=∠=
设(
)
2
,43P t t t -+
1
3
PD CD ∴
= 3p y DP OC +==
21
4333
t t t ∴-++=
113t =
将P 代入2C 解析式中
103
n ∴=
又
P 在第一象限内 h AB ∴>
2n ∴>
1023
n ∴<<
(3)
5
52
M x <<; 当MCB ∠为直角时，如下图所示：
由(1)(2)可得：直线CB 的解析式为：y=-x+3,
MCB ∠为直角，C(0,3)，
∴直线CM 的解析式为：y=x+3，
则CM 与抛物线的交点坐标M 横坐标为：
2343x x x +=-+，
解得：x=5或0(舍去)，
所以，当MCB ∠为直角时，5M x =；
当MCB ∠为锐角且3tan MCB ∠=时，如下图所示： 过点M 作MN CB ⊥于N,则
3MN
CN
=，
设M 点坐标为(
)
2
,43t t t -+，
MN CB ⊥，直线CB 解析式为y=-x+3,
∴MN 解析式可设：y=x+b,
将P (
)
2
,43t t t -+代入解析式可得： b=253t t -+,
则直线MN 解析式为：2
53y x t t =+-+， 将直线MN 与直线CB 解析式联立可得： N 点坐标为221515,32222t t t t ⎛⎫
-
+-+ ⎪⎝⎭
，
∴2MN =2
2
22215154332222t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ = 2
21322
2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；
2
CN = 22
221
5152
222t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=2
21522
2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 由3MN
CN
=可得：
2213221522
t t t
t --=3； 解得：5
2
t =或0(舍去) ；
∴MCB ∠为锐角，且3tan MCB ∠＞时，点M 的横坐标M x 的取值范围为：
5
52
M x <<. 【点睛】
本题综合考查了二次函数的图像和性质，题目较难，熟练掌握二次函数的图像和性质，运用数形结合解决二次函数综合问题是解题的关键. 10．（1）()90,3,4
--；（2）48QH t =- ；（3）存在，21-或732或2532
【解析】 【分析】 （1）由于直线y ＝
3
4t
x －3过C 点，因此C 点的坐标为（0，-3），那么抛物线的解析式中c=-3，然后将A 点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出b 的值；
（2）求QH 的长，需知道OQ ，OH 的长．根据CQ 所在直线的解析式即可求出Q 的坐标，也就得出了OQ 的长，然后求OH 的长．在（1）中可得出抛物线的解析式，那么可求出B 的坐标．在直角三角形BPH 中，可根据BP=5t 以及∠CBO 的正弦值（可在直角三角形COB 中求出），得出BH 的长，根据OB 的长即可求出OH 的长．然后OH ，OQ 的差的绝对值就是QH 的长；
（3）本题要分①当H 在Q 、B 之间．②在H 在O ，Q 之间两种情况进行讨论；根据不同的对应角得出的不同的对应成比例线段来求出t 的值． 【详解】 （1）由于直线y ＝
3
4t
x －3过C 点，C 点在y 轴上，则C 点的坐标为（0，-3）， 将A 点坐标代入解析式中，得0＝34
－b －3，解得b ＝－94；
故答案为 ()0,3-，9
4
-
； （2）由（1），得y ＝
34
x 2－9
4x －3，它与x 轴交于A ，B 两点，得B （4，0）．
∴OB＝4，
又∵OC＝3，
∴BC＝5．
由题意，得△BHP∽△BOC，
∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，
∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，
∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．∴OH＝OB－HB＝4－4t．
由y＝3
4t
x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．
∴OQ＝4t．
①当H在Q、B之间时，
QH＝OH－OQ
＝（4－4t）－4t＝4－8t．
②当H在O、Q之间时，
QH＝OQ－OH
＝4t－（4－4t）＝8t－4．
综合①，②得QH＝｜4－8t｜；
（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．
t11，t2＝7
32
，t3＝
25
32
解析：①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得483 34
t t
t -
=，
∴t＝7 32
．
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得348 34
t t
t
-
=，
即t2＋2t－1＝0．
∴t11，t2＝1
-（舍去）．②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得843 34
t t
t -
=，
∴t＝25 32
．
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得384 34
t t
t
-
=，
即t2－2t＋1＝0．
∴t1＝t2＝1（舍去）．
综上所述，存在t 的值，t 11，t 2＝732，t 3＝2532
．
故答案为（1）()90,3,4
--；（2）48QH t =- ；（31或732或25
32．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
11．（1）243y x x =-+-；（2）点P 坐标为（－1，－8），（5，－8）；（3）①G 的
坐标．31()22，51(22
-，51(22--+；
②54t +=
或54
t -= 【解析】 【分析】
（1）将A 、B 两点坐标代入抛物线解析式，可确定抛物线解析式；
（2）根据A 、B 两点坐标得AB=3-1=2，由三角形面积公式求P 点纵坐标的绝对值，得出P 点纵坐标的两个值，代入抛物线解析式求P 点横坐标；
（3）①根据题意，可分为两种情况进行分析：当点G 在对称轴右侧；当点G 在对称轴左侧；结合图像，分别求出点G 的坐标即可；
②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点G 在对称轴左侧；当点G 在对称轴右侧；结合图像，分别列出方程，求出t 的值即可． 【详解】
解：（1）把点(1,0)A ，(3,0)B 代入抛物线2
y x bx c =-++上，
求得：4b =，3c =-， ∴2
43y x x =-+-；
（2）依题意，得312AB =-=， 设P 点坐标为(,)a n ， 当0n >时，则8n =， 故2–438x x +-=， 即24110x x ++=，
∴441111644280∆=-⨯⨯=-=-<2
（-），
方程24110x x -++=无实数根； 当0n <时，则8n =- 故2438x x -+-=-， 即2450x x -+-=， 解得：11x =-，25x =
所求点P 坐标为（－1，－8），（5，－8）．
（3）①分两种情况
当点G 在对称轴右侧，设点G D 的横坐标为m ，则点D 到对称轴的距离为2m -，
∵点D 到x 轴和到对称轴的距离相等所以点D 的纵坐标为2m -或2m -﹐ 当点D 的坐标为(,2)m m -，有
2243m m m -=-+-，
解得：1352m +=
，235
2
m -=（不符题意舍去）， 此时点D 的坐标为：3551
(
,)+-． 当点D 的坐标为(,2)m m -时，有
2243m m m -=-+-，
解得：155
m +=
，255m -=（不符题意舍去），
此时点D 的坐标为：5515(
,)+--． 当点G 在对称轴左侧，设点D 的横坐标为m ，则点D 到对称轴的距离为2m -﹐
因为点D 到x 轴和到对称轴的距离相等所以点D 的纵坐标为2m -或2m -， 分别代入解析式可求出点D 的坐标分别为：3551---，5515
)--+． 综上所述点D 的坐标为：3551(
+-﹐5515(+--，3551
()22，
5515
(
,)22
--+． ②分两种情况
当点G 在对称轴左侧，此时有1EN t =-，2NF t =﹐
因为//EN GF ，点E 为CG 的中点， 所以222GF EN t ==-， 所以点G 的坐标为(42,2)t t --， 将(42,2)t t --代入2
43y x x =-+-中，得
2(42)4(42)3t t t -=--+-2-，
解得：1513t +=
，2513
t -=（不合题意舍去）．
当点G 在对称轴右侧，此时有1EN t =-，2NF t =，
因为//EN GF ，点E 为CG 的中点， 所以222GF EN t ==-， 所以点G 的坐标为(42,2)t t --， 将(42,2)t t --代入2
43y x x =-+-中，得
2(42)4(42)3t t t -=--+-2-，
解得：15134
t +=
（不合题意舍去），2513
4t -=．
综上所述：513t +=
或513
t -=．
【点睛】
本题考查了待定系数法求抛物线解析式，三角形面积公式的运用．关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法，掌握三角形的高与P点纵坐标的关系，注意运用数形结合和分类讨论的思想进行解题．
12．（1）证明见解析（2）当AM的长为（1﹣）时，四边形EPGQ是矩形（3）定值
【解析】
【分析】
（1）先利用三角函数求出∠AOB=30°，再用弧长公式即可得出结论；
（2）易得△AED∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与勾股定理，即可求得OA的长，即可得出结论；
（3）连接GE交PQ于O′，易得O′P=O′Q，O′G=O'E，然后过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′，由△PCF∽△PEG，根据相似三角形的对应边成比例与勾股定理，即可求得3PQ2+OA2的值．
【详解】
解：（1）证明：连接OB，如图①，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠OAB=90°，
在Rt△AOB中，tan∠AOB==，
∴∠AOB=30°，
∴==；
（2）如图②，∵▱EPGQ是矩形．
∴∠CED=90°
∴∠AED+∠CEB=90°．
又∵∠DAE=∠EBC=90°，
∴∠AED=∠BCE．
∴△AED∽△BCE，
∴．
设OA=x，AB=y，则=，
得y2=2x2，
又 OA2+AB2=OB2，
即x2+y2=12．
∴x2+2x2=1，
解得：x=．
∴AM=OM﹣OA=1﹣
当AM的长为（1﹣）时，四边形EPGQ是矩形；
（3）如图③，连接GE交PQ于O′，
∵四边形EPGQ是平行四边形，
∴O′P=O′Q，O′G=O′E．
过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′．由△PCF∽△PEG得， =2，
∴PA′=A′B′=AB，GA′=GE=OA，
∴A′O′=GE﹣GA′=OA．
在Rt△PA′O′中，PO′2=PA′2+A′O′2，
即=+，
又 AB2+OA2=1，
∴3PQ 2=AB2+，
∴OA2+3PQ2=OA2+（AB2+）
=是定值．
【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理，锐角三角函数，弧长公式等知识，解题的关键是注意准确作出辅助线，注意数形结合思想与方程思想的应用．。