肇庆市2014届高三3月第一次模拟试题(理数)

肇庆市中小学教学质量评估 2014届高中毕业班第一次模拟考试
数 学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填
写在答题卡上.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式： 锥体的体积公式1
3
V Sh =
，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U ={-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，集合M ={大于1-且小于4的整数}，则=M C U
A ．φ
B ．{-2，-1，5，6}
C ．{0，1，2，3，4}
D ．{-2，-1，4，5，6} 2．定义域为R 的四个函数21y x =+，3x y =，|1|y x =+，2cos y x =中，偶函数的个数
是
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 3．设i 是虚数单位，1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z z z ⋅+-=
A 21
B 23
C ．221
D ．221
4．二项式9
1x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中3
x 的系数是
A ．84
B ．-84
C ．126
D ．-126
5．某四棱锥的三视图如图1所示（单位：cm ），
则该四棱锥的体积是
A ．273
cm B ．93cm
C ．323
cm
D ．3 3cm
6．若如图2所示的程序框图输出的S 是30，
则在判断框中M 表示的“条件”应该是 A ．3n ≥ B ．4n ≥ C ．5n ≥ D ．6n ≥ 7．下列命题中，真命题是
A ．R x ∈∃0，00
≤x e
；
B ．R x ∈∀，2
2x x
>；
C ．“1,1a b >>”是“1ab >”的充分不必要条件；
D ．设a ，b 为向量，则“||||||b a b a =⋅”是“b a //”
的必要不充分条件 8．设向量),(21a a a =，),(21b b b =，定义一种向量积：
),(),(),(22112121b a b a b b a a b a =⊗=⊗．已知向量)4,21(=m ，)0,6
(π
=n ，点P 在
cos y x =的图象上运动，
点Q 在()y f x =的图象上运动，且满足n OP m OQ +⊗=（其中O 为坐标原点），则()y f x =在区间]3
,6[
π
π上的最大值是
A ．4
B ．2
C ．22
D ．23
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题） 9．函数232+-=
x x y 的定义域为 ▲ .
10．曲线1
)(-=x e x f x
在0x =处的切线方程为 ▲ .
11．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则5a = ▲ .
12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-+≤-0206303y x y x y 所表示的平面区域内一动点，
则线段|OP |的最小值等于 ▲ .
13．已知集合A ={4}，B ={1，2}，C ={1，3，5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直
角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为 ▲ .
（ ） ▲
14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=（0,02ρθπ>≤< ），
曲线C 在点（2，
4
π
）处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为 ▲ .
15．（几何证明选讲选做题）如图3，△ABC 的外角平分线AD
交外接圆于D ，若3DB =，则DC = ▲ .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）
已知向量)0),6
(cos(π
-
=x ，)0,2(=，x R ∈，函数x f ⋅=)(.
（1）求函数()f x 的表达式； （2）求()f π的值； （3）若56)32(=+παf ，)0,2
(π
α-∈，求(2)f α的值.
17．（本小题满分13分）
随机抽取某中学高一级学生的一次数学统测成绩得到一样本，其分组区间和频数是：
[)60,50，2；[)70,60，7；[)80,70，10；[)90,80，x ；[90，100]，2. 其频率分布直方图受
到破坏，可见部分如下图4所示，据此解答如下问题.
（1）求样本的人数及x 的值；
（2）估计样本的众数，并计算频率分布直 方图中[80,90)的矩形的高；
（3）从成绩不低于80分的样本中随机选 取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分） 的人数记为ξ，求ξ的数学期望.
18．（本小题满分13分）
如图5，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别 是BC 和1CC 的中点，已知AB =AC =AA 1=4，∠BAC =90︒.
（1）求证：1B D ⊥平面AED ； （2）求二面角1B AE D --的余弦值； （3）求三棱锥1A B DE -的体积.
19．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ，)1(1++=+n n S na n n . （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设n T 为数列{
n n
a 2
}的前n 项和，求n T ； （3）设2
11++=n n n n a a a b ，证明：32
1321<
++++n b b b b .
20．（本小题满分14分）
设双曲线C ：122
22=-b
y a x （a >0，b >0）的一个焦点坐标为（3，0），离心率3e =
A 、
B 是双曲线上的两点，AB 的中点M （1，2）.
（1）求双曲线C 的方程； （2）求直线AB 方程；
（3）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？
21．（本小题满分14分）
设函数32
11()(0)32
a f x x x ax a a -=
+-->. （1）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围； （2）当a =1时，求函数)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值.
参考答案
一、选择题
二、填空题
9．(][)+∞∞-,21, 10．012=++y x 11．16 12．5
10
3 13．33 14．022=-+y x 15．3 三、解答题
16．（本小题满分12分） 解：（1）∵)0),6
(cos(π
-
=x m ，)0,2(=，x R ∈，
∴)6
cos(2)(π
-=⋅=x n m x f ，即函数)6
cos(2)(π
-
=x x f . （3分）
（2）()2cos 2cos 66
f ππ
ππ⎛⎫
=-=-= ⎪⎝
⎭ （6分） （3）∵απαππαπαsin 2)2cos(2)632cos(2)32(-=+=-+=+
f ， 又56)32(=+παf ，∴56sin 2=-α，即3
sin 5α=-. （7分）
∵)0,2(π
α-∈，∴4cos 5α===. （8分）
∴34
24sin 22sin cos 255
25ααα⎛⎫==⨯-⨯
=- ⎪⎝⎭， （9分）
2
247cos 22cos 121525αα⎛⎫
=-=⨯-=
⎪⎝⎭
. （10分） ∴(2)2cos 22cos 2cos 2sin 2sin 666
f πππ
αααα⎛
⎫
=-
=+ ⎪⎝
⎭ （11分）
24124
22222255275⎛⎫=⨯
⨯+⨯-⨯=
⎪⎝⎭
. （12分）
17．（本小题满分13分）
解：（1）由题意得，分数在[50,60)之间的频数为2， 频率为0.008100.08⨯=，（1分） 所以样本人数为2
250.08
n =
=（人） （2分） x 的值为25(27102)4x =-+++=（人）. （4分）
（2）从分组区间和频数可知，样本众数的估计值为75. （6分） 由（1）知分数在[80,90)之间的频数为4，频率为4
0.1625
= （7分） 所以频率分布直方图中[80,90)的矩形的高为
0.16
0.01610
= （8分） （3）成绩不低于80分的样本人数为4+2=6（人），成绩在90分以上(含90分)的人数为2人，所以ξ的取值为0，1，2. （9分）
156)0(2624===C C P ξ，1142268(1)15C C P C ξ===，2
226
1
(2)15C P C ξ===，
（10分） 所以ξ的分布列为：
ξ
0 1 2
()P ξ
615 815 115
（11分）
所以ξ的数学期望为6812
0121515153
E ξ=⨯+⨯+⨯= （13分）
18．（本小题满分13分） 方法一：
依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz . 因为1AB AC AA ==＝4，所以A （0，0，0）， B （4，0，0），E （0，4，2），D （2，2，0）， B 1（4，0，4）. （1分）
（1）)4,2,2(1--=D B ，)0,2,2(=AD ，)2,4,0(=AE . （2分） 因为00441=++-=⋅B ，所以1B D AD ⊥，即1B D AD ⊥. （3分） 因为08801=-+=⋅AE D B ，所以AE D B ⊥1，即AE D B ⊥1. （4分） 又AD 、AE ⊂平面AED ，且AD ∩AE =A ，故1B D ⊥平面AED . （5分）
（2）由（1）知)4,2,2(1--=D B 为平面AED 的一个法向量. （6分） 设平面 B 1AE 的法向量为),,(z y x =，因为)2,4,0(=，)4,0,4(1=AB ，
所以由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
01AB AE n ，得⎩⎨⎧=+=+044024z x z y ，令y =1，得x =2，z =-2.即)2,1,2(-=.（7分）
∴6
6
24
96|
|||,cos 111=
⨯=
⋅>=
<D B n B ， （8分） ∴二面角1B AE D --
的余弦值为
6
（9分） （3）由)0,2,2(=AD ，)2,2,2(-=DE ，得0=⋅DE AD ，所以AD ⊥DE . （10分） 由22||=，32||=，得6232222
1
=⨯⨯=
∆ADE S . （11分） 由（1）得B 1D 为三棱锥B 1-ADE 的高，且62||1=D B ， （12分） 所以862623
1
11=⨯⨯==--ADE B DE B A V V . （13分） 方法二：
依题意得，1AA ⊥平面ABC ，242211=+=
=AC AB BC C B ，
22===CD BD AD ， 411==CC BB ，21==EC EC .
（1）∵AB AC =，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC . ∵B 1B ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥B 1B .
BC 、B 1B ⊂平面B 1BCC 1，且BC ∩B 1B =B ，所以AD ⊥平面B 1BCC 1.
又B 1D ⊂平面B 1BCC 1，故B 1D ⊥AD . （2分）
由362
12
112
1=+=EC C B E B ，242
2
12
1=+=BD B B D B ，122
22=+=EC DC DE ，
得2
2121DE D B E B +=，所以DE D B ⊥1. （4分） 又AD 、DE ⊂平面AED ，且AD ∩DE =E ，故1B D ⊥平面AED . （5分） （2）过D 做DM ⊥AE 于点M ，连接B 1M . 由B 1D ⊥平面AED ，AE ⊂平面AED ，得AE ⊥B 1D .
又B 1D 、DM ⊂平面B 1DM ，且B 1D ∩DM =D ，故AE ⊥平面B 1DM . 因为B 1M ⊂平面B 1DM ，所以B 1M ⊥AE .
故∠B 1MD 为二面角B 1—AE —D 的平面角. （7分） 由（1）得，AD ⊥平面B 1BCC 1，又DE ⊂平面B 1BCC 1，所以AD ⊥DE . 在Rt △AED 中，5
30
2=⋅=
AE DE AD DM ， （8分）
在Rt △B 1DM 中，5
5
122211=
+=DM D B M B ， 所以6
6
cos 11=
=
∠M B DM MD B ，即二面角B 1—AE —D
的余弦值为6. （9分） （3）由（1）得，AD ⊥平面B 1BCC 1，
所以AD 为三棱锥A -B 1DE 的高，且22=AD . （10分） 由（1）得26326221
2111=⨯⨯=⋅=∆DE D B S DE B . （11分） 故822263
1
3111=⨯⨯=⋅=∆-AD S V DE B DE B A . （13分）
19．（本小题满分14分）
解：（1）由题意，当2n ≥时，有⎩
⎨⎧-+=-++=-+n n S a n n n S na n n n n )1()1()
1(11， （1分）
两式相减得1(1)2,n n n na n a a n +--=+ 即12n n a a +-=. （2分）
由⎪⎩⎪
⎨⎧=+==11
12122
a
S S a a ，得212=-a a . 所以对一切正整数n ，有12n n a a +-=， （3分）
故n n a a n 2)1(21=-+=，即)(2*
N n n a n ∈=. （4分）
（2）由（1），得
12
222-==n n n n n
n a ， 所以12223221-++++
=n n n
T ① （5分） ①两边同乘以12，得21112122222n n n n n
T --=++++ ② （6分）
①-②，得n n n n
T 2
21212112112-++++=- ， （7分）
所以n n n n T 22112112
1---
=， （8分） 故12
42
n n n T -+=-. （9分）
（3）由（1），得])
2)(1(1
)1(1[161)2(2)1(221++-+=+⋅+⋅=
n n n n n n n b n （12分）
))2)(1(1)1(1431321321211(161321++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=
++++n n n n b b b b n ))
2)(1(121(161++-=
n n （13分） 32
1)2)(1(161321<++-=
n n . （14分）
20．（本小题满分14分）
解：（1）依题意得⎪⎩
⎪
⎨⎧===3
3
a c
e c ，解得a =1. （1分） 所以2
2
2
312b c a =-=-=， （2分）
故双曲线C 的方程为2
2
12
y x -=. （3分） （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2
211
222
21212
y x y x ⎧-=⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎩
. 两式相减得：121212121
()()()()2
x x x x y y y y -+=
-+ ， （4分） 由题意得12x x ≠，221=+x x ，421=+y y ， （5分） 所以
1)
(22
1212121=++=--y y x x x x y y ，即1=AB k . （6分）
故直线AB 的方程为1y x =+. （7分） （3）假设A 、B 、C 、D 四点共圆，且圆心为P . 因为AB 为圆P 的弦，所以圆心P 在AB 垂直平分线CD 上；又CD 为圆P 的弦且垂直平分AB ，故圆心P 为CD 中点M . （8分）
下面只需证CD 的中点M 满足|MA |=|MB |=|MC |=|MD |即可.
由22
112
y x y x =+⎧⎪⎨-
=⎪⎩得：A （-1，0），B （3，4）. （9分） 由（1）得直线CD 方程：3y x =-+， （10分）
由22
312
y x y x =-+⎧⎪⎨-
=⎪⎩得：C （-3+52，6-52），D （-3-52，6+52）， （11分） 所以CD 的中点M （-3，6）. （12分） 因为102364||=+=
MA ，102436||=+=MB ，
1022020||=+=MC ，1022020||=+=MD ， （13分）
所以||||||||MD MC MB MA ===，
即 A 、B 、C 、D 四点在以点M （-3，6）为圆心，102为半径的圆上. （14分） 21．（本小题满分14分） 解：（1）∵32
11()(0)32
a f x x x ax a a -=
+--> ∴()2()1(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-， （1分） 令()0f x '=，解得121,0x x a =-=> （2分） 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：
故函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（a ，+∞）；单调递减区间为（-1，a ）；（4分） 因此)(x f 在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数)(x f 在
区间(2,0)-内恰有两个零点，当且仅当⎪⎩
⎪
⎨⎧<>-<-0)0(0)1(0
)2(f f f ， （5分）
解得1
03
a <<
， 所以a 的取值范围是（0，31）. （6分）
（2）当a =1时，13
1)(3
--=x x x f . 由（1）可知，函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，
-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；3
1)1()(-
=-=f x f 极大值. （7分） ①当t +3<-1，即t <-4时， 因为)(x f 在区间[t ，t +3]上单调递增，所以)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值为
5833
11)3()3(31)3()(233max +++=-+-+=+=t t t t t t f x f ； （9分） ②当231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，
因为)(x f 在区间(]1,-∞-上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且31)1()2(-=-=f f ，所以)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . （10分） 由231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，有[t ，t +3]⊂ (]2,∞-，-1∈[t ，t +3]，所以)(x f 在[,3]t t +上的最大值为31)1()(max -
=-=f x f ； （11分） ③当t +3>2，即t >-1时，
由②得)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为3
1)1()2(-=-=f f . 因为)(x f 在区间（1，+∞）上单调递增，所以)2()3(f t f >+，故)(x f 在[],3t t +上的最大值为
5833
1)3()(23max +++=+=t t t t f x f . （13分） 综上所述，当a =1时，
)(x f 在[t ，t +3]上的最大值⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤--->-<+++=)14(31)14(58331)(23max t t t t t t x f 或. （14分）。