昌图县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学
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昌图县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1.如图给出的是计算的值的一个流程图,其中判断框内应填入的条件是()
A.i≤21 B.i≤11 C.i≥21 D.i≥11
2.如图,在平面直角坐标系中,锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O交于A,B,C三点.分别作AA'、BB'、CC'垂直于x轴,若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形,则此三角形的外接圆面积为()
A.B.C. D.π
3.如图,在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列判断错误的是()
A . =
B .∥
C .
D .
4. 设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数,对任意实数x ,y ∈R ,都有f (x )•f (y )=f (x+y ),若a 1=,a n =f (n )(n ∈N *),则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )
A .[,2)
B .[,2]
C .[,1)
D .[,1]
5. 若函数y=f (x )是y=3x 的反函数,则f (3)的值是( ) A .0
B .1
C .
D .3
6. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知3S 3=a 4﹣2,3S 2=a 3﹣2,则公比q=( ) A .3
B .4
C .5
D .6
7. 设集合{}|||2A x R x =∈≤,{}|10B x Z x =∈-≥,则A B =( )
A.{}|12x x <≤
B.{}|21x x -≤≤
C. {}2,1,1,2--
D. {}1,2
【命题意图】本题考查集合的概念,集合的运算等基础知识,属送分题.
8. 使得(3x 2+
)n (n ∈N +
)的展开式中含有常数项的最小的n=( )
A .3
B .5
C .6
D .10
9. 某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动,若甲、乙两位同学不参加同一社团,每个社团都有人参加,每人只参加一个社团,则不同的报名方案数为( ) A .4320 B .2400 C .2160 D .1320
10.函数y=2|x|的图象是( )
A .
B .
C .
D .
11.若
,则下列不等式一定成立的是( )
A .B.
C.D.
12.是首项,公差的等差数列,如果,则序号等于()
A.667B.668C.669D.670
二、填空题
13.【南通中学2018届高三10月月考】定义在上的函数满足,为的导函数,且
对恒成立,则的取值范围是__________________.
14.若函数
63e
()()
32e
x
x
b
f x x
a
=-∈R为奇函数,则ab=___________.
【命题意图】本题考查函数的奇偶性,意在考查方程思想与计算能力.
15.如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是.已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11,则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为.
16.设函数,其中[x]表示不超过x的最大整数.若方程f(x)=ax有三个不同
的实数根,则实数a的取值范围是.
17.过原点的直线l与函数y=的图象交于B,C两点,A为抛物线x2=﹣8y的焦点,则|+|=.
18.当下社会热议中国人口政策,下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过2000年第五次人口普查预测1564
年份2030 2035 2040 2045 2050
的线性回归方程为
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:=,=﹣.
三、解答题
19.已知椭圆C:=1(a>2)上一点P到它的两个焦点F1(左),F2(右)的距离的和是6.
(1)求椭圆C的离心率的值;
(2)若PF2⊥x轴,且p在y轴上的射影为点Q,求点Q的坐标.
20.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,,E,F分别是A1C1,AB的中点.
(I)求证:平面BCE⊥平面A1ABB1;
(II)求证:EF∥平面B1BCC1;
(III)求四棱锥B﹣A1ACC1的体积.
21.(本小题满分13分)
在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是梯形,//AB DC ,2
ABD π
∠=
,AD =22AB DC ==,F
为PA 的中点.
(Ⅰ)在棱PB 上确定一点E ,使得//CE 平面PAD ;
(Ⅱ)若PA PB PD ===P BDF -的体积.
22.(本小题满分12分)
如图四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面为菱形,AA 1⊥底面ABCD ,M 为A 1A 的中点,AB =BD =2,且△BMC 1为等腰三角形.
(1)求证:BD ⊥MC 1;
(2)求四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积.
A
B
C
D
P
F
23.已知函数f(x)=alnx﹣x(a>0).
(Ⅰ)求函数f(x)的最大值;
(Ⅱ)若x∈(0,a),证明:f(a+x)>f(a﹣x);
(Ⅲ)若α,β∈(0,+∞),f(α)=f(β),且α<β,证明:α+β>2α
24.设{a n}是公比小于4的等比数列,S n为数列{a n}的前n项和.已知a1=1,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)令b n=lna3n+1,n=12…求数列{b n}的前n项和T n.
昌图县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学(参考答案)一、选择题
1.【答案】D
【解析】解:∵S=
并由流程图中S=S+
故循环的初值为1
终值为10、步长为1
故经过10次循环才能算出S=的值,
故i≤10,应不满足条件,继续循环
∴当i≥11,应满足条件,退出循环
填入“i≥11”.
故选D.
2.【答案】A
【解析】(本题满分为12分)
解:由题意可得:|AA'|=sinα、|BB'|=sinβ、|CC'|=sin(α+β),
设边长为sin(α+β)的所对的三角形内角为θ,
则由余弦定理可得,cosθ=
=﹣cosαcosβ
=﹣cosαcosβ
=sinαsinβ﹣cosαcosβ
=﹣cos(α+β),
∵α,β∈(0,)
∴α+β∈(0,π)
∴sinθ==sin(α+β)
设外接圆的半径为R,则由正弦定理可得2R==1,
∴R=,
∴外接圆的面积S=πR2=.
故选:A.
【点评】本题主要考查了余弦定理,三角函数恒等变换的应用,同角三角函数基本关系式,正弦定理,圆的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于中档题.
3.【答案】D
【解析】解:由图可知,,但不共线,故,
故选D.
【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义,属基础题.
4.【答案】C
【解析】解:∵对任意x,y∈R,都有f(x)•f(y)=f(x+y),
∴令x=n,y=1,得f(n)•f(1)=f(n+1),
即==f(1)=,
∴数列{a n}是以为首项,以为等比的等比数列,
∴a n=f(n)=()n,
∴S n==1﹣()n∈[,1).
故选C.
【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题,解题的关键是根据对任意x,y∈R,都有f(x)•f(y)=f(x+y)得到数列{a n}是等比数列,属中档题.
5.【答案】B
【解析】解:∵指数函数的反函数是对数函数, ∴函数y=3x 的反函数为y=f (x )=log 3x , 所以f (9)=log 33=1. 故选:B .
【点评】本题给出f (x )是函数y=3x (x ∈R )的反函数,求f (3)的值,着重考查了反函数的定义及其性质,属于基础题.
6. 【答案】B
【解析】解:∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和,3S 3=a 4﹣2,3S 2=a 3﹣2, 两式相减得 3a 3=a 4﹣a 3, a 4=4a 3, ∴公比q=4. 故选:B .
7. 【答案】D 【解析】由绝对值的定义及||2x ≤,得22x -≤≤,则{}|22A x x =-≤≤,所以{}1,2A B =,故选D.
8. 【答案】B
【解析】解:(3x 2
+)n
(n ∈N +)的展开式的通项公式为T r+1=
•(3x 2)n ﹣r •2r •x ﹣3r =•x 2n
﹣5r ,
令2n ﹣5r=0,则有n=,
故展开式中含有常数项的最小的n 为5,
故选:B .
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.
9. 【答案】D
【解析】解:依题意,6名同学可分两组:第一组(1,1,1,3),利用间接法,有•
=388,
第二组(1,1,2,2),利用间接法,有(﹣
)•
=932
根据分类计数原理,可得388+932=1320种, 故选D .
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,考查分类讨论思想与转化思想,考查理解与运算能力,属于中档题.
10.【答案】B
【解析】解:∵f(﹣x)=2|﹣x|=2|x|=f(x)
∴y=2|x|是偶函数,
又∵函数y=2|x|在[0,+∞)上单调递增,故C错误.
且当x=0时,y=1;x=1时,y=2,故A,D错误
故选B
【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象变换,其中根据函数的解析式,分析出函数的性质,进而得到函数的形状是解答本题的关键.
11.【答案】D
【解析】
因为,有可能为负值,所以排除A,C,因为函数为减函数且,所以,排除B,故选D
答案:D
12.【答案】C
【解析】
由已知,由得,故选C
答案:C
二、填空题
13.【答案】
【解析】点
睛:函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。
某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用。
因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的。
根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧。
许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效。
14.【答案】2016
【解析】因为函数()f x 为奇函数且x ∈R ,则由(0)0f =,得0063e 032e
b
a -=,整理,得2016a
b =. 15.【答案】 9 .
【解析】解:平均气温低于22.5℃的频率,即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22, 所以总城市数为11÷0.22=50,
平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18, 所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9. 故答案为:9
16.【答案】 (﹣1,﹣]∪[,) .
【解析】解:当﹣2≤x <﹣1时,[x]=﹣2,此时f (x )=x ﹣[x]=x+2.
当﹣1≤x<0时,[x]=﹣1,此时f(x)=x﹣[x]=x+1.
当0≤x<1时,﹣1≤x﹣1<0,此时f(x)=f(x﹣1)=x﹣1+1=x.
当1≤x<2时,0≤x﹣1<1,此时f(x)=f(x﹣1)=x﹣1.
当2≤x<3时,1≤x﹣1<2,此时f(x)=f(x﹣1)=x﹣1﹣1=x﹣2.
当3≤x<4时,2≤x﹣1<3,此时f(x)=f(x﹣1)=x﹣1﹣2=x﹣3.
设g(x)=ax,则g(x)过定点(0,0),
坐标系中作出函数y=f(x)和g(x)的图象如图:
当g(x)经过点A(﹣2,1),D(4,1)时有3个不同的交点,当经过点B(﹣1,1),C(3,1)时,有2个不同的交点,
则OA的斜率k=,OB的斜率k=﹣1,OC的斜率k=,OD的斜率k=,
故满足条件的斜率k的取值范围是或,
故答案为:(﹣1,﹣]∪[,)
【点评】本题主要考查函数交点个数的问题,利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本题的根据,利用数形结合是解决函数零点问题的基本思想.
17.【答案】4.
【解析】解:由题意可得点B和点C关于原点对称,∴|+|=2||,
再根据A为抛物线x2=﹣8y的焦点,可得A(0,﹣2),
∴2||=4,
故答案为:4.
【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质,属于基础题,利用|+|=2||是解题的关键.
18.【答案】y=﹣1.7t+68.7
【解析】解:=,==63.6.
=(﹣2)×4.4+(﹣1)×1.4+0+1×(﹣1.6)+2×(﹣2.6)=﹣17.=4+1+0+1+2=10.
∴=﹣=﹣1.7.=63.6+1.7×3=68.7.
∴y关于t的线性回归方程为y=﹣1.7t+68.7.
故答案为y=﹣1.7t+68.7.
【点评】本题考查了线性回归方程的解法,属于基础题.
三、解答题
19.【答案】
【解析】解:(1)根据椭圆的定义得2a=6,a=3;
∴c=;
∴;
即椭圆的离心率是;
(2);
∴x=带入椭圆方程得,y=;
所以Q(0,).
20.【答案】
【解析】(I)证明:在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,
所以,BB1⊥BC.
又因为AB⊥BC且AB∩BB1=B,
所以,BC⊥平面A1ABB1.
因为BC⊂平面BCE,
所以,平面BCE⊥平面A1ABB1.
(II)证明:取BC的中点D,连接C1D,FD.
因为E,F分别是A1C1,AB的中点,
所以,FD∥AC且.
因为AC∥A1C1且AC=A1C1,
所以,FD ∥EC 1且 FD=EC 1. 所以,四边形FDC 1E 是平行四边形. 所以,EF ∥C 1D .
又因为C 1D ⊂平面B 1BCC 1,EF ⊄平面B 1BCC 1,
所以,EF ∥平面B 1BCC 1.
(III )解:因为,AB ⊥BC
所以,
.
过点B 作BG ⊥AC 于点G ,则
.
因为,在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AA 1⊂平面A 1ACC 1
所以,平面A 1ACC 1⊥底面ABC . 所以,BG ⊥平面A 1ACC 1.
所以,四棱锥B ﹣A 1ACC 1的体积
.
【点评】本题考查了线面平行,面面垂直的判定,线面垂直的性质,棱锥的体积计算,属于中档题.
21.【答案】(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)当E 为PB 的中点时,//CE 平面PAD . (1分) 连结EF 、EC ,那么//EF AB ,1
2
EF AB =. ∵//DC AB ,1
2
DC AB =
,∴//EF DC ,EF DC =,∴//EC FD . (3分) 又∵CE ⊄平面PAD , FD ⊂平面PAD ,∴//CE 平面PAD . (5分)
(Ⅱ)设O 为AD 的中点,连结OP 、OB ,∵PA PD =,∴OP AD ⊥, 在直角三角形ABD 中,1
2
OB AD OA =
=, 又∵PA PB =,∴PAO PBO ∆≅∆,∴POA POB ∠=∠,∴OP OB ⊥,
∴OP ⊥平面ABD . (10分)
2
PO===
,2
BD==
∴三棱锥P BDF
-的体积1112
22
2233
P BDF P ABD
V V
--
==⨯⨯⨯=.(13分)
22.【答案】
【解析】解:(1)证明:如图,连接AC,设AC与BD的交点为E,
∵四边形ABCD为菱形,
∴BD⊥AC,
又AA1⊥平面ABCD,
BD⊂平面ABCD,∴A1A⊥BD;
又A1A∩AC=A,∴BD⊥平面A1ACC1,
又MC1⊂平面A1ACC1,∴BD⊥MC1.
(2)∵AB=BD=2,且四边形ABCD是菱形,
∴AC=2AE=2AB2-BE2=23,
又△BMC1为等腰三角形,且M为A1A的中点,
∴BM是最短边,即C1B=C1M.
则有BC2+C1C2=AC2+A1M2,
即4+C1C2=12+(C1C
2
)2,
解得C1C=46
3
,
所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V=S菱形ABCD×C1C
A
C
D
P
O
E
F
=12AC ×BD ×C 1C =12×23×2×463=8 2. 即四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为8 2. 23.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)令
,所以x=a .
易知,x ∈(0,a )时,f ′(x )>0,x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )<0. 故函数f (x )在(0,a )上递增,在(a ,+∞)递减. 故f (x )max =f (a )=alna ﹣a .
(Ⅱ)令g (x )=f (a ﹣x )﹣f (a+x ),即g (x )=aln (a ﹣x )﹣aln (a+x )+2x .
所以
,当x ∈(0,a )时,g ′(x )<0.
所以g (x )<g (0)=0,即f (a+x )>f (a ﹣x ). (Ⅲ)依题意得:a <α<β,从而a ﹣α∈(0,a ).
由(Ⅱ)知,f (2a ﹣α)=f[a+(a ﹣α)]>f[a ﹣(a ﹣α)]=f (α)=f (β). 又2a ﹣α>a ,β>a .所以2a ﹣α<β,即α+β>2a .
【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题,一般是转化为函数的最值问题来解,注意导数的应用.
24.【答案】
【解析】解:(1)设等比数列{a n }的公比为q <4,∵a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列. ∴2×3a 2=a 1+3+a 3+4,∴6q=1+7+q 2
,解得q=2.
(2)由(1)可得:a n =2n ﹣1
.
b n =lna 3n+1=ln23n =3nln2.
∴数列{b n }的前n 项和T n =3ln2×(1+2+…+n )
=ln2.。