九年级数学上册 第二十四章 圆 为判定切线支招同步辅导素材新人教版

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为判定切线支招
同学们,证明直线是圆的切线的问题,你会感到困难吗?这里,为大家支个招,介绍两种通过添加辅助线证明圆的切线的方法:一是如果欲证的切线已知与圆有公共点,则经过这个公共点作圆的半径(或直径),然后证明该半径(或直径)与该直线垂直,简称“作半径,证垂直”;二是如果欲证的切线与圆无公共点,则经过圆心作该直线的垂线,然后证明圆心到该直线的距离等于圆的半径,简称“作垂直,证相等”.
这两种切线的证明方法分别适用于两种不同的条件,在运用是要注意正确选择.下面举例说明,供同学们学习时参考.
一、“连半径,证垂直”
例1(2016•南宁)如图1,在Rt△ABC 中,∠C =90°,BD 是角平分线,点O 在AB 上,以点O 为圆心,OB 为半径的圆经过点D .求证:AC 是⊙O 的切线.
分析:由已知条件可知欲证的切线AC 与⊙O 有公共点D ,
因此,连接OD ,再证明OD ⊥AC 即可.
证明:如图1,连接OD .
∵OB =OD ,
∴∠ODB =∠OBD .
∵BD 为∠ABC 平分线,
∴∠OBD =∠CBD.,
∴∠CBD =∠O DB .
∴OD ∥BC .
∵∠C =90°,
∴∠ODA =∠C =90°,即OD ⊥AC .
∴AC 是⊙O 的切线.
二、“作垂直,证相等”
例2(2015∙黔东南)如图2,已知PC 平分∠MPN ,点O 是PC 上任意
一点,PM 与⊙O 相切于点E ,交PC 于A ,B 两点.求证:PN 与⊙O 相切.
分析:已知条件中没有说明直线PN 与⊙O 有无公共点,可由圆心
O 向PN 作垂线OF ,通过证明OF 与⊙O 的半径相等,得出P N 与⊙O 相
切. 证明:如图2,连接OE ,过点O 作O F⊥PN 于点F.
∵⊙O 与PM 相切于点E ,
∴OE ⊥PM.
又∵PC 平分∠MPN ,OF ⊥PN ,OE ⊥PM ,
∴OF=OE ,
∴PN 与⊙O 相切
.。

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