山东省邹城市2018_2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)

先将函数
有两个不同的零点，转化为
有两不等实根，令
，
则直线 与曲线
有两不同交点，用导数方法判断函数 的单调性，作出函数
的大致图像，结合图像即可得出结果.
【详解】因为函数
有两个不同的零点，
所以
有两不等实根，令
，
则直线 与曲线
有两不同交点，
又
，
令
得，
所以，当 时，
当 时，
，
， 单调递减； 单调递增；
所以
，
此时
.
不妨设 的展开式为
.
令 ，得
.
令
，得
，
两式相加得
，即
.
故 展开式中 的偶次幂项的系数之和为 29.
【点睛】本题主要考查二项式定理，熟记二项展开式的通项公式即可，属于常考题型.
20.第 18 届国际篮联篮球世界杯将于 2019 年 8 月 31 日至 9 月 15 日在中国北京、广州等八 座城市举行.届时，甲、乙、丙、丁四名篮球世界杯志愿者将随机分到 、 、 三个不同的 岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.
3.已知随机变量 满足
，则
的值等于（ ）
1
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A. 20
B. 18
C. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据随机变量方差的性质即可得出结果.
【详解】因为随机变量 满足
，所以
.
故选 B
【点睛】本题主要考查方差的性质，熟记结论即可，属于基础题型.
D. 6
4.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较， 其中正确的是（ ）
，
所以
，
故函数 为奇函数，
又
，所以
，
，
由
可得，
，
即要使 作出函数
成立，只需 的简图如下：
成立；
7
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由图像可得，当
时，
，即
.
故选 C
【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要结合函数的单调性、奇偶性求解，属于常考题
型.
二、填空题。 13.若函数 【答案】2 【解析】 【分析】 先对函数求导，再将 【详解】因为
【详解】因为随机变量 的概率分布为
所以
，
即
，所以 ，
，其中 是常数，则 D.
，即可求出结 ，
5
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故
.
故选 D 【点睛】本题主要考查概率的性质，熟记概率和为 1 即可，属于基础题型.
10.由 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A. 20
B. 30
，则
______.
代入导函数，即可求出结果. ，
所以
，
因此
，解得
.
故答案为 2 【点睛】本题主要考查导数的计算，熟记求导公式即可，属于常考题型.
14.设随机变量 服从正态分布 【答案】 【解析】 【分析】
，若
，则实数 ______.
8
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根据正态分布的对称性，可直接得到 【详解】因为随机变量 服从正态分布 所以，由正态分布的对称性可知：
概率是 0.8，那么至少有一学生解答正确的概率是（ ）
A. 0.26
B. 0.28
C. 0.72
D. 0.98
3
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【答案】D
【解析】
【分析】
先记“甲解答数学问题正确” 为 事件 ，“乙解答数学问题正确”为事件 ，根据题意即可
求出结果.
【详解】记“甲解答数学问题正确”为事件 ，“乙解答数学问题正确”为事件 ，
【附】参考公式
，
，
.参考数据：
【答案】(1) 【解析】 【分析】
. (2) 77 微克/立方米
(1)根据题中数据，先求出 ，由
以及
，即可求出结果；
(2)根据(1)的结果，将
代入回归方程，即可求出结果.
【详解】解：（1）由已知，得
，
，
.
所以
，
.
故所求线性回归方程为
.
（2）由（1）知，当
时，
，
所以可预测该市车流量为 10 万辆时
【详解】因为函数
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
当 时， 当 时，
显然恒成立，故 满足题意；
在
上恒成立，可化为 在
上恒成立，
所以 .
综上，实数 的取值范围是 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数在区间上的单调性求参数问题，通常只需用分
4
精品文档，欢迎下载！ 离参数的方法处理，属于常考题型.
8.我市某学校开设 6 门课程供学生选修，其中 ， 两门由于上课时间相同，至多选一门，
学校规定：每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（ ）
A. 16
B. 20
C. 48
D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】
分“每位同学都不选 ， ”和“每位同学只选 ， 中一门”两种情况讨论，即可求出结果.
B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
根据极值的定义可知，前者是后者的充分条件；再根据
，若 左右两侧同号时，
则不能推出在 处取得极值，进而可得出结果.
【详解】根据函数极值的定义可知：当函数 在 处取得极值时，
一定成立，即
“函数 在点 处取得极值”是“
”的充分条件；
当
时，若 左右两侧同号时，则不能推出在 处取得极值，如：
【详解】分两种情况讨论如下：
若“每位同学都不选 ， ”，则有 种选修方案；
若“每位同学只选 ， 中一门”，则有
种选修方案；
故每位同学不同的选修方案种数是
.
故选 A
【点睛】本题主要考查组合问题，熟记概念，掌握分类讨论的思想即可，属于常考题型.
9.已知随机变量 的概率分布为
的值等于（ ）
A.
B.
C.
【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件，由概率之和为 1，先求出 ；再由 果.
11.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件 :“甲骰子的点数大于 3”；事件 :“甲、乙两骰子的点
数之和等于 7”，则
的值等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】 先求出 发生的概率，再求出事件 与事件 都发生的概率，根据条件概率的概率计算公式即 可求出结果. 【详解】由题意可得：事件 :“甲骰子的点数大于 3”包含点数为 4,5，6 三种情况，
所以
，故 ；
因此
的展开式的通项公式为
，
令
可得 ，
所以，该展开式中的常数项为
.
故答案为 252 【点睛】本题主要考查二项展开式的常数项，熟记二项式定理即可，属于常考题型.
16.若函数
（
的取值范围为________.
【答案】
【解析】 【分析】
…是自然对数的底数）有两个不同的零点，则实数
9
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C. 60
D. 120
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意先确定个位数字，再从剩下的五个数字中选出 2 个进行排列，即可得出结果.
【详解】由 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的三位偶数，可得末尾只能是 2、4、6 中
的一个，
再从剩下的五个数字选出两个排在百位和十位即可，
因此，偶数的个数为
.
故选 C 【点睛】本题主要考查排列组合问题，根据特殊问题优先考虑原则即可求解，属于基础题型.
，
因此，
或
，故
，
，所以ຫໍສະໝຸດ .故选 B【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，熟记概念即可，属于基础题型.
2.命题“
，
A.
，
”的否定是（ ）
B.
，
C.
，
D.
.
【答案】C 【解析】 【分析】 根据含有一个量词的命题的否定，可直接写出结果.
【详解】命题“
，
”的否定是“
， ”.
故选 C 【点睛】本题主要考查命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于基础题型.
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2018～2019 学年度第二学期期中考试
高二数学试题
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合
，
，则集合 是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解方程
得到集合 ；根据
，即可求出集合 .
【详解】解方程
得或
，
因为 ，所以 或
【答案】(1)
；
(2)
【解析】
【分析】
(1)先化简集合 ，再由交集、并集、补集的概念即可求出结果；
(2)先由题意得到 ，进而可得出结果.
【详解】解：（1）因为
，
所以
，
，
.
（2）由已知，得
，
因为 是 的必要条件，所以 ，
又因为
，所以
，解得
.
故所求实数 的取值范围为
.
【点睛】本题主要考查集合的混合运算，以及集合间的关系，熟记概念即可，属于基础题型.
2
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由题中数据可知：(1)(3)为正相关，(2)(4)为负相关；故
；
；
又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故
，
，
因此，
.
故选 C
【点睛】本题主要考查相关系数，根据散点图的特征进行判断即可，属于基础题型.
5.若函数 在 处的导数存在，则“函数 在点 处取得极值”是“
”的
（） A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
，
其导函数为
，当 时，
，但
是单调函数，无极值点；
所以“函数 在点 处取得极值”是“
”的不必要条件.
综上，“函数 在点 处取得极值”是“
”的充分不必要条件.
故选 A 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，熟记概念即可，属于常考题型.
6.甲、乙两学生独立地解答同一道数学问题，甲生解答正确的概率是 0.9，乙生解答正确的
又
，当 时，
，
所以，作出 的大致图像如下：
由图像可得：
，
故答案为 【点睛】本题主要考查导数的应用，先将函数零点问题转化为直线与曲线交点问题，用数形 结合的思想处理，属于常考题型.
三、解答题：（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知集合
，
，
.
10
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（1）求 ，
：
（2）若 是 的必要条件，求实数 的取值范围.
18.下图是某城市 2018 年 12 月份某星期，星期一到星期日某一时间段 微克/立方米）与该时间段车流量（单位：万辆）的散点图.
浓度（单位：
（1）由散点图知 与 具有线性相关关系，求 与 的线性回归方程；
（2）利用（I）所求的回归方程，预测该市车流量为 10 万辆时
的浓度.
11
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，即可得出结果.
，且
，
，解得 .
故答案为 【点睛】本题主要考查正态分布，熟记正态分布的特征即可，属于常考题型.
15.若
的展开式中各项系数之和为 256，则该展开式中的常数项为______.
【答案】252 【解析】 【分析】 根据题意，先求出 ，再由二项展开式的通项公式即可求出结果.
【详解】因为
的展开式中各项系数之和为 256，
的浓度约为 77 微克/立方米.
【点睛】本题主要考查线性回归方程，熟记最小二乘法求 与 即可，属于常考题型.
12
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19.已知
的展开式中 的系数为 11.
（1）求 的系数取最小值时 的值；
（2）当 的系数取得最小值时，求 展开式中 的偶次幂项的系数之和.
【答案】(1)
(2)29
【解析】
12.设 是奇函数
的导函数，且
，当 时，有
，则
使得
成立的 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先构造函数
，对 求导，根据题中条件判断其单调性，以及奇偶性，将不等式
转化为
，结合 的简图，即可求出结果.
【详解】令
，则
，
因为当 时，有
，所以
，
即函数 在
上单调递增；
又 是 上的奇函数，所以
【分析】
（1）先由题意，得到
，求出
，再由二项展开式的通项求出以 的
系数为
化简整理，即可求出结果；
（2）根据（1）的结果，先确定
，再设 的展开式为
，用赋值法，分别令 与
即可求出结果.
【详解】解：（1）由已知，得
，所以
，
所以 的系数为
.
因为
，所以当 时， 的系数取得最小值 22，此时 .
（2）由（1）知， 的系数取得最小值时， ， .
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越 集中在一条线附近，说明相关性越强，进而可得出结果. 【详解】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关； 数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，
由题意可得
，
，
则至少有一学生解答正确的概率是
.
故选 D
【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.
7.已知函数
在
上单调递增，则实数 的取值范围是 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】 对函数求导，将函数在 分类讨论即可求出结果.
上单调递增，转化为
在
上恒成立的问题，
所以为
，
又事件 :“甲、乙两骰子的点数之和等于 7”，
6
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所以，事件 与事件 都发生所包含的情况有 乙两颗骰子，共有 36 种情况，
所以事件 与事件 都发生的概率为
，
，共 3 个基本事件；而抛掷甲、
故
.
故选 B 【点睛】本题主要考查条件概率，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.
13
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（1）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （2）设随机变量为这四名志愿者中参加 岗位服务的人数，求的分布列及数学期望 . 【答案】(1) (2)见解析 【解析】 【分析】 （1）先记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 ，根据题意求出 ，再由
，即可得出结果； (2)根据题意，先确定可能取得的值，分别求出对应概率，即可得出分布列，从而可计算出 期望. 【详解】解：（1）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 ，