数列的递推公式

[跟踪训练] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)若 Sn＝(－1)n＋1·n，求 a5＋a6 及 an； (2)若 Sn＝3n＋2n＋1，求 an.
解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2， 当 n＝1 时，a1＝S1＝1；当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1) ＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)， 又 a1 也适合此式，所以 an＝(－1)n＋1·(2n－1)． (2)因为当 n＝1 时，a1＝S1＝6；当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1] ＝2·3n－1＋2，由于 a1 不适合此式， 所以 an＝62，·3nn－＝1＋12，，n≥2.
[规律方法] 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 an＋1＝an＋f(n)或 an＋1＝ g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即： (1)累加法：当 an＝an－1＋f(n)时，常用 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋ (a2－a1)＋a1 求通项公式； (2)累乘法：当aan－n 1＝g(n)时，常用 an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1 求通项公式．
[规律方法] 已知 Sn 求 an 的 3 个步骤 (1)先利用 a1＝S1 求出 a1； (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出 当 n≥2 时 an 的表达式； (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的表达式，如果符合， 则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n＝1 与 n≥2 两段来写．
方法二：累乘法求通项公式 [例 3] 设数列{an}中，a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)，求数列的通项公式 an. [解] ∵a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)， ∴aan－n 1＝n－n 1， an＝aan－n 1×aann－－12×aann－ －23×…×aa32×aa12×a1 ＝n－n 1×nn－ －21×nn－ －32×…×23×12×1＝1n. 又∵n＝1 时，a1＝1，符合上式，∴an＝1n.
§4.1 第2课时 数列的递推公式
【新知初探】
知识点一 数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用 一个式子 来表示， 那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
知识点二 数列的前 n 项和 1．数列的前 n 项和
把数列{an}从第_1_项起到第_n_项止的各项之和，称为数列{an}的前 n 项和，记作 Sn，即 Sn＝ a1＋a2＋…＋an .
则 a3＋a5 等于 ( )
25 A. 9
D．2156
61 C.16
D．3115
解析：由题意 a1a2＝22，a1a2a3＝32， a1a2a3a4＝42，a1a2a3a4a5＝52， 则 a3＝2322＝94，a5＝5422＝2156.故 a3＋a5＝6116.
答案：C
3．设 an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}的最大项为( )
[名师点津]
1．对数列递推公式的理解 (1)并不是所有的数列都有递推公式； (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于 项数 n 的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换 n，就可以求出数列的各项； (3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项． 2．应用数列前 n 项和公式的易错点 在利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易忽略验证 n＝1 时的情况，而是直接 把数列的通项公式写成 an＝Sn－Sn－1 的形式，但它只适用于 n≥2 的情形．
【随堂检测】
1．已知数列{an}的首项为 a1＝1，且满足 an＋1＝12an＋21n，则此
数列的第 4 项是 ( )
A．1
1 B.2
3 C.4
5 D.8
解析：由 a1＝1，∴a2＝12a1＋12＝1，依此类推 a4＝12.
答案：B
2．数列{an}中，a1＝1，对所有的 n≥2，都有 a1·a2·a3·…·an＝n2，
【题型探究】
题型一 递推公式的应用
角度一：由递推公式求数列的项 [例 1] 数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an2＋1－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前 5 项． [解] 由 a2n＋1－anan＋2＝(－1)n，得 an＋2＝a2n＋1－an－1n， 又∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝a22－a－1 11＝32＋1 1＝10，a4＝a23－a－2 12＝1023－1＝33， a5＝a42－a－3 13＝3312＋0 1＝109.∴数列{an}的前 5 项为 1,3,10,33,109.
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋b， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1. 当 b＝－1 时，a1 适合此式． 当 b≠－1 时，a1 不适合此式． 所以当 b＝－1 时，an＝2·3n－1； 当 b≠－1 时，an＝32＋ ·3nb－，1，nn＝≥12，.
2．如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的 前 3 项，则这个数列的一个通项公式为________．
解析：我们把图案按如下规律分解：
这三个图案中白色正六边形的个数依次为 6,6＋4,6＋4×2， 所以这个数列的一个通项公式为 an＝6＋4(n－1)＝4n＋2. 答案：an＝4n＋2
2．数列的前 n 项和公式 (1)如果数列{an}的前 n 项和 Sn 与它的序号 n 之间的对应关系可以用 一个式子 来 表示，那么 这个式子 叫做这个数列的前 n 项和公式；
(2)显然 S1＝a1，而 Sn－1＝ a1＋a2＋…＋an－1 (n≥2)，于是我们有 an＝SSn－1，Sn－n1，＝n1≥，2.
[跟踪训练]
1．已知数列{an}满足 an＋1＝22aann，－01≤，12a≤n<12a，n<1，
若 a1＝67，则 a2 020＝________.
解析：计算得 a2＝2a1－1＝57，a3＝2a2－1＝37，a4＝2a3＝67. 故数列{an}是以 3 为周期的周期数列， 又因为 2 020＝673×3＋1，所以 a2 020＝a1＝67. 答案：67
[规律方法] 由递推公式求数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次 代入计算即可； (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式； (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
角度二：由递推公式求通项公式
3．已知数列{an}中 a1＝12，an＝nn－ ＋11an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式． 解：因为 an＝nn－ ＋11an－1(n≥2)，所以当 n≥2 时，aan－n1＝nn－ ＋11， 所以aan－n 1＝nn－ ＋11，aann－－12＝n－n 2，…，aa32＝24，aa12＝13， 以上 n－1 个式子相乘得aan－n 1·aann－－12·…·aa32·aa21＝nn－ ＋11·n－n 2·…·24·13， 即aan1＝n＋1 1×1n×2×1，所以 an＝nn1＋1. 当 n＝1 时，a1＝1×1 2＝12，也与已知 a1＝12相符， 所以数列{an}的通项公式为 an＝nn1＋1.
法二：根据题意，令aann－≥1≤ana＋n1， (n>1)，
即n1110n－1≤n＋11110n， n＋11110n≥n＋21110n＋1
(n>1)， n＝10.
故数列{an}有最大项，为第 9 项和第 10 项，且 a9＝a10＝10×11109.
A．5
B．11
C．10 或 11
D．36
解析：∵an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36， ∴当 n＝5 时，an 取得最大值 36.
答案：D
4．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项 公式为 ( )
A．an＝2n－3
B．an＝2n＋3
C．an＝12， n－n＝ 3，1， n≥2
题型二 根据数列的前 n 项和公式求通项
[例 4] 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. [解] (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2－3＝－1， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于 a1 也适合此式，所以 an＝4n－5.
D．an＝12， n＋n＝ 3，1， n≥2
解析：当 n＝1 时，a1＝S1＝1，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3， 由于 n＝1 时 a1 的值不适合 n≥2 的解析式，故通项公式为选项 C.
答案：C
5．已知数列{an}满足 a1＝23，an＋1＝n＋n 1an，得 an＝________. 解析：由条件知aan＋n1＝n＋n 1，分别令 n＝1,2,3，…，n－1，代入上式 得 n－1 个等式，即aa21·aa32·aa43·…·aan－n 1＝12×23×34×…×n－n 1，得aan1＝1n. 又∵a1＝23，∴an＝32n. 答案：32n
本课结束
[规律方法] 1．由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研 究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数 列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件． 2．可以利用不等式组aann－ ≥1≤ana＋n1， (n>1)找到数列的最大项；利用 不等式组aann－ ≤1≥ana＋n1， (n>1)找到数列的最小项．
[跟踪训练]
数列{an}的通项公式为 an＝3n2－28n，则数列{an}各项中最小项是( )
A．第 4 项
B．第 5 项
C．第 6 项
D．第 7 项
解析：an＝3n2－28n＝3n－1342－1936，
当 n＝134时，an 最小，又 n∈N*，
故 n＝5 时，an＝3n2－28n 最小．
答案：B
方法一：累加法求通项公式
[例 2]
已知数列{an}满足 a1＝－1，an＋1＝an＋n
1 n＋1
，n∈N*，
求数列的通项公式 an.
[解] ∵an＋1－an＝nn1＋1，∴a2－a1＝1×1 2；a3－a2＝2×1 3； a4－a3＝3×1 4；…；an－an－1＝n－11n； 以上各式累加得，an－a1＝1×1 2＋2×1 3＋…＋n－11n ＝1－12＋12－13＋…＋n－1 1－1n＝1－1n. ∵a1＝－1，∴an＋1＝1－1n，∴an＝－1n(n≥2)． 又∵n＝1 时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－1n.
题型三 数列的最大、最小项问题 [例 5] 已知数列{an}的通项公式是 an＝n＋1·1110n，试问 该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号； 若没有，请说明理由．
[解] 法一：an＋1－an ＝(n＋2)1110n＋1－(n＋1)1110n＝9－1n11110n， 当 n<9 时，an＋1－an>0，即 an＋1>an； 当 n＝9 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n>9 时，an＋1－an<0，即 an＋1<an. 则 a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…， 故数列{an}有最大项，为第 9 项和第 10 项，且 a9＝a10＝10×11109.