2019年高三上学期期末考试理科数学含答案

2019年高三上学期期末考试理科数学含答案
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项。

1.复数等于
A. B. C. D. 2.设非零实数满足，则下列不等式中一定成立的是 A. B. C. D. 3.下列极坐标方程表示圆的是
A. B. C. D.
4.阅读如右图所示的程序框图，如果输入的的值为6，那么运行相应程序，输出的的值为
A. 3
B. 5
C. 10
D. 16 5. 的展开式中的常数项为
A. 12
B.
C.
D.
6.若实数满足条件20,0,3,x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩
则的最大值是 A. B. C. D.
7.已知椭圆:的左、右焦点分别为，椭圆上点满足. 若点是椭圆上的动点，则的最大值为
A. B. C.
D. 8.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个
开始 结束
输入n 输出n i =0
n 是奇数
n =3n +1
i<3
i =i +1
2
n
n =是
否
数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有
A.50种
B.51种
C.140种
D.141种
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知点是抛物线:的焦点，则_______.
10.在边长为2的正方形中有一个不规则的图形，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积.若在正方形中随机产生了个点，落在不规则图形内的点数恰有xx个，则在这次模拟中，不规则图形的面积的估计值为__________.
11.圆:（为参数）的圆心坐标为__________；直线:被圆所截得的弦长为__________.
12.如图，与圆相切于点，过点作圆的割线交圆于两点，，，则圆的直径等于
______________.
13. 已知直线过双曲线的左焦点,且与以实轴为直径的圆相切,若直线与双曲
线的一条渐近线恰好平行，则该双曲线的离心率是_________.
14. 已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示.
（1）若该四棱锥的左视图为直角三角形，则它的体积为__________；
（2）关于该四棱锥的下列结论中：
①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；
②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；
③四棱锥中不．可能存在四组互相垂直的侧面.
所有正确结论的序号是___________.
三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

15．（本小题共13分）
A
函数cos2()2sin sin cos x
f x x x x
=
++.
（Ⅰ）在中，，求的值；
（Ⅱ）求函数的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.
16．（本小题共13分）
根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示.
假设每名队员每次射击相互独立. （Ⅰ）求上图中的值；
（Ⅱ）队员甲进行三次射击，求击中目标靶的环数不低于8环的次数的分布列及数学期望（频率当作
概率使用）；
（Ⅲ）由上图判断，在甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论不需证明）
17．（本小题共14分）
如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，,是边长为2的等边三角形，,.
（Ⅰ）求证：底面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存
在，请说明理由．
18.（本小题共13分）
已知关于的函数
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）若函数没有零点，求实数取值范围.
0.01
0.190.29
0.45
O 甲击中环数频率
0.05
0.150.100.35
0.30
0.250.20O 频率
乙击中环数P
A
F B
C
D O
19.（本小题共14分）
已知椭圆:的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点（点在第一象限）.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知为椭圆的左顶点，平行于的直线与椭圆相交于两点.判断直线是否关于直线对称，并说明理由.
20.（本小题共13分）
若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.
（Ⅰ）判断下列函数：①；②；③中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（Ⅱ）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论；
（Ⅲ）证明：，函数都是等比源函数.
海淀区高三年级第一学期期末练习
数学（理）
参考答案及评分标准xx．1
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，
共30分）
9．2 10．11. ；4
三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）由得.
因为cos2()2sin sin cos x
f x x x x
=
++
-----------------------------------2分
， -------------------------------------4分
因为在中，，
所以， -------------------------------------5分 所以, ------------------------------------7分 所以431
()sin cos 555
f A A A =+=-=. -----------------------------------8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得,
所以的最小正周期. -----------------------------------10分
因为函数的对称轴为, -----------------------------------11分
又由,得,
所以的对称轴的方程为. ----------------------------------13分
16．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,
所以. --------------------------------3分 （Ⅱ）由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于8环的概率为
----------------------------------4分
由题意可知随机变量的取值为：0,1,2,3. ----------------------------------5分 事件“”的含义是在3次射击中，恰有k 次击中目标靶的环数不低于8环.
3333()1(0,1,2,3)44k
k
k P X k C k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
----------------------------------8分
即的分布列为
12． 13． 14． ；①②③
所以的期望是1927279()0123646464644
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. ------------------------10分 （Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. ---------------------------------13分 17．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为底面是菱形，,
所以为中点. -------------------------------------1分 又因为,
所以, ---------------------------------------3分
所以底面
.
----------------------------------------4分
（Ⅱ）由底面是菱形可得, 又由（Ⅰ）可知.
如图，以为原点建立空间直角坐标系.
由是边长为2的等边三角形，，
可得. 所以
(1,0,0),(1,0,0),A C B P -.
---------------------------------------5分 所以,.
由已知可得13(44OF OA AP =+= -----------------------------------------6分 设平面的法向量为，则
即0,
30.4x z ⎧=⎪
⎨+
=⎪⎩ 令，则，所以. ----------------------------------------8分 因为1
cos 2||||
CP CP CP ⋅<⋅>=
=-⋅n n n ， ----------------------------------------9分
所以直线与平面所成角的正弦值为，
所以直线与平面所成角的大小为. -----------------------------------------10分 （Ⅲ）设，则
)CM CB BM CB BP λλ=+=+=-. ---------------------------------11分
若使∥平面，需且仅需且平面，---------------------12分
解得, ----------------------------------------13分 所以在线段上存在一点，使得∥平面.
此时=. -----------------------------------14分
18.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）2e (2)(2)
'()(e )e
x x x
a x a x f x ----==，. ------------------------------------------2分 当时，,的情况如下表：
所以，当时，函数的极小值为. -----------------------------------------6分 （Ⅱ）(2)
'()'()e
x
a x F x f x --==
. ①当时，的情况如下表：
--------------------------------7分
因为, ------------------------------8分 若使函数没有零点，需且仅需，解得,-------------------9分
所以此时； -----------------------------------------------10分 ②当时，的情况如下表：
--------11分
因为,且10110101110e 10
e 10(1)0e
e
a a
a
F a
-
-
----
=<
<,---------------------------12分
所以此时函数总存在零点. --------------------------------------------13分 综上所述，所求实数的取值范围是.
19.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由题意得, ---------------------------------------1分
由可得, ------------------------------------------2分 所以, -------------------------------------------3分
所以椭圆的方程为. ---------------------------------------------4分 （Ⅱ）由题意可得点, ------------------------------------------6分 所以由题意可设直线,. ------------------------------------------7分 设，
由22
1,4312
x y y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得. 由题意可得222
4(3)1230n n n ∆=--=->,即且. -------------------------8分
. -------------------------------------9分
因为121233
2211MB MC y y k k x x -
-+=
+-- -----------------------------------10分
1212121212121313112
22211111(1)(2)1()1
x n x n n n x x x x n x x x x x x +-+-
--=+=++-----+-=+
-++ ， ---------------------------------13分
所以直线关于直线对称. ---------------------------------14分 20.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）①②③都是等比源函数. -----------------------------------3分 （Ⅱ）函数不是等比源函数. ------------------------------------4分 证明如下：
假设存在正整数且，使得成等比数列， ，整理得， -------------------------5分
等式两边同除以得2122221n m n m k k m --+-+=++. 因为，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数， 所以等式2122221n m n m k k m --+-+=++不可能成立，
所以假设不成立，说明函数不是等比源函数. -----------------------------8分 （Ⅲ）法1：
因为，都有，
所以，数列都是以为首项公差为的等差数列. ，2(1),(1)(1),(1)(1)g g d g d ++成等比数列，
因为(1)(1)(1)((1)11)[(1)1]g d g g d g g +=++-=+，
2(1)(1)(1)(2(1)(1)11)[2(1)(1)1]g d g g g d d g g g d +=+++-=++，
所以(1),[(1)1],[2(1)(1)1]g g g g g g d +++，
所以，函数都是等比源函数. -------------------------------------------13分 （Ⅲ）法2：
因为，都有，
所以，数列都是以为首项公差为的等差数列.
由，（其中）可得
2[(1)(1)](1)[(1)(1)]g m d g g k d +-=⋅+-，整理得 (1)[2(1)(1)](1)(1)m g m d g k -+-=-， 令，则(1)[2(1)(1)](1)(1)g g g d g k +=-，
所以，
所以，数列中总存在三项(1),[(1)1],[2(1)(1)1]g g g g g g d +++成等比数列.
所以，函数都是等比源函数.-------------------------------------------13分30523 773B 眻<30692 77E4 矤8)w35519 8ABF 調37390 920E
鈎{29353 72A9 犩40346 9D9A 鶚t26227 6673 晳27567 6BAF 殯39622 9AC6 髆。