2019届北师大版高三数学(理)复习学案:学案2 命题及其关系、充分条件与必要条件(含答案)
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学案2
导学目标:
1.能写出一个
2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
自主梳理
1.命题
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做
2.四种
(1)四种命题
一般地,用p和q分别表示原
原
逆
否
逆否
(2)四种
(3)四种
①两个
②两个
3.充分条件与必要条件
若p⇒q,则p叫做q的充分条件;若q⇒p,则p叫做q的必要条件;如果p⇔q,则p叫做q的充要条件.自我检测
1.(2018·湖南)下列
A.∃x∈R,lg x=0 B.∃x∈R,tan x=1
C.∀x∈R,x3>0 D.∀x∈R,2x>0
答案 C
解析对于C选项,当x=0时,03=0,因此∀x∈R,x3>0是假
2.(2018·陕西)“a>0”是“|a|>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析a>0⇒|a|>0,|a|>0 a>0,∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件.
3.(2009·浙江)“x>0”是“x≠0”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析对于“x>0”⇒“x≠0”,反之不一定成立,因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件.
4.若
答案 C
解析由四种
5.(2018·宜昌模拟)与命题“若a∈M,则b∉M”等价的
A.若a∉M,则b∉M
B.若b∉M,则a∈M
C.若a∉M,则b∈M
D.若b∈M,则a∉M
答案 D
解析因为原
探究点一四种
例1写出下列
(1)实数的平方是非负数;
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形;
(3)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.
解题导引给出一个
解(1)逆
否
逆否
(2)逆
否
逆否
(3)逆
否
逆否
变式迁移1 有下列四个
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆
②“全等三角形的面积相等”的否
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆
其中真
答案①③
解析①的逆
④的逆
探究点二充要条件的判断
例2给出下列
(1)p:x-2=0;q:(x-2)(x-3)=0.
(2)p:两个三角形相似;q:两个三角形全等.
(3)p:m<-2;q:方程x2-x-m=0无实根.
(4)p:一个四边形是矩形;q:四边形的对角线相等.
解(1)∵x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0;
而(x-2)(x-3)=0
x-2=0.
∴p是q的充分不必要条件.
(2)∵两个三角形相似两个三角形全等;
但两个三角形全等⇒两个三角形相似.
∴p是q的必要不充分条件.
(3)∵m<-2⇒方程x2-x-m=0无实根;
方程x2-x-m=0无实根m<-2.
∴p是q的充分不必要条件.
∴p 是q 的充分不必要条件.
变式迁移2 (2018·邯郸月考)下列各小题中,p 是q 的充要条件的是( )
①p :m<-2或m>6;q :y =x 2+mx +m +3有两个不同的零点;
②p :-=1;q :y =f(x)是偶函数;
③p :cos α=cos β;q :tan α=tan β;
④p :A∩B=A ;q :∁U B ⊆∁U A.
A .①②
B .②③
C .③④
D .①④
答案 D
解析 ①q :y =x 2+mx +m +3有两个不同的零点⇔q :Δ=m 2-4(m +3)>0⇔q :m<-2或m>6⇔p ;②当f(x)
=0时,由q p ;③若α,β=k π+π2
,k ∈Z 时,显然cos α=cos β,但tan α≠tan β;④p :A∩B=A ⇔p :A ⊆B ⇔q :∁U A ⊇∁U B.故①④符合题意.
探究点三 充要条件的证明
例3 设a ,b ,c 为△ABC 的三边,求证:方程x 2+2ax +b 2=0与x 2+2cx -b 2=0有公共根的充要条件是
∠A =90°.
解题导引 有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,由“条件”⇒“结论”是证明
证明 (1)必要性:设方程x 2+2ax +b 2=0与x 2+2cx -b 2=0有公共根x 0,
则x 20+2ax 0+b 2=0,x 20+2cx 0-b 2=0,
两式相减可得x 0=b 2c -a
,将此式代入x 20+2ax 0+b 2=0, 可得b 2+c 2=a 2,故∠A =90°,
(2)充分性:∵∠A =90°,
∴b 2+c 2=a 2,b 2=a 2-c 2.①
将①代入方程x 2+2ax +b 2=0,
可得x 2+2ax +a 2-c 2=0,
即(x +a -c)(x +a +c)=0.
将①代入方程x 2+2cx -b 2=0,
可得x 2+2cx +c 2-a 2=0,即(x +c -a)(x +c +a)=0.
故两方程有公共根x =-(a +c).
所以方程x 2+2ax +b 2=0与x 2+2cx -b 2=0有公共根的充要条件是∠A =90°.
变式迁移3 已知ab≠0,求证:a +b =1的充要条件是a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0.
证明 (1)必要性:∵a +b =1,∴a +b -1=0.
∴a 3+b 3+ab -a 2-b 2
=(a +b)(a 2-ab +b 2)-(a 2-ab +b 2)
=(a +b -1)(a 2-ab +b 2)=0.
(2)充分性:
∵a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0,
即(a +b -1)(a 2-ab +b 2)=0.
又ab≠0,∴a≠0且b≠0.
∵a 2-ab +b 2=(a -b 2)2+34
b 2>0. ∴a +b -1=0,即a +b =1.
综上可知,当ab≠0时,a +b =1的充要条件是a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0.
转化与化归思想的应用 例 (12分)已知两个关于x 的一元二次方程mx 2-4x +4=0和x 2-4mx +4m 2-4m -5=0,且m ∈Z.求两方
程的根都是整数的充要条件.
【答题模板】
解 ∵mx 2-4x +4=0是一元二次方程,
∴m≠0. [2分]
另一方程为x 2-4mx +4m 2-4m -5=0,两方程都要有实根,
⎧Δ1=-,
解得m ∈[-54
,1]. [6分] ∵两根为整数,故和与积也为整数,
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z
4m ∈Z 4m 2-4m -5∈Z ,∴m 为4的约数, [8分]
∴m =-1或1,当m =-1时,
第一个方程x 2+4x -4=0的根为非整数,
而当m =1时,两方程均为整数根,
∴两方程的根均为整数的充要条件是m =1. [12分]
【突破思维障碍】
本题涉及到参数问题,先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决,两方程有实根易想Δ≥0.求出m 的范围,要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数.
【易错点剖析】
易忽略一元二次方程这个条件隐含着m≠0,不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数.
1.研究
2.在解决充分条件、必要条件等问题时,要给出p 与q 是否可以相互推出的两次判断,同时还要弄清是p 对q 而言,还是q 对p 而言.还要分清否
3.本节体现了转化与化归的数学思想.
(满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018·天津模拟)给出以下四个
①若ab≤0,则a≤0或b≤0;②若a>b ,则am 2>bm 2;③在△ABC 中,若sin A =sin B ,则A =B ;④在一元二次
方程ax 2+bx +c =0中,若b 2-4ac<0,则方程有实数根.其中原
A .①
B .②
C .③
D .④
答案 C
解析 对
2.(2018·浙江)设0<x<π2,则“xsin 2
x<1”是“xsin x<1”的( )
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ∵0<x<π2,∴0<sin x<1.
∴xsin x<1⇒xsin 2x<1,而xsin 2x<1xsin x<1.
故 选B.
3.(2009·北京)“α=π6+2k π(k ∈Z)”是“cos 2α=12”的( )
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由α=π6+2k π(k ∈Z)可得到cos 2α=12.
由cos 2α=12得2α=2k π±π3(k ∈Z).
∴α=k π±π6(k ∈Z).
所以cos 2α=12不一定得到α=π6+2k π(k ∈Z).
4.(2018·威海模拟)关于
A .都真
B .都假
C .否
答案 D
解析 本题考查四种
对于原
5.(2018·枣庄模拟)集合A ={x||x|≤4,x ∈R},B ={x|x<a},则“A ⊆B”是“a>5”的(
) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
答案 B
解析 A ={x|-4≤x≤4},若A ⊆B ,则a>4,a>4a>5,但a>5⇒a>4.故选B.
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.“x 1>0且x 2>0”是“x 1+x 2>0且x 1x 2>0”的________条件.
答案 充要
7.(2018·惠州模拟)已知p :(x -1)(y -2)=0,q :(x -1)2+(y -2)2=0,则p 是q 的
____________条件.
答案 必要不充分
解析 由(x -1)(y -2)=0得x =1或y =2,由(x -1)2+(y -2)2 =0得x =1且y =2,所以由q 能推出p ,
由p 推不出q, 所以填必要不充分条件.
8.已知p(x):x 2+2x -m>0,如果p(1)是假
答案 [3,8)
解析 因为p(1)是假
解得m≥3;又因为p(2)是真
解得m<8.故实数m 的取值范围是3≤m<8.
三、解答题(共38分)
9.(12分)(2018·许昌月考)分别写出下列
(1)若q<1,则方程x 2+2x +q =0有实根;
(2)若ab =0,则a =0或b =0;
(3)若x 2+y 2=0,则x 、y 全为零.
解 (1)逆
否
逆否
(2)逆
否
逆否
(3)逆
否
逆否
10.(12分)设p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0,其中a<0;q :实数x 满足x 2-x -6≤0,或x 2+2x -8>0,且綈p
是綈q 的必要不充分条件,求a 的取值范围.
解 设A ={x|p}={x|x 2-4ax +3a 2<0,a<0}={x|3a<x<a ,a<0},(2分)
B ={x|q}={x|x 2-x -6≤0或x 2+2x -8>0}={x|x 2-x -6≤0}∪{x|x 2+2x -8>0}
={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4或x>2}
={x|x<-4或x≥-2}.(4分)
∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,
∴綈q ⇒綈p ,且綈p 綈q.
则{x|綈q}Ø{x|綈p},(6分)
而{x|綈q}=∁R B ={x|-4≤x<-2},
{x|綈p}=∁R A ={x|x≤3a 或x≥a,a<0},
∴{x|-4≤x<-2}Ø{x|x≤3a 或x≥a,a<0},
(10分)
则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a≥-2,a<0或⎩
⎪⎨⎪⎧
a≤-4,a<0.(11分) 综上,可得-23
≤a<0或x≤-4.(12分) 11.(14分)已知数列{a n }的前n 项和S n =p n +q(p≠0,且p≠1),求证:数列{a n }为等比数列的充要条件为
q =-1.
证明 充分性:当q =-1时,
a 1=S 1=p +q =p -1.(2分)
当n≥2时,a n =S n -S n -1=p n -1(p -1).
当n =1时也成立.(4分)
于是a n +1a n =p n -p n -1-
=p(n ∈N *), 即数列{a n }为等比数列.(6分)
必要性:当n =1时,a 1=S 1=p +q.
当n≥2时,a n =S n -S n -1=p n -1(p -1).
∵p≠0,p≠1,
∴a n +1a n =p n -p n -1-
=p.(10分) ∵{a n }为等比数列,
∴a 2a 1=a n +1a n =p ,即-p +q
=p , 即p -1=p +q.∴q =-1.(13分) 综上所述,q =-1是数列{a n }为等比数列的充要条件.(14分)。