北师大版2019-2020八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题4(培优 附答案)

北师大版2019-2020八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题4（培优附答案）1．如图,正方形网格中的ΔABC,若每个小方格边长都为1,则ΔABC的形状为()
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对
2．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合，若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．小明想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成（A．9厘米，12厘米，15厘米B．7厘米，12厘米，13厘米
C．12 厘米，15厘米，17厘米D．3 厘米，4厘米，7厘米
4．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE，DF，EF，在此运动过程中，下列结论：（1）△DFE是等腰直角三角形；（2）DE长度的最小值为4；（3）四边形CDFE的面积保持不变；（4）△CDE面积的最大值是4．正确的结论是（）
A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（1）（2）（4）D．（2）（3）（4）5．如图矩形ABCD中，AB=3，BC=3，点P是BC边上的动点，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落在点C1处，则点B到点C1的最短距离为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B 点，则最少要爬行（）cm .
A．9 B．14 C．D．
7．下列四组数中，能作为直角三角形三边长的是（）
A．2，3，4 B．1，，C．4，5，6 D．3，4，6
8．在△ABC中，AB BC AC，则（）
A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．∠A＝∠B 9．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P是AC边上的一个动点，当BP长度最小时，PC的长是_______________.
10．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____．
11．已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为自然数），则这个三角形为______，理由是_______．
12．平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），C（﹣1，﹣1），点P 线段AB上一动点，将线段AB 绕原点O 旋转一周，点P 的对应点为P′，则P′C 的最大值为
_____，最小值为_____．
13．在△ABC中，AB=12cm，AC=5cm，BC=13cm，则BC边上的高AD=________cm．14．在半径为的圆中，长度等于的弦所对的圆心角是________度．
15．如图是5×5 方格子（每个小正方格的边长为1 个单位长度），图中阴影部分是正方形，则此正方形的边长为______.
16．如图所示，圆柱体的底面周长为20cm，高为10cm，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为______cm．
17．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8.动点P从点A出发沿A—B—C的方向以每秒2个单位的速度运动.设P的运动时间为t（秒）.
（1）请直接用含t的代数式表示①当点P在AB上时，BP= ；②当点P 在BC上时，BP= ；
（2）求△BPC为等腰三角形的t值.
(备用图)
18．如图，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13.求四边形ABCD的面积．
19．如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰
（取1.732，角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．
结果保留三个有效数字）
20．请在数轴上作出，对应的点.
21．已知在中，，，．
判断的形状，并说明理由；
试在下面的方格纸上补全，使它的顶点都在方格的顶点上每个小方格的边长为
22．如图①，在中，于点，且.
(1)试说明: 是等腰三角形;
(2)已知cm2，如图②，动点从点出发以1 cm/s的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同的速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点运动的时间为ts.
①若的边与平行，求的值;
②若点是边的中点，问:在点运动的过程中，能否成为等腰三角形?若能，求出的值;若不能，请说明理由.
23．如图所示，从锐角三角形ABC的顶点B向对边作垂线BE．其中，，∠EBC=30°，求BC.
24．如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，DE是△ABD的边AB上的高，且DE=4，AD=，
BD=，求△ABC的边AB上的高．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由题意可知ΔABC是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
∵AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，
∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形．故选B.
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断．
2．D
【解析】
试题分析：由翻折的性质可得：△ABD≌△CBD，得出∠ADB=∠CDB=90°，进一步在
Rt△BCD中，利用勾股定理求得BD的长为=4．
故选D
考点：1．翻折变换，2．勾股定理
3．A
【解析】
【分析】
利用勾股定理的逆定理，符合a2+b2=c2条件的三个木棒，就能组成直角三角形.
【详解】
解：设每组木棒的长度分别为a、b、c，令最长的木棒为c，计算每组三个木棒的长的平方，A选项中，92+122=225=152，B、C、D三个选项经过计算均不符合条件，
故选择A.
【点睛】
本题考查了直角三角形勾股定理的逆定理.
4．A
【解析】
【分析】
①连接，根据已知条件由可得，从而可知，即可对结论
(1)(3)作出判断.②当时，的值最小，此时的值最小，的最小值为4，故结论
(2)正确.③当面积最大时，此时的面积最小，此时S△CDE=S四边形CEFD﹣
S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=8，可判断结论(4).
【详解】
解：(1)连接，
∵，，
∴，
∵是边上的中点，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴)，
∴，，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形；
故(1)正确；
(2)∵，
∴当时，的值最小，此时的值最小，的最小值为4，故(2)正确；
(3)∵，
∴，
∴
∴四边形的面积保持不变；
故(3)正确；
(4)当面积最大时，此时的面积最小，
∵，，
∴，
∴，
此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=，
故(4)错误，
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定.解题的关键是连接辅助线构造全等三角形，对于不规则图形的面积，采用割补和等面积转换的方法求解. 5．C
【解析】
【分析】
连接BD，BC1，利用三角形三边关系得出BC1+DC1＞BD，得到当C1在线段BD上时，点B 到点C1的距离最短，然后根据勾股定理计算即可.
【详解】
连接BD，BC1，
在△C′BD中，BC1+DC1＞BD，
由折叠的性质可知，C1D=CD=3，
∴当C1在线段BD上时，点B到点C1的距离最短，
在Rt△BCD中，BD==6，
此时BC1=6﹣3=3，
故选：C．
【点睛】
本题考查了翻转变换的性质，解题的关键是熟练掌握：折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等.
6．C
【解析】分析: 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
详解:将圆柱展开，侧面为矩形，如图所示：
∵底面⊙O的周长为10cm，
∴AC=5cm，
∵高BC=4cm，
∴AB==cm．
故选C．
点睛:此题考查了圆柱的平面展开---最短路径问题，将圆柱展成矩形，求对角线的长即为最短路径
7．B
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可.
【详解】
A、22+32=13≠42,此组数据不能作为直角三角形的三边长,故本选项错误
B、12+（）2=（）2, 此组数据能作为直角三角形的三边长,故本选项正确
C、42+52=41≠62,此组数据不能作为直角三角形的三边长,故本选项错误
D、32+42=25≠62, ,此组数据不能作为直角三角形的三边长,故本选项错误
故选：B
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理,熟知如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.
8．A
【解析】
试题解析：∵在△ABC中，，
222
+=5=
∴222
AB AC BC
+=
∴∠A=90°
故选A.
9．
【解析】
【分析】
作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°，由等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，当BP⊥AC 时，BP最小；由△ABC的面积的计算方法求出BP的最小值，再由勾股定理求出PC即可．【详解】
作AD⊥BC于D，如图所示：
则∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=BC=6，
由勾股定理得：AD===8，
当BP⊥AC时，BP最小，
此时，∠BPC=90°，
∵△ABC的面积=AC•BP=BC•AD，
即×10×BP=×12×8，
解得：BP=，
∴PC==；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、垂线段最短、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由三角形面积的计算方法求出BP的最小值是解决问题的关键．
10．
【解析】
【分析】
先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【详解】
如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF==
∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
11．直角三角形勾股定理的逆定理
【解析】(3k)2+(4k)2=(5k)2，由勾股定理逆定理可得此三角形是直角三角形.
故答案为(1). 直角三角形；(2). 勾股定理的逆定理.
12．4+ 2.4﹣
【解析】
【分析】
根据题意知线段AB的运动轨迹是圆环，内圆半径为O到AB的距离2.4、外圆半径为4，作直线OC，交外圆于点P1、交线段AB于P2，则P1′C即为最大长度、P2′C即为最小长度，据此求解可得．
【详解】
如图所示，线段AB的运动轨迹是圆环，内圆半径为3、外圆半径为4，
作直线OC，交内圆于点P1、交外圆于P2，
则P1C即为最小长度、P2C即为最大长度，
∵OP1=2.4、OP2=4且OC=，
∴P1C=2.4-、P2C=4+，
故答案为：4+、2.4-．
【点睛】
本题主要考查坐标与图形的变化−旋转，解题的关键是根据题意得出线段AB的运动轨迹及点CP′去的最值时的位置．
13．60 13
【解析】因为222
525,12144,13169===,所以222AC AB BC +=,根据勾股定理的逆定理可得: △ABC 是为BC 为斜边的直角三角形,根据等面积法可得: 11
22
AC AB BC AD ⨯=⨯,所以512601313AC AB AD BC ⨯⨯===
,故答案为: 60
13
. 14．90 【解析】 【分析】 AB =
，OA =OB =1，则AB 2=OA 2+OB 2，根据勾股定理的逆定理得到△AOB 为直角三角形，
且∠AOB =90°． 【详解】 如图，
在⊙O 中，AB = ，OA =OB =1，
∴AB 2=OA 2+OB 2，
∴△AOB 为直角三角形，且∠AOB =90°， 即长度等于
的弦所对的圆心角是90°．
故答案为：90． 【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是
直角三角形，在一个三角形中，即如果用a ，b ，c 表示三角形的三条边，如果a 2+b 2=c 2
，那
么这个三角形是直角三角形. 15．
【解析】 【分析】
根据每一个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，再根据勾股定理，列出算式，即可得出答案． 【详解】
根据题意得：
阴影正方形的边长是：.
故答案为．
【点睛】
此题考查了算术平方根，用到的知识点是算术平方根的求法和勾股定理，关键是根据勾股定理列出算式．
16．
【解析】
【分析】
将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
如图所示：
由于圆柱体的底面周长为20cm，
则AD=20×=10cm．
又因为CD=AB=10cm，
所以AC=cm．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是cm．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平面展开---最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
17．（1）10-2t，2t-10；（2）t=2.5或2或1.4．
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理求出AB的长，①当点P在AB上时，BP= AB-AP，②当点P在BC上时，BP=2t－AB，即可得出结论；
（2）分三种情况讨论：①作BC的垂直平分线交AB于点P，交BC于点E．连接PC，则△BPC 是等腰三角形；②以B为圆心，BC为半径作弧与AB交于点P．连接PC，则△BPC是等腰三角形；③以C为圆心，BC为半径作弧与AB交于点P．过C作CD⊥AB于D，连接PC，则△BPC是等腰三角形．分别计算即可．
【详解】
（1）①∵∠C=90°，BC=6，AC=8，∴AB==10，BP=AB-AP=10－2t；
②BP=2t－AB=2t－10；
（2）分三种情况讨论：①如图1，作BC的垂直平分线交AB于点P，交BC于点E．连接PC，则△BPC是等腰三角形．
∵∠C=90°，∴PE∥AC．
∵BE=EC，∴AP=PB=AB=5，∴t=5÷2=2.5；
②如图2，以B为圆心，BC为半径作弧与AB交于点P．连接PC，则△BPC是等腰三角形．∵PB=BC=6，∴AP=AB－BP=10－6=4，t=4÷2=2；
③如图3，以C为圆心，BC为半径作弧与AB交于点P．过C作CD⊥AB于D，连接PC，则△BPC是等腰三角形．
∵AC•BC=AB•CD，∴CD==4.8，∴BD==3.6．
∵∵PC=BC=6，∴PD=BD=3.6，∴AP=AB－BP=10－7.2=2.8，t=2.8÷2=1.4．
综上所述：t=2.5或2或1.4．
【点睛】
本题是三角形综合题．考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质．解题的关键是分类讨论．18．36.
【解析】试题分析：连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，
根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
试题解析：解：连接AC．如图所示：
∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形．又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：
AC==5．又∵CD=12，AD=13，∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，则S四边形
=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•CD=×3×4+×5×12=36．
ABCD
故四边形ABCD的面积是36．
点睛：此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
19．树高AB约为18.7米．
【解析】
试题分析：利用勾股定理计算AE长度，再计算AB.
试题解析：
过点D作DE⊥AB于点E，则ED＝BC＝30米，EB＝DC＝1.4米．
设AE＝x米，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，则AD＝2x．
由勾股定理得：AE2＋ED2＝AD2，即x2＋302＝（2x）2，
解得x＝10≈17.32．
∴AB＝AE＋EB≈17.32＋1.4≈18.7（米）．
答：树高AB约为18.7米．
20．见解析
【解析】
【分析】
过数轴上表示2的点C作数轴的垂线，然后以C为圆心，1个单位为半径画弧，交垂线于A 点，连接OA，在直角三角形OAC中，由OC=2，AC=1，利用勾股定理得到OA为,故以
O为圆心，OA长为半径画弧，与数轴交于点B，点B即可对应的点；
同理可以表示出对应的点.
【详解】
如图所示，其中点B所表示的数即为；点F所表示的数即为
【点睛】
本题考查了勾股定理,以及尺规作图,解题的关键是构造勾股数1,2,以及,并且利用了转化的思想,技巧性较强,学生要掌握其作图的方法.
21．2017
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形；
（2）AB为直角边长为1，2的直角三角形的斜边，BC为直角边长为3，4的直角三角形的斜边；AC为直角边长为4，2的直角三角形的斜边，依次画出相应图形即可．
【详解】
解:∵a＝＋1,
∴a－1＝,
∴(a－1)2＝2,
即a2－2a＝1,
∴原式＝a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016＝a＋1－a＋2016＝2017.
(1)在△ABC中,∵AB=,AC=2，BC=5，
∴AB2+AC2=5+20=25=BC2，
∴△ABC为直角三角形.
(2)如图所示：
故答案为：直角三角形。

【点睛】
本题考查根据三边判断三角形的形状和画三角形，解题的关键是利用勾股定理. 22．(1) 详见解析；(2) ①的值为5或6；②能成为等腰三角形，符合要求的的值为9或10或
【解析】
试题分析：（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM＝AN；当DN∥BC 时，AD＝AN；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE＝DM；如果ED＝EM；如果MD＝ME＝t－4；分别得出方程，解方程即可．
试题解析：
（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，
在Rt△ACD中，AC＝＝5x，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，
∴x＝2cm，
则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．
①当MN∥BC时，AM＝AN，
即10－t＝t，
∴t＝5；
当DN∥BC时，AD＝AN，
得：t＝6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．
②当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；
当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形，
当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE＝DM，则t－4＝5，
∴t＝9；
如果ED＝EM，则点M运动到点A，
∴t＝10；
如果MD＝ME＝t－4，
过点E做EF垂直AB于F，
因为ED＝EA，
所以DF＝AF＝AD＝3，
在Rt△AEF中，EF＝4；
因为BM＝t，BF＝7，
所以FM＝t－7，
则在Rt△EFM中，（t－4）2－（t－7）2＝42，
∴t＝．
综上所述，符合要求的t值为9或10或．
点睛：本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．
23．8.
【解析】试题分析：
由已知在△ABE中由勾股定理易得BE的长，这样在Rt△BEC中，由∠EBC=30°结合勾股定理即可解得BC的长.
试题解析：
∵BE⊥AC于点E，
∴∠AEB=∠BEC=90°，
∵在直角△AEB中，AE=3，AB=5，
∴BE=，
∵∠BEC=90°，∠EBC=30°，
∴BC=2CE，
∵BC2=CE2+BE2，
∴3CE2=BE2=48，
∴CE=4，BC=8．
24．h=4.8
【解析】试题分析：在中，由勾股定理求出的长度，在中，由勾股定理求出的长度，进而求出的长度，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，用等面积法求解即可.
,
试题解析：∵DE是AB边上的高
在中, Array
由勾股定理，得
同理：在中
由勾股定理得：
在中，由
得：
∴是直角三角形,
设的AB边上的高为h,
则,
即：。