矩量法求解电磁散射

目录
第1章格林函数 (1)
1.1位函数 (1)
1.2自由空间格林函数 (2)
1.2.1 二维情况 (2)
1.2.2 三维情况 (3)
1.3半空间格林函数 (4)
第2章无限长柱散射－CFIE (1)
2.1理想导体柱散射－TM Z极化 (1)
2.2理想导体柱散射－TE Z极化 (3)
2.3均匀介质柱散射－TM Z极化 (5)
2.4均匀介质柱散射－TE Z极化 (8)
第3章理想导体目标散射－CFIE (12)
3.1表面积分方程 (12)
3.2线性方程组 (12)
3.2.1 RWG基函数和试函数 (12)
3.2.2 矩阵元素计算 (13)
3.2.3 奇异性处理 (16)
3.3计算散射场 (17)
3.4振荡核在平面多边形上的积分 (19)
3.5数值算例 (21)
第4章均匀介质目标散射－PMCHWT (23)
4.1表面积分方程 (23)
4.2线性方程组 (24)
4.2.1 矩阵元素计算 (24)
4.2.2 奇异性处理 (25)
4.3计算散射场 (25)
4.4数值算例 (26)
第5章非均匀介质目标散射－VIE (27)
5.1体积分方程 (27)
第6章快速多极子 (28)
6.1引言 (28)
6.2快速多极子 (29)
6.3树型结构 (31)
6.4球谐函数 (32)
6.5多层快速多极子 (33)
I
II
第1章格林函数
1.1 位函数
对于时谐场，将麦克斯韦方程分为只有电型源和只有磁型源的两部分
▽×E e = − jωμH e▽×E m = −J m− jωμH m
▽×H e = J e + jωεE e▽×H m = jωεE m
▽∙ D e = q e▽∙ D m = 0
▽∙ B e = 0 ▽∙ B m = q m
其中E表示电场，H表示磁场，D表示电通量，B表示磁通量，J e表示电流，J m表示磁流。

由于▽∙ B e = 0，无散场可以用矢量的旋度表示，引入矢量位A，使得B e = ▽×A，可以得到▽×E e = − jωμH e = − jωB e = − jω▽×A，因此▽× (E e + jωA) = 0。

无旋场可以用标量的梯度表示，引入标量位φe，则E e + jωA= − ▽φe，因此
E e = − jωA−▽φe(1.1.1) 于是▽×H e = J e + jωεE e = J e + jωε(− jωA− ▽φe)，将▽×H e = μ-1▽× (▽×A) = μ-1[▽(▽∙ A) −▽2A]代入，整理得
▽2A + k2A= − μJ e + ▽(▽∙A + jωμεφe) (1.1.2) 不妨令▽∙ A + jωμεφe = 0 (Lorentz Gauge Condition)，于是有
▽2A + k2A= − μJ e
E e= − jωA− j(ωμε)-1▽(▽∙ A)
H e = μ-1▽×A
上述方程中，E e和H e可以理解为由矢量位A辐射的电场和磁场。

由于▽∙ D m = 0，无散场可以用矢量的旋度表示，引入矢量位F，使得D m= − ▽×F，可以得到▽×H m = jωεE m = jωD m = − jω▽×F，因此▽× (H m + jωF) = 0。

无旋场可以用标量的梯度表示，引入标量位φm，则H m + jωF= − ▽φm，因此
H m = − jωF−▽φm(1.1.3) 于是▽×E m= −J m− jωμH m= − J m− jωμ(− jωF− ▽φm)，将▽×E m = −ε-1▽× (▽×F) = −ε-1[▽(▽∙ F) −▽2F]代入，整理得
▽2F + k2F= − εJ m + ▽(▽∙F + jωμεφm) (1.1.4) 令▽∙ F + jωμεφm = 0 (Gauge Condition)，于是有
▽2F + k2F= − εJ m
H m= − jωF− j(ωμε)-1▽(▽∙ F)
E m= − ε-1▽×F
上述方程中，E m和H m可以理解为由矢量位F辐射的电场和磁场。

1
2 由于时谐场是线性的，因此对于既有电型源也有磁型源的时谐场，可以将上述的结论叠加得到。

于是有
▽2A + k 2A = − μJ e (1.1.5) ▽2F + k 2F = − εJ m
(1.1.6) E = − j ωA − j(ωμε)-1▽(▽∙ A ) − ε-1▽× F (1.1.7) H = − j ωF − j(ωμε)-1▽(▽∙ F ) + μ-1▽× A
(1.1.8)
上述方程中，E 和H 可以理解为由矢量位A 和F 共同辐射的电场和磁场。

可见，只要能够表
示矢量位，就能够求出空间任意一点的场量。

1.2 自由空间格林函数
在自由空间中，矢量位A 满足方程▽2A + k 2A = − μJ e ，矢量位F 满足方程▽2F + k 2F = − εJ m 。

因此，可以将A 和F 分别理解为源J e 和源J m 产生的场。

不妨设自由空间中点源产生的场为g (r )，r 为观察点到点源的距离，则g (r )满足方程
(▽2 + k 2)g (r ) = − δ(r )
(1.2.1) 于是矢量位A 和F 可以用g (r )表示为
()()()''e v
g r dv μ=⎰⎰⎰A r J r
(1.2.2) ()()()''m v
g r dv ε=⎰⎰⎰F r J r
(1.2.3)
在这里，G (r )被称为格林函数，即点源产生的场。

由于r = |r − r '|，r 为观察点矢量，r '为源点矢量，因此，G (r )也常常写为G (r , r ')。

上述结论也可以用数学公式描述。

对于矢量波动方程▽2A + k 2A = − μJ e ，可以写成标量形式
▽2A x + k 2A x = − μJ ex
(1.2.4)
令()()(),'''x ex v
A G J dv μ=⎰⎰⎰r r r r ，其中G (r , r ')为格林函数。

将A x (r )代入方程
()()()()()22
,',''''''ex ex v
v
G k G J dv J dv μμδ⎡⎤∇+=--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r r r r r r r (1.2.5)
从而整理得到
▽2G(r , r ') + k 2G(r , r ') = − δ(r − r ')
(1.2.6)
对于点源，格林函数与方向无关，则G(r , r ') = G(r )。

1.2.1 二维情况
对于二维形式，在柱坐标系中将▽2G(r )展开，得
()222
222
11G G G
G r ρρρρϕ
∂∂∂∇=++∂∂∂ (1.2.7)
3
由于格林函数与角度无关，因此()22
21G G
G r ρρρ
∂∂∇=+∂∂，代入原方程得
222
10G G k G ρρρ
∂∂++=∂∂ (1.2.8)
它有两个通解，分别为C H 0(1)(kr '')和C H 0(2)(kr '')，根据物理意义，得到格林函数的解为G = C H 0(2)(kr )。

为了确定系数C ，我们对一个半径无限小的柱作积分
()()()2
2
,0,001s
s
G r k G r ds ds δ⎡⎤∇+=--=-⎣⎦⎰⎰⎰⎰r
(1.2.9)
对于左边第一项，有
()
()222000lim sin 4s
C
C dG d Gds G d dl CH k d jC dr d πεεϕϕε
→∇=
∇⋅=
==-⎰⎰
⎰
⎰⎰l (1.2.10)
对于左边第二项，有
()
()2200
0lim 0s
Gds CH k d d π
ε
ερρρϕ→==⎰⎰
⎰
⎰
(1.2.11)
因此，1
4j
C =-
，二维标量格林函数为 ()()
201,''4j
G H =-
-r r ρρ (1.2.12)
二维形式的格林函数表示位于r '处点源产生的柱面波。

对于二维拉普拉斯方程，格林函数为
()()1
,'ln '2G π
=
-r r ρρ (1.2.13)
具体推导这里就不详细介绍。

1.2.2 三维情况
对于三维形式，在球坐标系中将▽2G(r )展开，得
()22
22222
111sin sin sin G G G
G r r r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∇=++
⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ (1.2.14)
由于格林函数与角度无关，因此()222
1G G r r r r r ∂∂⎛⎫
∇=
⎪∂∂⎝⎭
，代入原方程得 22
210G r k G r r r ∂∂⎛⎫+= ⎪∂∂⎝⎭
(1.2.15)
经过整理后，有
()
220rG k rG r
∂+=∂，它有两个通解，分别为Ce j kr 和Ce -j kr ，根据物理意义，得到格林函数的解为G = Ce -j kr 。

为了确定系数C ，我们对一个半径无限小的球作积分
4 ()()()2
2
''
,0,001v
v G r k G r dv dv δ⎡⎤∇+=--=-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰r
(1.2.16)
对于左边第一项，有
()22
2000lim 1sin 4jk v S S dG
Ce Gdv G d ds jk d d C dr ε
ππεεθθϕπε
-→∇=∇⋅==--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰s (1.2.17) 对于左边第二项，有
22
0lim sin 0jkr v
Ce Gdv r drd d r
ππε
ε
θθϕ-→==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.2.18)
因此，1
4C π
=
，三维标量格林函数为 ()'
,'4'
jk e
G π--=
-r r r r r r (1.2.19)
三维形式的格林函数表示位于r '处点源产生的球面波。

对于三维拉普拉斯方程，格林函数为
()1
,'4'
G π=
-r r r r
(1.2.20)
具体推导这里就不详细介绍。

1.3 半空间格林函数
1
第2章 无限长柱散射－CFIE
2.1 理想导体柱散射－TM z 极化
根据等效原理
()ˆ0inc sca ⨯+=-=n
E E M (2.1.1)
于是
()ˆˆˆˆinc sca j
j ωωμε
⨯=-⨯=⨯+⨯∇∇⋅n
E n E n A n
A (2.1.2)
TM z 极化波入射时，电场E inc (x , y )只有z 分量，磁矢量位A (x , y )只有z 分量，且
0y x z
A A A x y z
∂∂∂∇⋅=
++=∂∂∂A ，则ˆˆˆˆinc z z z z E j A ω⨯=⨯n
a n a ，于是 ()(),''inc z z z v
E j A jk G J dv ωη==⎰r r r
(2.1.3)
由于无限长圆柱是二维问题，任何变量均不是z 方向上的函数，引入二维自由空间格林函数
()()
()201,''4G H k j
=
-r r r r ，可使体积分转变为对横截面的积分 ()()
()20''4
inc z z s k E J H k ds η=
-⎰r r r (2.1.4)
由于PEC 目标只在外表面存在电流，则对横截面的积分可变为对横截面外围的线积分，方程如下
()()()20''4
inc z z c k E J H k dl η=
-⎰r r r (2.1.5)
其中
'-=
r r
用基函数将电流展开
()1'N
z n n n J j B ==∑r
(2.1.6)
代入积分方程得到
()()201'4N inc
z
n n c
n k E
j B H k dl η==-∑⎰r r (2.1.7)
其中B n 表示基函数。

用测试函数对方程进行测试
()
()201
''4m m n
N inc m z
n m n c c c n k T E dl j T B H k dl dl η==-∑⎰⎰⎰r r (2.1.8)
2 其中T n 表示测试函数。

基函数选择脉冲函数，测试函数选择Delta 函数，因此，方程可以表示为
()()2014n
N inc z
n m n n c n k E
j H k dl η==-∑⎰r r (2.1.9)
进一步写成方程组的形式为
()()()1112
111212222212
inc N z inc N z inc N N NN N z N z z z j E c z z z j E c z z z j E c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣
⎦ (2.1.10)
其中
()e m j inc z m z E c E -=kr
(2.1.11) ()
()204n
mn m n n c k z H k dl η=
-⎰r r
(2.1.12)
对于积分()
()204
n mn m n n C k z H k dl η=
-⎰r r ，当计算对角线阻抗元素时，积分存在奇异点，此时需要进行奇异性处理。

当自变量很小时，零阶Hankel 函数可以近似表示为
()
()()22240
2111ln ln 42222x x x H x j x O x γγπππ⎧⎫
⎡⎤⎛⎫⎛⎫≈--+-+⎨⎬ ⎪ ⎪⎢
⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭
(2.1.13)
取主值部分(
)
()20
2
1ln 2x H x j
γπ⎛⎫
≈- ⎪⎝⎭，带入自作用积分项，得 21ln 14m mm m kw z w j γπ⎧⎫
⎡⎤⎛⎫≈--⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩
⎭
(2.1.14)
其中，w m 为第m 条边的边长，γ = 1.781072418…。

计算半径为1 m 的理想导体圆柱，入射角度为0°，TM z 极化，未知量为360，用矩量法计算的双站RCS 与Mie 级数解比较如下：
03691215
30
60
90120150180
Angle (deg)
S c a t t e r i n g W i d t h (d B )
Mie MoM
3
(a)
05101520
30
60
90120150180
Angle (deg)
S c a t t e r i n g W i d t h (d B )
Mie MoM
(b)
图2-1 理想导体圆柱对TM z 极化波的散射：(a) f = 100 MHz ；(b) f = 1 GHz
2.2 理想导体柱散射－TE z 极化
根据等效原理
()ˆinc sca ⨯+=n
H H J (2.2.1)
于是
()()1
ˆˆˆinc sca μ
⨯=-⨯=-⨯∇⨯n
H J n H J n
A r r (2.2.2)
TM z 极化波入射时，电场H inc (x , y )只有z 分量，J (x , y )只有t 分量，于是
()()()ˆˆˆˆˆ,''inc z z t t t z v
H J G J dv ⨯=-⨯∇⨯⎰n
a a r n r r a r (2.2.3)
将ˆˆˆ⨯=n
z t 代入方程，得 ()()()ˆˆˆˆ,''inc z t z v
H J G J dv =-⨯∇⨯⎰t
t r n r r t r (2.2.4)
由于无限长圆柱是二维问题，任何变量均不是z 方向上的函数，引入二维自由空间格林函数
()()
()201,''4G H k j
=
-r r r r ，可使体积分转变为对横截面的积分，得 ()()
()()()21ˆˆˆˆˆ''4inc z t z s
k H J H k J ds j =-⨯⨯-⎰t t r n r t
r r r (2.2.5)
根据矢量恒等式A ×(B ×C ) = (A ·C )B – (A ·B )C ，得
4
()()()
()()21ˆˆ''4inc z t z s k H J H k J ds j
=+
⋅-⎰r n r r r r (2.2.6)
由于PEC 目标只在外表面存在电流，则对横截面的积分可变为对横界面外围的线积分，方程如下
()()()()()21ˆˆ''4inc z t z c k H J H k J dl j
=+
⋅-⎰r n r r r r (2.2.7)
其中
'-=
r r
由于()()()
()()21,1ˆˆlim
''42n n t t c x x y y k J H k dl J j →→⋅-=-⎰r n r r r r ，因此，积分方程可表示为主值积分
()()()
()()0211ˆˆ''24inc z t z c c k H J H k J dl j
-=
+⋅-⎰r n r r r r (2.2.8)
用基函数将电流展开
()1'N
t n n n J j B ==∑r
(2.2.9)
代入积分方程得到
()()()
()0
2111ˆˆ'24N inc
z
t n n c c n k H
J j B H k dl j -==+⋅-∑⎰r n r r r
(2.2.10)
其中B n 表示基函数。

用测试函数对方程进行测试
()()()
()0
2111ˆˆ'24m
m n N inc
z
t n m n mn mn c c c c n k H dl J j T B H kr dl dl j -==+⋅∑⎰⎰⎰r n r (2.2.11)
其中T n 表示测试函数。

由于基函数选择脉冲函数，测试函数选择Delta 函数，因此，方程可以表示为
()()()()0
2111ˆˆ'24n N
inc z
t n mn mn c c n k H
J j H kr dl j -==+⋅∑⎰r n r (2.2.12)
进一步写成方程组的形式为
()()()11
12
11121
222221
2
inc N z inc N z
inc N N NN N z N z z z j H c z z z j H c z z z j H c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ (2.2.13)
其中
()0e m j inc z m H c H -⋅=k r
(2.2.14)
5
()()()2112ˆˆ'4n
mn
mn mn c m n z k H kr dl m n j ⎧
=⎪⎪
=⎨
⎪⋅≠⎪⎩⎰n r (2.2.15)
计算半径为1 m 的理想导体圆柱，入射角度为0°，TE z 极化，未知量为360，用矩量法计算的双站RCS 与Mie 级数解比较如下：
02468
30
60
90120150180
Angle (deg)
S c a t t e r i n g W i d t h (d B )
Mie
MoM
(a)
-10
-505101520
30
60
90120150180
Angle (deg)
S c a t t e r i n g W i d t h (d B )
Mie MoM
(b)
图2-2 理想导体圆柱对TE z 极化波的散射：(a) f = 100 MHz ；(b) f = 1 GHz
2.3 均匀介质柱散射－TM z 极化
根据等效原理
()ˆinc sca ⨯+=-n
E E M (2.3.1)
6
于是
()1
ˆˆˆˆˆinc sca j
j ωωμε
ε
⨯=--⨯=-+⨯+⨯∇∇⋅+⨯∇⨯n
E M n E M n A n
A n F (2.3.2)
TM z 极化波入射时，电场E inc (x , y )只有z 分量，磁矢量位A (x , y )只有z 分量，且
0y x z
A A A x y z
∂∂∂∇⋅=
++=∂∂∂A ，于是 ()()()()ˆˆˆˆˆˆˆ,''','''inc z t z t v
v
E M jk G J dv G M dv η⨯=-+⨯+⨯∇⨯⎰⎰n
z t n z r r r n r r t r (2.3.3) 由于无限长圆柱是二维问题，任何变量均不是z 方向上的函数，引入二维自由空间格林函数
()()
()201,''4G H k j
=
-r r r r ，可使体积分转变为对横截面的积分 ()()()()
()()()2201ˆˆˆˆˆˆˆˆ''''''44inc z t z t s s k k E M H k J ds H k M ds j
η⨯=-+⨯-+⨯⨯-⎰⎰n z t n z r r r n r t r r r (2.3.4)
根据矢量恒等式A ×(B ×C ) = (A ·C )B – (A ·B )C ，得
()
()()()()()()2201ˆˆ''''''44inc z t z t s s
k k E M H k J ds H k M ds j η=-+
--⋅-⎰⎰r r r n r r r r (2.3.5) 假定，在物体外表面产生等效电流J 和磁流M ，物体内表面产生等效电流– J 和磁流– M 。

对于外表面的等效电流和磁流，理解为将整个物体对自由空间的作用等效；对于内表面的等效电流和磁流，理解为将整个自由空间及入射平面波的作用等效。

因此，根据边界条件，得到方程
()
()()()()
()()2200
001ˆˆ''''''44inc z t z t s
s k k E M H k J ds H k M ds j
η=-+
--
⋅-⎰
⎰r r r n r r r r (2.3.6) ()()()()()()()2201ˆˆ0''''''4
4d d d
t z t s
s
k k M H k J ds H k M ds j η=+
--
⋅-⎰
⎰r r r n r r r r (2.3.7) 在推导内表面方程的时候注意法线要改变方向。

由于采用的是面等效电流和磁流，电流和磁流只存在于外表面，则对横截面的积分可变为对横界面外围的线积分，方程如下
()()()()()
()()2200
001ˆˆ''''''44inc z t z t c
c k k E M H k J dl H k M dl j
η=-+
--
⋅-⎰
⎰r r r n r r r r (2.3.8) ()()()()()()()2201
ˆˆ0''''''4
4d d d t z t c
c
k k M H k J dl H k M dl j η=+
--
⋅-⎰
⎰r r r n r r r r (2.3.9) 其中
'-=
r r
计算半径为1 m 的均匀介质圆柱，相对介电常数为4，相对磁导率为1，入射角度为0°，
7
TM z 极化，未知量为720，用矩量法计算的双站RCS 与Mie 级数解比较如下：
-10
-505101520
30
60
90120150180
Angle (deg)
S c a t t e r i n g W i d t h (d B )
Mie MoM
(a)
-15
-551525
30
60
90120150180
Angle (deg)
S c a t t e r i n g W i d t h (d B )
Mie MoM
(b)
图2-3 均匀介质圆柱对TM z 极化波的散射：(a) f = 100 MHz ；(b) f = 1 GHz
计算半径为1 m 的均匀介质圆柱，相对介电常数为4 − j ，相对磁导率为1，入射角度为0°，TM z 极化，未知量为720，用矩量法计算的双站RCS 与Mie 级数解比较如下：
8
-20
-1001020
30
60
90120150180
Angle (deg)
S c a t t e r i n g W i d t h (d B )
Mie MoM
(a)
-505101520
30
60
90120150180
Angle (deg)S c a t t e r i n g W i d t h (d B )
Mie MoM
(b)
图2-4 均匀介质圆柱对TM z 极化波的散射：(a) f = 100 MHz ；(b) f = 1 GHz
2.4 均匀介质柱散射－TE z 极化
根据等效原理
()ˆinc sca ⨯+=n
H H J (2.4.1)
于是
()1
ˆˆˆˆˆinc sca j
j ωωμε
μ
⨯=-⨯=+⨯+⨯∇∇⋅-⨯∇⨯n
H J n H J n F n
F n
A (2.4.2) TE z 极化波入射时，磁场H inc (x , y )只有z 分量，电矢量位F (x , y )只有z 分量，且
0y x z
F F F x y z
∂∂∂∇⋅=
++=∂∂∂F ，于是
9
()()()()ˆˆˆˆˆˆˆ,''','''inc z t z t v v
k H J j G M dv G J dv η
⨯=+⨯-⨯∇⨯⎰⎰n
z t n z r r r n r r t r (2.4.3)
由于无限长圆柱是二维问题，任何变量均不是z 方向上的函数，引入二维自由空间格林函数
()()
()201,''4G H k j
=
-r r r r ，可使体积分转变为对横截面的积分 ()()()()
()()()2201ˆˆˆˆˆˆˆˆ''''''44inc z t z t s s k k H J H k M ds H k J ds j
η⨯=+⨯--⨯⨯-⎰⎰n
z t n z r r r n r t r r r (2.4.4) 根据矢量恒等式A ×(B ×C ) = (A ·C )B – (A ·B )C ，得
()()()()()
()()2201ˆˆ''''''44inc z t z t s s k k H J H k M ds H k J ds j
η=+
-+⋅-⎰⎰r r r n r r r r (2.4.5) 假定，在物体外表面产生等效电流J 和磁流M ，物体内表面产生等效电流– J 和磁流– M 。

对于外表面的等效电流和磁流，理解为将整个物体对自由空间的作用等效；对于内表面的等效电流和磁流，理解为将整个自由空间及入射平面波的作用等效。

因此，根据边界条件，得到方程
(
)
()()()()()()22
1
0ˆˆ''''''44inc z t z
t
s
s
k k
H J H k M ds H k J ds j η=+
-+⋅-⎰⎰r r r n
r r r r (2.4.6) ()
()()()()()()22
1
ˆˆ0''''''44d d
t z
t
s
s
d
k k
J H k M ds H k J ds j η=-+
-+⋅-⎰
⎰r r r n
r r r r (2.4.7) 在推导内表面方程的时候注意法线要改变方向。

由于采用的是面等效电流和磁流，电流和磁流只存在于外表面，则对横截面的积分可变为对横界面外围的线积分，方程如下
(
)
()()()()()()22
1
0ˆˆ''''''44inc z t z
t
c
c
k k
H J H k M dl H k J dl j η=+
-+⋅-⎰⎰r r r n
r r r r (2.4.8) ()
()()()()
()()220
1ˆˆ0''''''44d d t z t c
c d
k k J H k M dl H k J dl j
η=-+
-+
⋅-⎰
⎰r r r n r r r r (2.4.9) 其中
'-=
r r
计算半径为1 m 的均匀介质圆柱，相对介电常数为4，相对磁导率为1，入射角度为0°，TE z 极化，未知量为720，用矩量法计算的双站RCS 与Mie 级数解比较如下：
10 -10
-505100
30
60
90120150180
Angle (deg)
S c a t t e r i n g W i d t h (d B )
Mie MoM
(a)
-15
-551525
30
60
90120150180
Angle (deg)
S c a t t e r i n g W i d t h (d B )
Mie MoM
(b)
图2-5 均匀介质圆柱对TE z 极化波的散射：(a) f = 100 MHz ；(b) f = 1 GHz
计算半径为1 m 的均匀介质圆柱，相对介电常数为4 − j ，相对磁导率为1，入射角度为0°，TE z 极化，未知量为720，用矩量法计算的双站RCS 与Mie 级数解比较如下：
11
-20
-15-10-505100
30
60
90120150180
Angle (deg)
S c a t t e r i n g W i d t h (d B )
Mie MoM
(a)
-30
-20-1001020
30
60
90120150180
Angle (deg)S c a t t e r i n g W i d t h (d B )
Mie MoM
(b)
图2-6 均匀介质圆柱对TE z 极化波的散射：(a) f = 100 MHz ；(b) f = 1 GHz
12 第3章 理想导体目标散射－CFIE
3.1 表面积分方程
根据面等效原理，理想导体目标的表面存在等效电流，不存在等效磁流，其散射场的表达式可以表示为
()()2,'''sca e s jk G ds k η∇∇⎛
⎫=-+⋅ ⎪⎝
⎭⎰⎰E I r r J r
(3.1.1) ()(),'''sca e s
G ds =∇⨯⎰⎰H r r J r
(3.1.2)
在导体表面存在关系
()ˆ0inc sca ⨯+=n
E E (3.1.3) ()ˆinc sca e ⨯+=n
H H J
(3.1.4)
则可以推出电场积分方程(EFIE)和磁场积分方程(MFIE)为
()()2,'''inc e s jk G ds k η∇∇⎛
⎫=+⋅ ⎪⎝
⎭⎰⎰E I r r J r
(3.1.5) ()()()0
1
ˆˆ','''2
inc e e s s G ds -⨯=-⨯∇⨯⎰⎰n
H J r n r r J r
(3.1.6)
其中E inc 和H inc 为入射电场和入射磁场，η为波阻抗，k 为波数，G (r , r ’)为自由空间Green 格林函数，s 0表示自作用积分区域。

EFIE 能够精确分析任意目标的散射问题，MFIE 只能分析闭合目标的散射问题。

而且，EFIE 和MFIE 都会遇到内谐振现象，即在某些频率点，EFIE 和MFIE 形成的阻抗矩阵奇异或条件数非常大，从而导致电流存在伪解。

通常情况下，EFIE 和MFIE 的谐振频率不同，因此，为了避免谐振现象，可以引入混合场积分方程(CFIE)
()CFIE EFIE 1MFIE α
αη
=
+- (3.1.7)
CFIE 可以真正地消除内谐振现象。

一般情况下，由于MFIE 只能分析闭合目标，因此，CFIE 也只能分析闭合目标。

3.2 线性方程组
3.2.1 RWG 基函数和试函数
当采用矩量法分析理想导体目标的表面积分方程时，对于任意形状物体，其表面均可以
13
采用平面三角形贴片来模拟，表面的电流则采用平面RWG 基函数，其数学表达式为
()220n n n n n n n
n n l T A l T A others
+++-
--⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩
ρr Λr ρr
(3.2.1)
其中，A n ±表示相应三角形的面积，l n 为边长，各符号定义如下图。

图3-1 平面RWG 基函数示意图
RWG 基函数具有两个重要特性。

第一个特性是棱边法向分量的连续性，它保证了电流横跨公共边时的连续；第二个特性是两个三角形的基函数散度大小相等、符号相反，该特性保证了与基函数对应的电荷的总和为零。

()0n n n n n n n l T A l
T A others
++--
⎧∈⎪⎪⎪∇⋅=-∈⎨⎪⎪⎪⎩
r Λr r
(3.2.2)
矩量法中测试方法的选取是多样的，较为常用的检验方法包括点匹配法和Galerkin 法。

点匹配就是选择δ函数作为测试函数，此时积分方程中的积分形式非常简单，并且计算过程最为简单，但计算效果具有一定的局限性。

Galerkin 测试就是选择基函数本身作为试函数进行检验计算，测试过程虽然繁琐，却最为稳定。

当采用RWG 函数作为基函数时，Galerkin 测试过程常常被用于理想导体目标电磁散射的求解。

当采用Galerkin 测试时，测试函数有两种选取方式，一种是电场同向离散化方程，一种是电场异向离散化方程。

同向指的是测试函数与基函数同向，即选取Λm 作为测试函数；异向
指的是测试函数与基函数异向，即选取ˆm ⨯n
Λ作为测试函数。

3.2.2 矩阵元素计算
目标被平面三角形贴片离散之后，表面电流用RWG 基函数模拟，并对CFIE 实施Galerkin
14 测试，从而形成线性方程组为：
Z ∙I = V
(3.2.3) ()1EFIE MFIE
mn mn mn Z Z Z ααη
=
+-
(3.2.4)
其中，Z 为阻抗矩阵，I 为RWG 基函数的系数，V 为目标表面的入射场经测试后形成的右边向量。

对于电场同向离散化方程，具体表达式如下：
()2,''m n
TE
mn m n S S Z jk G ds ds k η∇∇⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝
⎭⎰⎰ΛI r r Λ
(3.2.5) ()01
ˆ,''2
m m n TH
mn m n m n s S s s Z d G ds ds -=
-⋅⨯∇⨯⎰⎰⎰ΛΛr Λn r r Λ (3.2.6) m
TE
inc m m s V ds α
η
=
⋅⎰
ΛE ，()ˆ1m
TH
inc m m s V ds α=-⋅⨯⎰Λn
H
(3.2.7)
电场同向离散化方程中的EFIE 和MFIE 分别称为TE 和TH 。

对于电场异向离散化方程，具体表达式如下：
()2ˆ,''m n NE
mn m n S S Z jk G ds ds k η∇∇⎛⎫=⨯⋅+⋅ ⎪⎝⎭
⎰⎰n ΛI r r Λ (3.2.8) ()0
1
ˆ,''2m
m n NH
mn m n m n s s s s Z d G ds ds -=
⨯⋅-⋅∇⨯⎰⎰⎰n
ΛΛr Λr r Λ
(3.2.9) ˆm
NE inc m m S V ds αη
=
⨯⋅⎰
n
ΛE ，()1m
NH inc m m S V ds α=-⋅⎰ΛH
(3.2.10)
电场异向离散化方程中的EFIE 和MFIE 分别称为NE 和NH 。

参数α为CFIE 系数，用来控制EFIE 和MFIE 的权重，一般选取范围为[0, 1]。

通过求解该线性方程组，得到RWG 基函数的系数，便可以计算任意理想导体目标的散射问题。

1. 电场同向离散化方程
EFIE 阻抗矩阵元素的表达式可以写成
()()()2,'','',''m n
m
n
m
n
TE
mn m n S S m n m n S S S S Z jk G ds ds
k jk G ds ds j
G ds ds
k
ηη
η∇∇⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝
⎭=⋅+⋅∇∇⋅⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰ΛI r r ΛΛΛr r Λr r Λ
(3.2.11)
根据矢量恒等式▽∙ (g f ) = g ▽∙f + f ∙▽g ，可以得到
()'''n n n n G G G G ∇⋅=-∇⋅=∇⋅-∇⋅ΛΛΛΛ
(3.2.12)
由于()()ˆ'''0n
n
n n S C G d G d ∇⋅=⋅=⎰⎰Λr n
Λr ，于是 (),''''m
n
m
n
TE
mn m n m n S S S S Z jk G ds ds j
G ds ds k
η
η=⋅+⋅∇∇⋅⎰
⎰
⎰
⎰ΛΛr r ΛΛ
(3.2.13)
同理，根据矢量恒等式▽∙ (g f ) = g ▽∙f + f ∙▽g ，可以得到
()m m m ⋅∇Φ=∇⋅Φ-Φ∇⋅ΛΛΛ，'n G Φ=∇⋅Λ
(3.2.14)
由于()()ˆ''0m
m
m m S C ds dl ∇⋅Φ=⋅Φ=⎰⎰Λn
Λ，于是
()()2,''''1',''m
n
m
n
m n TE
mn m n m n S S S S m n m n S S Z jk G ds ds j
G ds ds
k
jk G ds ds k η
ηη=⋅-∇⋅∇⋅⎛⎫
=⋅-∇⋅∇⋅ ⎪⎝⎭
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
⎰ΛΛr r ΛΛΛΛΛΛr r (3.2.15)
MFIE 阻抗矩阵元素的表达式可以写成
()()()()()1ˆ,''211ˆˆ,''2211ˆˆ,''2211ˆ,'2m
m n m m n m m n m TH
mn m n m n S S S n m n m n S S S n n m n m n m m n S S S n
m n m S Z d G ds ds l d jk G ds ds r A l d jk G ds ds r A d jk G r =-⋅⨯∇⨯⎛⎫
=+⋅⨯+⨯ ⎪⎝
⎭⎛⎫=+⋅⨯+⨯-+- ⎪⎝⎭⎛⎫=
+⋅⨯+ ⎪⎝
⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΛΛr Λn
r r ΛΛΛr Λn r r r ρΛΛr Λn r r r v s s s ΛΛr Λn r r ()ˆ'2m n n n m S S n l ds ds A ⨯-⎰⎰r v s (3.2.16)
右边第二项根据矢量恒等式a ∙ (b × c ) = b ∙ (c × a ) = c ∙ (a × b )，可以继续化简为
()()()()()()()()11ˆˆ,''221
1ˆˆ,''2211ˆˆ,''22m m n m
m n m m n TH
n mn m n m n m S S S n n m n n m m S S S n
n m n n m m S S S n l Z d jk G ds ds A r l d jk G ds ds A r l d jk G ds ds A r ⎛⎫=
+⋅⨯+⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=
++⨯-⋅⨯ ⎪⎝
⎭⎛⎫
=+-⋅⨯⨯+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΛΛr Λn r r r v s ΛΛr r r r v s Λn ΛΛr v s n Λr r r
(3.2.17)
这样做的好处是可以使得格林函数的梯度仅仅积分一次，降低了填充阻抗矩阵的计算量。

2. 电场异向离散化方程
EFIE 阻抗矩阵元素的表达式可以写成
()()()2ˆ,''ˆˆ,'',''m n m
n
m
n
NE
mn m n S S m n m n S S S S Z jk G ds ds k jk G ds ds j G ds ds k ηη
η∇∇⎛⎫=⨯⋅+⋅ ⎪⎝
⎭=⨯⋅+⨯⋅∇∇⋅⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰n ΛI r r Λn
ΛΛr r n
Λr r Λ(3.2.18)
根据矢量恒等式▽∙ (g f ) = g ▽∙f + f ∙▽g ，可以得到
()'''n n n n G G G G ∇⋅=-∇⋅=∇⋅-∇⋅ΛΛΛΛ
(3.2.19)
由于()()ˆ'''0n
n
n n S C G d G d ∇⋅=⋅=⎰⎰Λr n
Λr ，于是 ()ˆˆ,''''m
n
m
n
NE
mn m n m n S S S S Z jk G ds ds j G ds ds k η
η=⨯⋅+⨯⋅∇∇⋅⎰
⎰
⎰
⎰n
ΛΛr r n
ΛΛ (3.2.20)
同理，根据矢量恒等式▽∙ (g f ) = g ▽∙f + f ∙▽g ，可以得到
()()()()ˆˆˆˆm m m m ⨯⋅∇Φ=∇⋅Φ⨯-Φ∇⋅⨯=∇⋅Φ⨯⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦n Λn Λn Λn Λ，'n G Φ=∇⋅Λ (3.2.21)
由于()()ˆ''0m
m
m m S C d d ∇⋅Φ=⋅Φ=⎰⎰Λr n
Λr ，于是 ()ˆ,''m
n
NE
mn m n S S Z jk G ds ds η=⨯⋅⎰
⎰
n
ΛΛr r (3.2.22)
MFIE 阻抗矩阵元素的表达式可以写成
()()()()()1ˆ,''211ˆˆ,''2211ˆˆ,''2211ˆ,'2m
m n m m n m m n m NH
mn m n m n S S S n m n m n S S S n n m n m n m m n S S S n
m n m S Z d G ds ds l d jk G ds ds r A l d jk G ds ds r A d jk G r =⨯-⋅∇⨯⎛⎫
=⨯+⋅+⨯ ⎪⎝
⎭⎛⎫=⨯+⋅+⨯-+- ⎪⎝⎭⎛⎫=
⨯+⋅+ ⎪⎝
⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰n ΛΛr Λr r Λn ΛΛr Λr r r ρn ΛΛr Λr r r v s s s n ΛΛr Λr r ()ˆ'2m n n n m S S n l ds ds A ⨯-⎰⎰r v s (3.2.23)
右边第二项根据矢量恒等式a ∙ (b × c ) = b ∙ (c × a ) = c ∙ (a × b )，可以继续化简为
()()()()()()11ˆˆ,''221
1ˆˆ,''2211ˆˆ,''22m m n m
m n m m n
NH
n mn m n m n m S S S n n m n n m m S S S n
n m n n m m S S S n l Z d jk G ds ds A r l d jk G ds ds A r l d jk G ds ds A r ⎛⎫=
⨯+⋅+⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=
⨯++⨯-⋅ ⎪⎝
⎭⎛⎫=⨯+-⋅⨯+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰n ΛΛr Λr r r v s n ΛΛr r r r v s Λn ΛΛr v s Λr r r
(3.2.24)
这样做的好处是可以使得格林函数的梯度仅仅积分一次，降低了填充阻抗矩阵的计算量。

3.2.3 奇异性处理
当测试函数和基函数属于同一个三角形单元时，电场积分方程阻抗矩阵元素的填充就会出现奇异，原因是格林函数的分母出现0或者非常接近0的数值，使得数值方法无法正确计算积分值，此时，需要推导积分的解析公式。

由于11jkr jkr e e r r r r --⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，且01lim jkr r e jk r
r -→⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，因此，奇异积分主要表现为以下几类
1'1
's s I d d r
=⎰
⎰r r
(3.2.25) 2'1
'm n s s I d d r =⋅⎰⎰ΛΛr r
(3.2.26)
代入恒等式1
'r r
=-∇⋅∇，并根据散度定理得
1'
ˆˆ''c
c I rdl dl =-⋅⎰
⎰
u
u (3.2.27) 22'224ˆˆˆˆ''339m n n m m n m n s s I r R dl dl ⎡⎤⎛⎫=⋅-+-+⋅-⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦⎰
⎰u ΛΛΛΛΛr r ΛI ΛΛu (3.2.28)
上述积分能够推导解析的计算公式，公式如下
214111ln 1ln 1ln 13a b c I A a p b p c p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
(3.2.29)
222222
222222
2222
22222222
22222
22
22221033532532302338ln 14246ln 14426ln 1c a a b a b c a b b c b c a c a b c c b a A I A a a b c a a p A b a b c b b p A c a b c c c p ⎡⎛⎫--+- ⎪⎝⎭⎛⎫----- ⎪⎝⎭⎛⎫---++ ⎪⎝⎭=
⎛⎫⎛⎫+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (m = n ) (3.2.30)
222222
222222
2222
2222222222222
22
2222105656601224ln 12934ln 12934ln 1c a a b a b c a b b c b c a c a b c c b a A I A a a b c a a p A b a b c b b p A c a b c c c p ⎡⎛⎫---+-⎢ ⎪⎝⎭⎢⎛⎫--++- ⎪⎝⎭⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭=
⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣
⎤⎥⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦ (m ≠ n ) (3.2.31)
其中，a 、b 、c 为三角形的三条边的边长，p 为三角形的半周长，A 为三角形的面积。

3.3 计算散射场
由等效面电流源激发的散射场的表达式为
()()2,'''sca e s jk G ds k η∇∇⎛
⎫=-+⋅ ⎪⎝
⎭⎰⎰E I r r J r
(3.3.1)
下面推导一下自由空间并矢Green 函数()2,'G k ∇∇⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭I r r 的展开形式。

首先计算▽G (r , r ')，令r = |r – r '|，则
()()2ˆ,'144jkr jkr
e e G jkr r r ππ--⎛⎫∇=∇=-+ ⎪⎝⎭
r r r (3.3.2)
然后计算▽▽G (r , r ')
()()()232232433222211ˆ,'1'441
132ˆˆ413344jkr jkr jkr jkR jkr jkr jkr
e jk G jkr e r r r jk jk jk k e e e r r r r r r r jk e jk e k r r R r r πππ
ππ-------⎡⎤⎡⎤
⎛⎫∇∇=∇-+=∇-+- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎛⎫⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-++++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭r r r r r I rr I ()()222ˆˆ133ˆˆ,','r jk jk G k G r r r r ⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭rr
r r I r r rr
(3.3.3)
最后计算()2,'G k ∇∇⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭I r r ，得到
()()()()()222133ˆˆ,'1,'1,'j j G G G k kr kr kr kr ⎡⎤⎡⎤∇∇⎛⎫+=-----⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
I r r r r I r r rr (3.3.4) 对于远区散射场，r → ∞，格林函数可以近似的表示为
()'
ˆ'
,'4'4jk jkr jk e e e G r
ππ---⋅=≈-r r r
r r r r r
(3.3.5)
因此远区散射场的表达式可以简化，从而得到远区散射场的表达式如下
()()()()()()()(
)
()()222ˆˆ1,'133ˆˆ11,'ˆˆ4ˆˆ()sca s s
jkr jk s
jkr
jk s
jk G dS k j j jk G dS kR kR kR kR e e jk dS r
e jk e dS r
ηηηπη
π'
-⋅-'
⋅⎛⎫
''
=-+∇∇⋅ ⎪⎝⎭
⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪
''=------⋅⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭''
≈--⋅''
=--⋅4⎰⎰⎰
⎰
r r r r E r I r r J r I rr r r J r I rr J r I rr J r (3.3.6) 这是一个对目标表面电流进行积分的公式。

其中，s 表示散射体表面积分区域，电流J 和ˆk '⋅r r 分别表示复振幅和相位。

在一般情况下，这两项变化相对平缓，但随着波数k 的引入，当k 很大时，使得相位变化异常的剧烈，应用一般的数值积分方法(如高斯积分)不容易得到准确的结果。

当目标表面用平面三角形单元离散且电流用RWG 基函数展开后，可以推导出对每个平面三角形单元积分的解析公式。

3.4 振荡核在平面多边形上的积分
如图3-2所示，假设S 是一个具有N 条边的多边形，其外形函数如下：
()10if s otherwise
∈∑
⎧=⎨
⎩r r
(3.4.1)
图3-2 任意平面多边形几何关系
设其顶点按逆时针方向分别标注为：1、2、3、…、N ，其方向与我们积分时所需要的方向一致（其中顶点1同时作为最末点N + 1，同样的，顶点0 = 顶点N ）。

第n 个顶点表示为：
ˆˆn n n x y =+r x
y ，第n 条边位于点n 和n + 1之间(与顶点相同，边1 = 边N + 1，边0 = 边N )，其向量形式表示为：
I n = r n +1 - r n
(3.4.2)
假设第n 条边的参数为：
r (t ) = [(1 - t )r n + (1 + t )r n +1] / 2
(3.4.3)
其中[]1,1t ∈-，则d r = [(r n +1 - r n ) / 2]d t = I n d t / 2。

同时，我们引入第n 条边的中点，表示为r nc = (r n + r n +1) / 2。

为了求解积分()j s
s e ds ⋅=⎰k r k ，首先将k 分解为垂直分量和水平分量，与电磁波中的垂直
极化和水平极化定义不同，垂直分量为垂直于多边形平面的分量，水平分量为平行于多边形平面的分量。

由于k 的垂直分量与多边形平面中的任意点作点乘为一常数，则积分公式可以化简如下：
()()
j j j j s
s
s
s e ds e
ds e e
ds ⊥⊥⋅⋅⋅⋅⋅===⎰⎰⎰k r k r k r
k r k r k +
(3.4.4)
n -1
1
下面主要分析积分式j s
e
ds ⋅⎰k r
的求解。

根据斯托克斯定理可知：
s
d d ∑
∇⨯⋅=⋅⎰⎰
F s F r (3.4.5)
其中ˆd dxdy s n
=，Σ为s 的边界。

下面分两种情况来讨论积分式的求解： 当k = 0时，令ˆ2
⨯=
n
r F ，那么，根据斯托克斯定理可知 ()()()()()()1
11
1111
1
111
1ˆ41ˆ1181
ˆ211ˆˆ22N n s n N
n n n+n N
n nc n N N
nc n n n+n n S ds dt t t dt -=-======⨯⋅=⨯-++⎡⎤⎣⎦=
⨯⋅=⋅⨯=⋅⨯∑⎰⎰∑⎰∑∑∑0n
r l l n r r l n r n r l n r r (3.4.6)
上式便是一个多边形面积公式。

当0k ≠时，令()2
1ˆj je k
*
⋅⨯k r F =
k
n
，则 ()
2ˆˆ
ˆˆj j k k j e e k
*⋅⋅∇⨯⨯⨯⨯=k r k r F =k F =k k n
n (3.4.7)
则积分式可以表示为：
()()()()()()1
1
11111
2
2
1
112
21
1
021
12ˆ2ˆ2ˆ2n n+n nc
nc N n n t t N
j n n N j t j n
n N
j n n n S d dt j e
dt k j e e dt
k j
e j k ∑
-=-++⋅
*
-=⋅⋅*
-=⋅*
==
⋅=⋅=⨯⋅=⋅⨯⋅⎛⎫=
⋅⨯ ⎪⎝⎭⎰
∑⎰∑⎰
∑⎰
∑r r k k l k r k r k F r
F I k
n
l k n
l k l k n l (3.4.8)
其中j 0为第一类0阶球Bessel 函数。

对于积分()(),j v v s
S e ds ⋅=-⎰k r k r r r ，其中r 为三角形中任意一点，r v 为三角形中基函数对
应的顶点，于是
()()(),v v S j S S =-∇-k r k r k
(3.4.9)
其中
()()()()()021021012
21
ˆ2ˆ22ˆˆˆ2nc
nc nc
N
j n n n N
j n n n N
j n n nc n n n j
S e j k jk e j k k jk e
j j j k k
k ⋅*=*
⋅=**⋅=⎡⋅⎤⎛⎫∇=
∇⋅⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⋅⎤⎛⎫=
∇⋅⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎢⎥=
⨯+ -⎪⋅⨯-⋅⨯⎨⎬ ⎪⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩⎭
∑∑∑k r k r k r k l k k n l k l k n l l k n l r k n l k n l (3.4.10)
其中
002n j j ⋅⎛⎫= ⎪⎝⎭k l ，112n j j ⋅⎛⎫= ⎪⎝⎭
k l (3.4.11)
当k = 0时，S (0, r v ) = A (r c – r v )，A 为多边形面积，r c 为多边形中心。

3.5 数值算例
计算半径为1 m 的理想导体球的双站RCS ，未知量为3072，入射电磁波为平面波，频率为300 MHz ，角度为(180°, 180°），极化角为0°，矩量法计算结果与Mie 级数解比较如下：
-30
-20-1001020
300
30
60
90120
150
180
Angle (deg)
R C S (d B s m )
Mie
CFIE
(a)
05101520
250
30
60
90120150180
Angle (deg)
R C S (d B s m )
Mie CFIE
(b)
图3-3 理想导体球对平面波的散射，f = 300 MHz ：(a) θθ极化；(b) φφ极化。

第4章 均匀介质目标散射－PMCHWT
4.1 表面积分方程
根据面等效原理，均匀介质目标的外表面存在等效电流和等效磁流，用J e 和J m 表示，其散射场的表达式可以表示为
()()()()000020,''','''sca e m s s jk G ds G ds k η⎛⎫
∇∇=-+⋅-∇⨯ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰E I r r J r r r J r
(4.1.1)
()()()()0
00200,''','''sca
m e s s k j G ds G ds k η⎛⎫
∇∇=-+⋅+∇⨯ ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰⎰H
I r r J r r r J r
(4.1.2)
在介质外表面存在关系
()ˆinc sca m ⨯+=-n
E E J ，()ˆinc sca e ⨯+=n H H J (4.1.3)
则可以推出外表面的积分方程为
()()()()()()0
0002001ˆˆ,'''2ˆ,'''inc m e s m s s jk G ds k G ds η-⎛⎫
∇∇⨯=-+⨯+⋅ ⎪⎝⎭+⨯∇⨯⎰⎰⎰⎰n
E r J r n I r r J r n
r r J r
(4.1.4)
()()()()()()0
0020
001
ˆˆ,'''2ˆ,'''
inc e m s e s s k j G ds k G ds η-⎛⎫
∇∇⨯=+⨯+⋅ ⎪⎝⎭-⨯∇⨯⎰⎰⎰⎰n
H r J r n
I r r J r n
r r J r
(4.1.5)
其中E inc 和H inc 为入射电场和入射磁场，η0为介质外部空间的波阻抗，k 0为介质外部空间的波数，G 0(r , r ’)为自由空间格林函数，s 0表示自作用积分区域。

根据面等效原理，均匀介质目标的内表面存在等效电流和等效磁流，且电流和磁流的大小与外表面的相等，方向相反，用−J e 和−J m 表示，其散射场的表达式可以表示为
()()()()2,''','''sca e m s s jk G ds G ds k η∇∇⎛
⎫=+⋅+∇⨯ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰E I r r J r r r J r
(4.1.6)
()()()()2,''','''sca m e s s k
j
G ds G ds k η∇∇⎛⎫=+⋅-∇⨯ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰H I r r J r r r J r (4.1.7)
在介质内表面存在关系
ˆsca m -⨯=n
E J ，ˆsca e -⨯=-n H J (4.1.8)
在这里注意内表面的法方向与外表面相反，则可以推出内表面的积分方程为。