2018届中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第七单元 三角形 第24课时 直角三角形和勾股定理(解析版)

第24课时 直角三角形和勾股定理
(60分)
一、选择题(每题5分.共25分)
1．[2016·毕节]下列各组数据中的三个数作为三角形的边长.其中能构成直角三角形的是
(B)
A. 3. 4. 5 B ．1. 2. 3 C ．6.7.8
D ．2.3.4
2．如图24－1.在Rt △ABC 中.∠C ＝90°.AC ＝9.BC ＝12.则点C 到AB 的距离是
(A)
A.36
5 B.1225 C.94
D.
33
4
【解析】 在Rt △ABC 中.AC ＝9.BC ＝12.根据勾股定理得AB ＝AC 2
＋BC 2
＝15.过C 作
CD ⊥AB .交AB 于点D .又S △ABC ＝12AC ·BC ＝12
AB ·CD .
∴CD ＝
AC ·BC AB ＝9×1215＝365.则点C 到AB
的距离是36
5
.故选A.
图24－1 第2题答图
3．[2017·甘孜]如图24－2.点D 在△ABC 的边AC 上.将△ABC 沿BD 翻折后.点A 恰好与点C 重合．若BC ＝5.CD ＝3.则BD 的长为
(D) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm 的矩形纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上.测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角.如图24－3.
则三角板最长边的长为
(D)
图24－2
A ．3 cm
B ．6 cm
C ．3 2 cm
D ．6
2 cm
图24－3 第4题答图
【解析】 如答图.过点C 作CD ⊥AD 于点D . ∴CD ＝3.在直角三角形ADC 中. ∵∠CAD ＝30°. ∴AC ＝2CD ＝2×3＝6.
又∵三角板是有45°角的三角板. ∴AB ＝AC ＝6.
∴BC 2
＝AB 2
＋AC 2
＝62
＋62
＝72. ∴BC ＝6 2.故选D.
5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6.8.现将△ABC 如图24－4那样折叠.使点A 与点B 重合.折痕为DE .则tan ∠CBE 的值是 (C) A.24
7 B.
73
C.7
24
D.1
3
图24－4
【解析】 在Rt △BCE 中.设CE ＝x .则BE ＝EA ＝8－x .根据勾股定理有(8－x )2
＝x 2
＋62
.解得x ＝7
4
.
∴tan ∠CBE ＝CE BC ＝746＝7
24.
二、填空题(每题5分.共25分)
6．[2016·内江]在△ABC 中.∠B ＝30°.AB ＝12.AC ＝6.则BC ＝
7．[2017·凉山]已知直角三角形两边的长分别是3和4.则第三边的长为
8．将一副三角尺按图24－5所示叠放在一起.若AB ＝14 cm.则阴影部分的面积是__492__cm 2
.
【解析】 ∵∠B ＝30°. ∴AC ＝1
2AB ＝7 cm.
易证AC ＝CF .
∴S △ACF ＝12AC ·CF ＝12AC 2＝12×72＝492
(cm 2
)．
9．[2017·无锡]如图24－6.△ABC 中.CD ⊥AB 于D .E 是AC 的中点.若
AD ＝6.DE ＝5.则CD 的长等于__8__.
【解析】 ∵△ABC 中.CD ⊥AB 于D .E 是AC 的中点.DE ＝5. ∴DE ＝1
2AC ＝5.
∴AC ＝10.
在直角△ACD 中.∠ADC ＝90°.AD ＝6.AC ＝10.则根据勾股定理.得
CD ＝AC 2－AD 2＝102－62＝8.
10．[2016·遵义]我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理.创制了一幅“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”(如图24－7①)．图24－7②由弦图变化得到.它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD .正方形EFGH .正方形MNKT 的面积分别为S 1.S 2.S 3.若正方形EFGH 的边长为2.则S 1＋S 2＋S 3＝
__12__.
图24－7
【解析】 ∵八个直角三角形全等.四边形ABCD .EFGH .MNKT 是正方形. ∴CG ＝NF .CF ＝DG ＝KF . ∴S 1＝(CG ＋DG )2
＝CG 2
＋DG 2
＋2CG ·DG ＝GF 2＋2CG ·DG .
S 2＝GF 2
.
图24－5
图24－6
S 3＝(KF －NF )2＝KF 2＋NF 2－2NF ·KF ＝GF 2－2CG ·DG .
∴S 1＋S 2＋S 3＝GF 2
＋2CG ·DG ＋GF 2
＋GF 2
－ 2CG ·DG ＝3GF 2
＝12. 三、解答题(共20分)
11．(10分)如图24－8.在Rt △ABC 中.∠C ＝90°.∠A ＝30°.BD 是∠ABC 的平分线.CD ＝5 cm.求AB 的长．
【解析】 要求的AB 在Rt △ABC 中.∠A ＝30°.故只需求BC 的长.在Rt △BCD 中.DC ＝5 cm.∠DBC ＝1
2∠ABC ＝30°.故可
求出BD .BC 的长.从而根据AB ＝2BC 计算出结果． 解：∵在Rt △ABC 中.∠C ＝90°.∠A ＝30°. ∴AB ＝2BC .∠ABC ＝60°. ∵BD 是∠ABC 的平分线. ∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°. ∵在Rt △CBD 中.CD ＝5 cm. ∴BD ＝10 cm. ∴BC ＝5 3 cm. ∴AB ＝2BC ＝10 3 cm.
12．(10分)如图24－9.Rt △ABC 中.∠C ＝90°.AD 平分∠CAB .DE ⊥AB 于E .若AC ＝6.BC ＝8.CD ＝3. (1)求DE 的长； (2)求△ADB 的面积．
解：(1)在Rt △ABC 中.∠C ＝90°. ∴AC ⊥CD .又∵AD 平分∠CAB .DE ⊥AB . ∴DE ＝CD .又∵CD ＝3. ∴DE ＝3；
(2)在Rt △ABC 中.∠C ＝90°.AC ＝6.BC ＝8. ∴AB ＝AC 2
＋BC 2
＝62
＋82
＝10. ∴S △ADB ＝12AB ·DE ＝1
2
×10×3＝
15.
(20分)
13．(6分)[2017·荆门]如图24－10.已知圆柱底面的周长为4 dm.圆柱高为2 dm.
在圆柱的
图24－8
图24－9
侧面上.过点A 和点C 嵌有一圈金属丝.则这圈金属丝的周长最小为
(A)
A ．4 2 dm
B ．2 2 dm
C ．2 5 dm
D ．4 5 dm
图24－10 第13题答图
【解析】 如答图.把圆柱的侧面展开.得到矩形.则这圈金属丝的周长最小为2AC 的长度．
∵圆柱底面的周长为4 dm.圆柱高为2 dm. ∴AB ＝2 dm.BC ＝BC ′＝2 dm. ∴AC 2
＝22
＋22
＝4＋4＝8. ∴AC ＝2 2.
∴这圈金属丝的周长最小为2AC ＝4 2 dm.
14．(6分)[2016·台州]如果将长为6 cm.宽为5 cm 的长方形纸片折叠一次.那么这条折痕的长不可能是(A) A ．8 cm B ．5 2 cm C ．5.5 cm D ．1 cm
【解析】 易知最长折痕为矩形对角线的长.根据勾股定理对角线长为62
＋52
＝61≈7.8.故折痕长不可能为8 cm.
15．(8分)[2016·铜仁]如图24－11.在矩形ABCD 中.BC ＝6.CD ＝3.将△BCD 沿对角线BD 翻折.点C 落在点C ′处.BC ′交AD 于点E .则线段DE 的长为
(B) A ．3 B.15
4 C ．5
D.152
【解析】 设ED ＝x . 则AE ＝6－x ； ∵四边形ABCD 为矩形. ∴AD ∥BC .
∴∠EDB ＝∠DBC . 由题意得∠EBD ＝∠DBC . ∴∠EDB ＝∠EBD . ∴EB ＝ED ＝x . 由勾股定理得
BE 2＝AB 2＋AE 2.
即x 2
＝32
＋(6－x )2
.解得x ＝154
. ∴ED ＝154
.
(10分)
16．(10分)[2016·潍坊]如图24－12.正△ABC 的边长为2.以BC 边上的高AB 1为边作正△AB 1C 1.△ABC 与△AB 1C 1公共部分的面积记为S 1；再以正△AB 1C 1边B 1C 1上的高AB 2为边作正△AB 2C 2.△AB 1C 1与△AB 2C 2公共部分的面积记为S 2.….以此类推.则__S n ＝2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫34n
__.(用含n 的式子表示) 【解析】 ∵等边三角形ABC 的边长为2.AB 1⊥BC . ∴BB 1＝1.AB ＝2.
根据勾股定理得AB 1＝ 3. ∴S 1＝12×34×(3)2
＝32·⎝ ⎛⎭
⎪⎫341； ∵等边三角形AB 1C 1的边长为 3.AB 2⊥B 1C 1. ∴B 1B 2＝
3
2
.AB 1＝ 3. 根据勾股定理得AB 2＝3
2
.
∴S 2＝12×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫342；
…
以此类推.S n ＝32·⎝
⎛⎭
⎪⎫34n .
图24－12。