2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习：高考真题汇编(数学答案)含答案

参考答案与解析
专题1集合与常用逻辑用语
1．解析：选D。

由题意得，A＝{x｜1＜x＜3},B＝错误!，则A∩B ＝错误!。

选D。

2．解析：选C.由已知可得B＝{x｜（x＋1)（x－2）＜0，x∈Z｝＝｛x｜－1＜x＜2，x∈Z}＝｛0，1｝,所以A∪B＝{0，1,2，3｝,故选C.
3．解析：选D。

集合S＝（－∞，2］∪[3,＋∞)，结合数轴,可得S∩T＝(0，2］∪［3，＋∞)．
4．解析:选C.法一：(通性通法)集合A表示函数y＝2x的值域，故A＝(0,＋∞）．由x2－1＜0,得－1＜x＜1,故B＝（－1，1）．所以A∪B ＝(－1，＋∞)．故选C.
法二：(光速解法)由函数y＝2x的值域可知，选项A，B不正确；由02－1＜0可知，0∈B，故0∈A∪B，故排除选项D，选C.
5．解析:选D。

根据含有量词的命题的否定的概念可知．
6．解析:选D.取a＝－b≠0,则|a｜＝｜b|≠0，｜a＋b|＝｜0｜＝0,｜a－b|＝｜2a|≠0,所以|a＋b|≠|a－b｜，故由｜a｜＝｜b｜推不出|a＋b|＝|a－b｜.由|a＋b｜＝｜a－b|, 得｜a＋b｜2＝｜a－b｜2,整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出｜a｜＝｜b｜, 故由|a
＋b|＝｜a－b|推不出｜a｜＝|b|.故“|a｜＝｜b|"是“|a＋b|＝|a －b｜"的既不充分也不必要条件．故选D.
专题2函数
1．解析：选C。

对于选项A，考虑幂函数y＝x c，因为c＞0，所以y＝x c为增函数，又a＞b＞1，所以a c＞b c，A错．对于选项B，ab c＜ba c⇔错误!错误!＜错误!，又y＝错误!错误!是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C.
2．解析：选B.因为f（x）＋f（－x)＝2，y＝错误!＝1＋错误!，所以函数y＝f(x)与y＝错误!的图像都关于点（0,1）对称,所以错误!x i=0，错误! y i＝错误!×2＝m，故选B。

3．解析：选A。

因为a＝2错误!＝16错误!,b＝4错误!＝16错误!，c＝25错误!,且幂函数y＝x错误!在R上单调递增,指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜c。

4．解析：选B.根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起,每年投入的研发资金组成一个等比数列｛a n}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12％＝1。

12,所以a n＝130×1。

12n－1.由130×1。

12n－1〉200，两边同时取对数，得n－1>错误!，又错误!≈错误!＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B。

5．解析:选D.当x≥0时,令函数f(x）＝2x2－e x，则f′（x)＝4x －e x，易知f′(x）在[0,ln 4）上单调递增，在［ln 4,2]上单调递减，又f′（0）＝－1＜0，f′错误!＝2－错误!＞0,f′（1)＝4－e＞0，f′(2）＝8－e2＞0，所以存在x0∈错误!是函数f（x）的极小值点，即函数f （x)在(0，x0)上单调递减，在(x0,2)上单调递增,且该函数为偶函数，符合条件的图像为D.
6．解析：由于a＞b＞1,则log a b∈(0，1），因为log a b＋log b a＝错误!,即log a b＋错误!＝错误!，所以log a b＝错误!或log a b＝2（舍去)，所以a错误!＝b，即a＝b2，所以a b＝（b2)b＝b2b＝b a，所以a＝2b，b2＝2b,所以b ＝2(b＝0舍去），a＝4。

答案：4 2
7．解:(1)由于a≥3，故
当x≤1时，（x2－2ax＋4a－2）－2|x－1|＝x2＋2(a－1）（2－x)＞0,
当x＞1时，(x2－2ax＋4a－2)－2｜x－1｜＝(x－2）（x－2a)．
所以使得等式F（x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2，2a]．
（2)①设函数f（x)＝2｜x－1|，
g(x)＝x2－2ax＋4a－2,
则f（x）min＝f(1）＝0，g（x）min＝g（a）＝－a2＋4a－2，
所以由F(x）的定义知
m(a）＝min{f(1)，g(a）}，
即m（a)＝错误!
②当0≤x≤2时，F（x）＝f(x）≤max{f(0）,f(2)}＝2＝F(2），
当2≤x≤6时,
F(x)＝g（x）≤max｛g(2)，g（6)｝
＝max{2,34－8a}＝max｛F（2）,F（6)}．
所以M（a)＝错误!
专题3导数及其应用
1．解析：设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1）的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln（x2＋1））．
则切线分别为y－ln x1－2＝错误!(x－x1）,
y－ln(x2＋1)＝错误!（x－x2），
化简得y＝错误!x＋ln x1＋1，y＝错误!x－错误!＋ln(x2＋1）,
依题意，错误!
解得x1＝错误!，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.
答案：1－ln 2
2．解析：由题意可得当x＞0时,f（x）＝ln x－3x，则f′(x）＝
错误!－3，f′（1)＝－2，则在点（1，－3）处的切线方程为y＋3＝－2(x－1),即y＝－2x－1.
答案：y＝－2x－1
3．解：（1）f′（x）＝（x－1）e x＋2a（x－1）＝（x－1)（e x ＋2a）．
(ⅰ）设a＝0，则f(x)＝（x－2)e x,f(x)只有一个零点．
(ⅱ）设a＞0，则当x∈（－∞，1)时,f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′（x）＞0，所以f（x）在（－∞，1）上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增．
又f（1)＝－e,f(2)＝a,取b满足b＜0且b＜ln错误!,则f(b)＞错误!（b －2)＋a(b－1)2＝a错误!＞0，
故f（x)存在两个零点．
（ⅲ)设a＜0，由f′（x）＝0得x＝1或x＝ln(－2a）．
若a≥－错误!，则ln(－2a）≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′（x）＞0，
因此f（x)在（1，＋∞）上单调递增．又当x≤1时f(x)＜0，
所以f(x）不存在两个零点．
若a＜－错误!，则ln（－2a）＞1,故当x∈（1,ln（－2a））时，f′（x)＜0；当x∈(ln(－2a），＋∞）时，f′（x)＞0.因此f(x）在（1，
ln(－2a））上单调递减，在（ln(－2a）,＋∞）上单调递增．又当x≤1时，f(x）＜0，所以f(x)不存在两个零点．
综上，a的取值范围为(0，＋∞）．
（2）不妨设x1＜x2.由（1)知，x1∈（－∞，1）,x2∈（1，＋∞），2－x2∈（－∞，1），又f(x）在（－∞，1）上单调递减，所以x1＋x2＜2等价于f(x1)＞f(2－x2)，即f(2－x2）＜0。

由于f（2－x2)＝－x2e2－x2＋a（x2－1)2,而f（x2）＝（x2－2）e x2＋a（x2－1）2＝0，
所以f(2－x2）＝－x2e2－x2－(x2－2）e x2.
设g（x）＝－x e2－x－(x－2)e x，
则g′（x）＝（x－1)（e2－x－e x）．
所以当x＞1时，g′（x）＜0,而g(1）＝0，故当x＞1时，g(x）＜0.
从而g(x2)＝f(2－x2)＜0，故x1＋x2＜2。

4．解：(1）f（x)的定义域为(－∞,－2)∪(－2，＋∞)．
f′(x）＝错误!＝错误!≥0,
且仅当x＝0时,f′（x）＝0,所以f（x)在(－∞，－2）,(－2，＋∞)上单调递增．
因此当x∈（0，＋∞)时,f（x)＞f（0）＝－1。

所以（x－2)e x＞－（x＋2）,(x－2）e x＋x＋2＞0。

(2）g′(x）＝错误!＝错误!（f（x）＋a)．
由(1）知,f（x）＋a单调递增．对任意的a∈[0，1），f(0）＋a＝a－1＜0,f（2）＋a＝a≥0。

因此,存在唯一x a∈(0，2]，使得f(x a）＋a ＝0，即g′（x a)＝0.
当0＜x＜x a时，f(x）＋a＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞x a时，f（x)＋a＞0，g′（x）＞0,g（x）单调递增．
因此g（x)在x＝x a处取得最小值，最小值为
g(x a)＝错误!＝错误!＝错误!.
于是h（a）＝错误!，由错误!′＝错误!＞0，得错误!单调递增．
所以，由x a∈（0,2］，得错误!＝错误!＜h(a）＝错误!≤错误!＝错误!。

因为错误!单调递增,对任意的λ∈错误!，存在唯一的x a∈(0，2],a＝－f(x a）∈[0，1）,使得h(a)＝λ，所以h（a）的值域是错误!。

综上,当a∈［0，1）时，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是错误!.
5．解：(1)f′(x)＝－2αsin 2x－（α－1）sin x.
(2）当α≥1时，
｜f(x)|＝|αcos 2x＋(α－1)（cos x＋1)｜
≤α＋2（α－1）
＝3α－2＝f(0)．
因此A＝3α－2。

当0＜α＜1时，将f(x)变形为f（x)＝2αcos2x＋(α－1）cos x－1。

令g（t）＝2αt2＋(α－1)t－1,
则A是｜g(t)｜在［－1，1］上的最大值，g（－1)＝α，g(1）＝3α－2，且当t＝错误!时,g（t)取得极小值，极小值为g错误!＝－错误!。

令－1＜错误!＜1,得α＞错误!.
（i）当0＜α≤错误!时,g(t）在［－1，1]内无极值点，|g(－1)｜＝α，
|g（1）｜＝2－3α,|g（－1)｜＜|g（1）|，所以A＝2－3α.
（ii)当错误!＜α＜1时，由g（－1)－g(1）＝2(1－α）＞0，知g(－1）＞g(1）＞g错误!。

又错误!－｜g(－1)｜＝错误!＞0，
所以A＝错误!＝错误!.
综上,A＝错误!
（3）证明：由(1）得
｜f′（x)|＝|－2αsin 2x－（α－1)sin x|≤2α＋|α－1｜。

当0＜α≤错误!时,｜f′(x）｜≤1＋α≤2－4α＜2(2－3α）＝2A.
当错误!＜α＜1时，A＝错误!＋错误!＋错误!＞1,所以｜f′（x）｜≤1＋α＜2A。

当α≥1时,｜f′(x）｜≤3α－1≤6α－4＝2A。

所以|f′（x）｜≤2A。

6．解：(1)因为f(x）＝x e a－x＋bx，
所以f′(x）＝(1－x)e a－x＋b.
依题设，错误!即错误!
解得a＝2,b＝e.
(2)由(1）知f（x)＝x e2－x＋e x.
由f′（x）＝e2－x(1－x＋e x－1)及e2－x＞0知,f′（x)与
1－x＋e x－1同号．
令g(x）＝1－x＋e x－1,则g′（x）＝－1＋e x－1。

所以当x∈（－∞，1)时，g′(x）＜0，g（x）在区间（－∞，1)上单调递减;
当x∈（1，＋∞）时，g′（x)＞0，g（x）在区间（1,＋∞)上单调递增．
故g（1)＝1是g（x)在区间（－∞，＋∞）上的最小值，
从而g(x)＞0，x∈（－∞，＋∞)．
综上可知，f′（x)＞0，x∈（－∞，＋∞）．
故f（x）的单调递增区间为(－∞，＋∞）．
专题4三角函数与解三角形
1．解析：选D。

因为cos错误!＝cos错误!cos α＋sin 错误!sin α＝错误!(sin
α＋cos α）＝错误!，所以sin α＋cos α＝错误!，所以1＋sin 2α＝错误!，所以sin 2α＝－错误!，故选D.
2．解析：选A。

法一：(通性通法)由tan α＝错误!＝错误!,cos2α＋sin2α＝1，得错误!或错误!则sin 2α＝2sin αcos α＝错误!,则cos2α＋2sin 2α＝错误!＋错误!＝错误!.
法二：（光速解法)cos2α＋2sin 2α＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

3．解析：选C。

设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b,c,
由题意可得1
3
a＝c sin 错误!＝错误!c，则a＝错误!c.在△ABC中，由余弦定
理可得b2＝a2＋c2－错误!ac＝错误!c2＋c2－3c2＝错误!c2，则b＝错误!c。

由余弦定理,可得cos A＝错误!＝错误!＝－错误!，故选C。

4．解析：选A.设△ABC中,角A,B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3,c＝错误!，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b,解得b＝1，即AC＝1.
5．解析：选D.因为y＝sin错误!＝sin错误!,所以只需把函数y＝sin 2x
的图象上所有的点向右平行移动π
6
个单位长度即可，故选D.
6．解析:选B。

函数y＝2sin 2x的图像向左平移错误!个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为y＝2sin 2错误!,令2错误!＝kπ＋错误!
（k∈Z），解得x＝错误!＋错误!(k∈Z)，所以所求对称轴的方程为x＝错误!＋错误!（k∈Z），故选B。

7．解析：选B.因为x＝－错误!为函数f（x）的零点，x＝错误!为y
＝f（x)图像的对称轴,所以π
2
＝错误!＋错误!（k∈Z，T为周期)，得T＝错误!
(k∈Z）．又f(x)在错误!单调,所以T≥错误!,k≤错误!,又当k＝5时，ω＝11，φ＝－错误!,f（x）在错误!不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝错误!,f（x)在错误!单调，满足题意,故ω＝9，即ω的最大值为9。

8．解析：函数y＝sin x－3cos x＝2sin错误!的图像可由函数y＝sin x＋3cos x＝2sin错误!的图像至少向右平移错误!个单位长度得到．答案:错误!
9．解析：法一：因为cos A＝错误!，cos C＝错误!，
所以sin A＝错误!,sin C＝错误!,从而sin B＝sin(A＋C）＝sin A cos C ＋cos A sin C＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。

由正弦定理错误!＝错误!，得
b＝a sin B
sin A＝错误!。

法二：因为cos A＝错误!，cos C＝错误!,所以sin A＝错误!,sin C＝错误!,
从而cos B＝－cos（A＋C)＝－cos A cos C＋sin A sin C＝－4
5
×错误!＋
错误!×错误!＝错误!。

由正弦定理错误!＝错误!,得c＝错误!＝错误!.由余弦定理b2
＝a 2＋c 2－2ac cos B ,得b ＝错误!。

法三：因为cos A ＝错误!，cos C ＝错误!，所以sin A ＝错误!，sin C ＝错误!，
由正弦定理错误!＝错误!，得c ＝错误!＝错误!.
从而b ＝a cos C ＋c cos A ＝错误!。

法四：如图，作BD ⊥AC 于点D ，由cos C ＝错误!，
a ＝BC ＝1，
知CD ＝错误!，BD ＝错误!.
又cos A ＝45，所以tan A ＝错误!，从而AD ＝错误!。

故b ＝AD ＋DC ＝错误!.
答案：2113
10．解：（1）由已知及正弦定理得，
2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，
2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，
故2sin C cos C ＝sin C .
可得cos C ＝错误!,所以C ＝错误!。

(2)由已知，错误!ab sin C ＝错误!.
又C＝π
3
，所以ab＝6。

由已知及余弦定理得,a2＋b2－2ab cos C＝7,
故a2＋b2＝13，从而(a＋b）2＝25。

所以△ABC的周长为5＋错误!。

11．解：（1)因为cos B＝错误!，0<B〈π，所以sin B＝错误!＝错误!＝错误!。

由正弦定理知AC
sin B＝错误!，所以
AB＝错误!＝错误!＝5错误!。

(2）在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－（B＋C），于是cos A＝－cos（B＋C）＝－cos错误!
＝－cos B cos π
4
＋sin B sin
π
4
，
又cos B＝4
5
,sin B＝错误!,
故cos A＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝－错误!.
因为0〈A<π,所以sin A＝1－cos2A＝错误!.因此，
cos 错误!＝cos A cos 错误!＋sin A sin 错误!＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.
12．解：(1）证明：由正弦定理得
sin B＋sin C＝2sin A cos B，
故2sin A cos B＝sin B＋sin(A＋B)
＝sin B＋sin A cos B＋cos A sin B，于是sin B＝sin（A－B）．又A，B∈(0，π），故0＜A－B＜π，所以，
B＝π－（A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去）或A＝2B，
所以A＝2B。

(2）由S＝错误!，得错误!ab sin C＝错误!，故有
sin B sin C＝错误!sin 2B＝sin B cos B,
因为sin B≠0，所以sin C＝cos B，
又B，C∈(0，π),所以C＝错误!±B.
当B＋C＝错误!时，A＝错误!；
当C－B＝π
2
时，A＝错误!.
综上，A＝错误!或A＝错误!。

13．解：（1)证明：由题意知
2错误!＝错误!＋错误!,
化简得2（sin A cos B＋sin B cos A）＝sin A＋sin B，即2sin（A＋B)＝sin A＋sin B，
因为A＋B＋C＝π。

所以sin(A＋B）＝sin（π－C)＝sin C。

从而sin A＋sin B＝2sin C。

由正弦定理得a＋b＝2c。

(2)由(1）知c＝错误!，
所以cos C＝错误!＝错误!
＝错误!错误!－错误!≥错误!，
当且仅当a＝b时，等号成立．
故cos C的最小值为错误!.
专题5平面向量、数系的扩充与复数的引入1．解析：选B。

因为(1＋i）x＝x＋x i＝1＋y i,所以x＝y＝1,｜x ＋y i｜＝|1＋i|＝错误!＝错误!，选B.
2．解析：选A。

由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3,m－1)，所以错误!解得－3＜m＜1,故选A.
3．解析:选D。

由向量的坐标运算得a＋b＝(4，m－2),由(a＋b)⊥b,得（a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8，故选D.
4．解析：选C。

错误!＝错误!＝i.
5．解析：选B.由n⊥（t m＋n)可得n·(t m＋n)＝0,
即t m·n＋n2＝0，
所以t＝－错误!＝－错误!
＝－错误!＝－3×错误!＝－3×错误!＝－4。

故选B.
6．解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC＝错误!＝错误!＝错误!，则∠ABC＝30°。

7．解析：由｜a＋b|2＝|a｜2＋｜b｜2得a⊥b ,则m＋2＝0，
所以m＝－2。

答案：2
专题6数列
1．解析：选C.设等差数列{a n}的公差为d，因为｛a n}为等差数列,且S9＝9a5＝27,所以a5＝3。

又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98,选C。

2．解析：选C。

由题意得，a n＝a1q n－1（a1〉0），a2n－1＋a2n＝a1q2n －2＋a1q2n－1＝a1q2n－2（1＋q）．若q〈0,因为1＋q的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n<0，即a1q2n－2(1＋q）<0，可得q〈－1〈0.故“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0"的必要而不充分条件，故选C.
3．解析：设{a n}的公比为q，由a1＋a3＝10,a2＋a4＝5得a1＝8，q＝错误!，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝错误!，所以a1a2…a n≤a1a2a3a4＝64.
答案：64
4．解析:由于错误!，解得a1＝1.由a n＋1＝S n＋1－S n＝2S n＋1，得S n
＝3S n＋1，所以S n＋1＋错误!＝3错误!，所以｛S n＋错误!}是以错误!为首项，＋1
3为公比的等比数列，所以S n＋错误!＝错误!×3n－1，即S n＝错误!，所以
S5＝121.
答案：1 121
5．解:(1)设{a n}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1。

所以｛a n}的通项公式为a n＝n.
b1＝[lg 1］＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101］＝2.
（2）因为b n＝错误!
所以数列{b n｝的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.
6．解:(1）由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝错误!，a1≠0.
由S n＝1＋λa n，S n＋1＝1＋λa n＋1得a n＋1＝λa n＋1－λa n，即a n＋1(λ－1）
＝λa n。

由a1≠0，λ≠0且λ≠1得a n≠0，
所以错误!＝错误!。

因此｛a n}是首项为错误!，公比为错误!的等比数列，于是a n＝错误!错误!
n－1
.
(2）由(1）得S n＝1－错误!错误!。

由S5＝错误!得1－错误!错误!＝错误!，即
错误!错误!＝错误!.
解得λ＝－1.
7．解：(1)由已知，S n＋1＝qS n＋1，S n＋2＝qS n＋1＋1,两式相减得到a n＋2＝qa n＋1，n≥1。

又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，
故a n＋1＝qa n对所有n≥1都成立．
所以，数列{a n｝是首项为1,公比为q的等比数列．
从而a n＝q n－1.
由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得
2a3＝3a2＋2,得2q2＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0，
由已知，q〉0，故q＝2.
所以a n＝2n－1（n∈N＊）．
（2)证明:由（1）可知，a n＝q n－1.
所以双曲线x2－错误!＝1的离心率e n＝错误!＝错误!。

由e2＝错误!＝错误!得q＝错误!.
因为1＋q2(k－1）>q2（k－1)，所以1＋q2（k－1）〉q k－1(k∈N*)．
于是e1＋e2＋…＋e n〉1＋q＋…＋q n－1＝错误!,
故e1＋e2＋…＋e n〉错误!。

专题7不等式、推理与证明
1．解析：选C。

设a1，a2，a3，…，a k中0的个数为t，则1的个数为k－t，
由2m＝8知，k≤8且t≥k－t≥0，则错误!.
法一：当t＝1时,k＝1，2，当t＝2时，k＝2，3，4,
当t＝3时,k＝3，4,5,6，当t＝4时，k＝4，5，6，7,8，
∴“规范数列”共有2＋3＋4＋5＝14（个）．
法二：问题即是错误!表示的区域的整点(格点）的个数,
如图整点(格点）为2＋3＋4＋5＝14(个)，即“规范数列”共有14个．
2．解析：选B。

若袋中有两个球，则红球、黑球各一个,若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球,乙盒中黑球比丙盒中红球多,故可排除A、D;若袋中有四个球，则红球、黑球各两个,若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球,此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C;故选B.
3．解析:选 B.法一：（通性通法）如图，已知约束条件｛x －y ＋2≥0
，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0
所表示的平面区域为图中所示的三角形
区域ABC （包含边界)，其中A （0，2)，B （3，0)，C (1，3）．根据
目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25
x ＋错误!过点B （3，0）时,z 取得最小值2×3＋5×0＝6.
法二:(光速解法)由题意知，约束条件错误!所表示的平面区域的顶点分别为A (0，2)，B (3，0)，C （1，3)．将A ,B ，C 三点的坐标分别代入z ＝2x ＋5y ，得z ＝10，6，17,故z 的最小值为6。

4.解析：选C 。

作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ,则四边形ABDC 为矩形，
又C（2，－2）,D(－1,1)，
所以|AB|＝|CD|＝（2＋1）2＋（－2－12)＝3错误!.
5．解析:约束条件对应的平面区域是以点错误!、(0，1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y＝－x＋z经过点错误!时,z取得最大值错误!.
答案：错误!
6．解析:由题意，设产品A生产x件,产品B生产y件，利润z ＝2 100x＋900y,线性约束条件为错误!作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以z max＝2 100×60＋900×100＝216 000（元)．
答案:216 000
7．解析:为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A,B，C.从丙出发,由于丙的卡片上的数字之和不是5，则
丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知,乙所拿的卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A.
答案：1和3
专题8立体几何
1．解析:选C。

因为α∩β＝l。

所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l。

2．解析：选A。

由三视图可得此几何体为一个球切割掉错误!后剩下的几何体，设球的半径为r，故错误!×错误!πr3＝错误!π，所以r＝2，表面积S＝错误!×4πr2＋错误!πr2＝17π，选A。

3．解析：选C。

该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r＝2，底面圆的周长c＝2πr＝4π，圆锥的母线长l＝错误!＝4,圆柱的高h＝4，所以该几何体的表面积S表＝πr2＋ch ＋错误!cl＝4π＋16π＋8π＝28π，故选C。

4．解析：选B。

由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为3错误!和3，故面积都为9错误!,则该几何体的表面积为2错误!＝54＋18错误!.
5．解析:选B。

由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R＝错误!，该球的体积最大，V max＝错误!πR3＝错误!×错误!＝错误!.
6．解析：选A。

因为过点A的平面α与平面CB1D1平行，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以m∥B1D1∥BD，又A1B∥平面CB1D1，所以n∥A1B，则BD与A1B所成的角为所求角,所以m，n所成角的正弦值为错误!,选A。

7．解析：对于命题①,可运用长方体举反例证明其错误：
如图,不妨设AA′为直线m，CD为直线n,ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．
命题②正确,证明如下:设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n,由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确．
由平面与平面平行的定义知命题③正确．
由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．
答案：②③④
8．解：（1)证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC。

又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.
（2)过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1）知DG⊥平面ABEF。

以G为坐标原点，错误!的方向为x轴正方向，｜错误!｜为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G­xyz.
由（1）知∠DFE为二面角D­AF。

E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝错误!，
可得A(1,4，0),B(－3，4，0)，E（－3,0，0)，D（0，0，3)．由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC。

又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD,CD∥EF。

由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角C­BE.F 的平面角，∠CEF＝60°.从而可得C（－2，0，错误!)．连接AC，则EC，→＝(1，0，错误!），错误!＝（0，4，0），错误!＝(－3，－4，错误!)，错误!＝（－4，0，0）．
设n＝（x，y，z)是平面BCE的法向量,则错误!即错误!
所以可取n＝（3，0，－错误!）．
设m是平面ABCD的法向量，则错误!
同理可取m＝(0，错误!,4)．则cos〈n,m〉＝错误!＝－错误!。

故二面角E。

BC。

A的余弦值为－错误!。

9．解:(1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD。

又由AE＝CF得错误!＝错误!，故AC∥EF。

因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H。

由AB＝5，AC＝6得
DO＝BO＝错误!＝4。

由EF∥AC得错误!＝错误!＝错误!.
所以OH＝1，D′H＝DH＝3.
于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，
故D′H⊥OH.
又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，
所以D′H⊥平面ABCD。

(2）如图，
以H为坐标原点,错误!的方向为x轴正方向，错误!的方向为y轴正
方向，错误!的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系H.xyz。

则H （0，0，0)，A(－3，－1，0)，B（0，－5，0)，C（3，－1，0）,D′(0，0,3)，错误!＝(3，－4，0），错误!＝（6，0,0)，错误!＝(3，1，3)．设m＝(x1，y1，z1）是平面ABD′的法向量，则
错误!即错误!
所以可取m＝（4，3，－5)．
设n＝(x2，y2,z2)是平面ACD′的法向量，
则错误!即错误!
所以可取n＝(0，－3,1)．
于是cos<m，n〉＝错误!＝错误!＝－错误!，
sin〈m，n〉＝错误!。

因此二面角B.D′A­C的正弦值是错误!.
10．解:(1)证明：由已知得AM＝错误!AD＝2。

取BP的中点T，连接AT，TN。

由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝错误!BC＝2。

又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT。

因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.
(2)取BC的中点E,连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而
AE⊥AD，且AE＝AB2－BE2＝错误!＝错误!.
以A为坐标原点，错误!的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A。

xyz。

由题意知，
P（0，0，4)，M(0，2，0）,C错误!，N错误!，错误!＝（0,2，－4)，错误!＝错误!，错误!＝错误!.
设n＝（x，y，z)为平面PMN的法向量,
则错误!
即错误!
可取n＝（0，2，1）．
于是|cos <n，错误!〉|＝错误!＝错误!，
则直线AN与平面PMN所成角的正弦值为错误!.
11．证明：(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1C1∥AC。

在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.
又DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F,
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1。

因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.
又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A ∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1。

因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D。

又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F ＝A1,
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F。

专题9平面解析几何
l1．解析：选A.由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－4）2＝4，故该圆的圆心为(1，4），由点到直线的距离公式得d＝错误!＝1，解得a＝－错误!，故选A.
2．解析：选A。

由题意得（m2＋n)(3m2－n）＞0，解得－m2＜n ＜3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4,即m2＝1，所以－1＜n＜3。

3．解析：选B。

由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝4错误!，｜DE|＝2错误!，可取A错误!，D错误!，设O为坐标原点，由|OA｜＝｜OD|,得错误!＋8＝错误!＋5，得p＝4,所以选B。

4．解析:选A.设F1(－c,0），将x＝－c代入双曲线方程，得c2
a2－错误!
＝1，所以错误!＝错误!－1＝错误!，所以y＝±错误!.因为sin∠MF2F1＝错误!,所以tan∠MF2F1＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!,所以e2－错误!e－1＝0，所以e＝错误!.故选A。

5．解析：选A.设E(0，m）,则直线AE的方程为－错误!＋错误!＝1,由题意可知M错误!,错误!和B(a，0）三点共线，则错误!＝错误!，化简得a ＝3c,则C的离心率e＝错误!＝错误!.
6．解析：选D.根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝错误!x，x2＋y2＝4得x A＝错误!，y A ＝错误!,故四边形ABCD的面积为4x A y A＝错误!＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为错误!－错误!＝1，故选D。

7．解析：设圆心到直线l：mx＋y＋3m－错误!＝0的距离为d，则弦长｜AB|＝2错误!＝2错误!，得d＝3，即错误!＝3，解得m＝－错误!,则直线l：x－错误!y＋6＝0,数形结合可得|CD|＝错误!＝4.
答案：4
8．解析:由于抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0),准线为x＝－1，设点M的坐标为(x，y)，则x＋1＝10,所以x＝9。

故M到y轴的距离
是9。

答案：9
9．解：(1)因为｜AD|＝｜AC｜,EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD ＝∠ADC.
所以|EB|＝｜ED｜,故|EA｜＋|EB|＝|EA｜＋｜ED|＝｜AD｜.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而｜AD｜＝4，
所以|EA｜＋|EB｜＝4.
由题设得A（－1，0)，B(1，0)，｜AB|＝2,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为错误!＋错误!＝1（y≠0）．
(2)当l与x轴不垂直时，
设l的方程为y＝k(x－1)（k≠0)，M(x1，y1)，N（x2，y2）．
由错误!得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝8k2
4k2＋3，
x1x2＝错误!,
所以|MN|＝错误!|x1－x2|＝错误!。

过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y＝－错误!（x－1)，A到m的距
离为
2
k2＋1
，
所以｜PQ｜＝2 错误!＝4 错误!.
故四边形MPNQ的面积S＝错误!｜MN｜｜PQ|＝12错误!。

可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8错误!)．
当l与x轴垂直时,其方程为x＝1，｜MN|＝3，|PQ｜＝8，四边形MPNQ的面积为12.
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为［12，83)．
10．解：(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1＞0.
当t＝4时，E的方程为错误!＋错误!＝1，A（－2，0)．
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为错误!.
因此直线AM的方程为y＝x＋2。

将x＝y－2代入错误!＋错误!＝1得7y2－12y＝0.
解得y＝0或y＝错误!，所以y1＝错误!。

因此△AMN的面积S△AMN＝2×错误!×错误!×错误!＝错误!。

（2)由题意知t＞3，k＞0，A(－错误!，0）．将直线AM的方程y ＝k(x＋错误!）代入错误!＋错误!＝1得
（3＋tk2)x2＋2t·tk2x＋t2k2－3t＝0.
由x1·(－t)＝错误!得x1＝错误!,故
|AM｜＝｜x1＋错误!｜错误!＝错误!.
由题设知，直线AN 的方程为y ＝－1k
（x ＋错误!)，故同理可得|AN |＝错误!.由2｜AM |＝|AN |得错误!＝错误!，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．
当k ＝3，2时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2。

t ＞3等价于错误!＝错误!＜0，即错误!＜0.
由此得错误!或错误!解得错误!＜k ＜2。

因此k 的取值范围是(3
2,2)．
11．解：由题知F 错误!。

设l 1:y ＝a ，l 2：y ＝b ,则ab ≠0，
且A 错误!，B 错误!，P 错误!，Q 错误!，R 错误!。

记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －（a ＋b ）y ＋ab ＝0。

(1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.
记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2,则 k 1＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝－b ＝k 2。

所以AR ∥FQ 。

(2）设l 与x 轴的交点为D （x 1,0），则S △ABF ＝错误!|b －a ｜｜FD |＝错误!|b －a ｜错误!，S △PQF ＝错误!。

由题设可得|b －a ｜错误!＝错误!，所以x 1＝0（舍去）或x 1＝1.
设满足条件的AB的中点为E（x，y）．
当AB与x轴不垂直时，由k AB＝k DE可得错误!＝错误!(x≠1）．
而错误!＝y，所以y2＝x－1（x≠1）．当AB与x轴垂直时,E与D 重合．所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.
12．解：（1）由题意得错误!解得a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程为错误!＋y2＝1.
(2)证明:由(1）知，A（2,0)，B(0，1）．
设P(x0，y0），则x错误!＋4y错误!＝4。

当x0≠0时，直线PA的方程为y＝错误!(x－2）．
令x＝0,得y M＝－
2y0
x0－2，从而｜BM｜＝|1－y M|＝｜1＋错误!｜。

直线PB的方程为y＝错误!x＋1.
令y＝0，得x N＝－错误!，从而｜AN|＝｜2－x N｜＝|2＋错误!|.所以|AN｜·|BM|＝|2＋错误!｜·｜1＋错误!｜
＝｜错误!｜
＝｜错误!|
＝4。

当x0＝0时，y0＝－1，｜BM｜＝2，|AN|＝2，
所以｜AN|·|BM｜＝4.
综上，｜AN|·|BM｜为定值．
专题10计数原理、概率、随机变量及其分布1．解析：选B。

由题意得图：
由图得等车时间不超过10分钟的概率为错误!.
2．解析：选B.由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法,故选B.
3．解析:选C。

设由错误!构成的正方形的面积为S，x错误!＋y错误!＜1构成的图形的面积为S′，所以错误!＝错误!＝错误!,所以π＝错误!,故选C。

4．解析：由(2x＋错误!)5得T r＋1＝C错误!（2x）5－r（错误!）r＝25－r C错误! x5－错误!，令5－错误!＝3得r＝4，此时系数为10。

答案：10
5．解析：由题意知,试验成功的概率p＝错误!，故X～B错误!，
所以E（X）＝2×错误!＝错误!。

答案：错误!
6．解析：二项展开式的通项T r＋1＝C错误!(x2）8－r错误!错误!＝(－1）r C错误!x16－3r，令16－3r＝7，得r＝3，故x7的系数为－C错误!＝－56。

答案：－56
7．解：（1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内
需更换的易损零件数为8，9,10，11的概率分别为0。

2，0。

4,0.2，0.2,从而
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04;
P(X＝17)＝2×0。

2×0。

4＝0。

16;
P（X＝18)＝2×0.2×0。

2＋0。

4×0。

4＝0。

24；
P（X＝19）＝2×0.2×0.2＋2×0。

4×0。

2＝0。

24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P（X＝21）＝2×0.2×0。

2＝0.08；
P(X＝22）＝0.2×0。

2＝0.04。

所以X的分布列为
(2）由（1）知P（X≤18)＝0。

44，P(X≤19)＝0.68,故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元）．当n＝19时，
EY＝19×200×0。

68＋（19×200＋500）×0。

2＋(19×200＋
2×500）×0。

08＋(19×200＋3×500）×0.04＝4 040.
当n＝20时，
EY＝20×200×0。

88＋(20×200＋500）×0.08＋(20×200＋2×500）×0。

04＝4 080。

可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19。

8．解：（1）设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P（A）＝0。

20＋0。

20＋0.10＋0.05＝0.55。

（2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60％”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B）＝0。

10＋0。

05＝0。

15。

又P（AB)＝P(B），故
P(B｜A)＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.
因此所求概率为错误!.
（3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为
EX＝0。

5a×0.20＋1.75a ×0.10＋2a×0.05＝1.23a。

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23。

9．解：(1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D:“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD。

由事件的独立性与互斥性，得
P（E）＝P(ABCD）＋P(ABCD）＋P（ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD）
＝P（A)P(B）P(C）P(D)＋P(A）P(B）P(C)P(D)＋
P(A)P(B）P（C）P(D)＋P（A)P（B)P(C）P（D)＋P(A)P（B)·P(C)P(D)＝错误!×错误!×错误!×错误!＋2×(错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!）＝错误!。

所以“星队”至少猜对3个成语的概率为错误!.
（2)由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6.
由事件的独立性与互斥性,得
P（X＝0）＝1
4
×错误!×错误!×错误!＝错误!,
P(X＝1)＝2×(错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!）＝错误!＝错误!，
P（X＝2)＝错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×2
3
×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!,
P(X＝3)＝错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!＝错误!。

P(X＝4）＝2×（错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!）＝错误!＝错误!，
P(X＝6)＝错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!＝错误!.
可得随机变量X的分布列为
错误!错误!错误!错误!＋4×错误!＋6×错误!＝错误!.
专题11统计、统计案例及算法初步
1．解析：选C。

运行程序，第1次循环得x＝0,y＝1,n＝2，
第2次循环得x＝错误!，y＝2，n＝3，
第3次循环得x＝错误!,y＝6，
此时x2＋y2≥36，输出x，y，满足C选项．
2．解析:选C。

由程序框图知，
第一次循环：x＝2，n＝2，a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；
第二次循环:a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2;
第三次循环：a＝5，s＝6×2＋5＝17,k＝3。

结束循环，输出s 的值为17，故选C.
3．解析:选D.由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确;七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有3个，D错误．4．解析：选B。

运行程序框图,第1次循环，a＝2,b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第2次循环，a＝－2，b＝6，a＝4,s＝10,n＝2；第3次循环,a＝2，b＝4,a＝6，s＝16，n＝3；第4次循环，a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4，结束循环，故输出的n＝4.
5．解：（1）由已知，有P(A）＝错误!＝错误!。

所以,事件A发生的概率为1
3
.
（2)随机变量X的所有可能取值为0,1，2。

P(X＝0)＝错误!＝错误!，
P（X＝1）＝错误!＝错误!，
P（X＝2)＝错误!＝错误!.
所以,随机变量X的分布列为
随机变量X错误!错误!＋2×错误!＝1.
6．解：（1）由折线图中数据和附注中参考数据得
错误!＝4,错误!(t i－错误!)2＝28，
错误!=0。

55,
错误!（t i－错误!）（y i－错误!）=错误!t i y i—错误!错误!y＝40。

17－4×9.32＝2。

89，
r＝错误!≈0.99。

因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
（2）由y＝错误!≈1.331及（1）得错误!＝错误!＝错误!≈0。

103，
错误!＝错误!y－错误!t≈1.331－0。

103×4≈0。

92。

所以,y关于t的回归方程为错误!＝0.92＋0.10t。

将2016年对应的t＝9代入回归方程得错误!＝0。

92＋0。

10×9＝1。

82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1。

82亿吨．
专题12选考部分
选修4－1 几何证明选讲
1．证明:（1）如图，
设E是AB的中点，连接OE.
因为OA＝OB，∠AOB＝120°,
所以OE⊥AB，∠AOE＝60°。

在Rt△AOE中，OE＝错误!AO,即O到直线AB的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB与⊙O相切．
(2)连接OD，因为OA＝2OD,所以O不是A，B,C，D四点所在圆的圆心．设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.
由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的
垂直平分线上，所以OO ′⊥AB .
同理可证，OO ′⊥CD 。

所以AB ∥CD 。

2．解：（1)证明：因为DF ⊥EC ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ,
错误!＝错误!＝错误!，
所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF ，因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°,所以B ，C ,G ，F 四点共圆．
（2）由B ，C ，G ,F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB ，连接GB .
由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG ，因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB 面积S △GCB 的2倍，即
S ＝2S △GCB ＝2×12
×错误!×1＝错误!。

3．解：（1）如图，连接PB ，BC ，则∠BFD ＝∠PBA ＋∠BPD ，∠PCD ＝∠PCB ＋∠BCD .
因为错误!＝错误!，所以∠PBA ＝∠PCB ，又∠BPD ＝∠BCD ,
所以∠BFD＝∠PCD.
又∠PFB＋∠BFD＝180°，
∠PFB＝2∠PCD,
所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°。

（2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F,E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上．又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.
4．证明：在△ADB和△ABC中，
因为∠ABC＝90°，BD⊥AC,∠A为公共角，
所以△ADB∽△ABC，于是∠ABD＝∠C.
在Rt△BDC中，因为E是BC的中点，
所以ED＝EC,从而∠EDC＝∠C.
所以∠EDC＝∠ABD。

选修4－4 坐标系与参数方程
1．解析：将ρcos θ－错误!ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x－错误!
y－1＝0,将ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为（x－1）2＋y2＝1，圆心坐标为(1，0)，半径r＝1,又(1，0）在直线x－3y－1＝0上，所以｜AB｜＝2r＝2.
答案：2
2．解：(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1）2＝a2.C1是以（0，1）为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0。

(2）曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
错误!
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2,可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0,解得a＝－1（舍去)或a＝1。

a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．
所以a＝1.
3．解：(1）由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
(2）在(1）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．
设A，B所对应的极径分别为ρ1,ρ2，将l的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0。

于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11。

｜AB|＝｜ρ1－ρ2|＝错误!
＝错误!。

由|AB｜＝10得cos2α＝错误!，tan α＝±错误!.
所以l的斜率为错误!或－错误!。

4．解：（1)C1的普通方程为x2
3
＋y2＝1,C2的直角坐标方程为x＋y
－4＝0.
(2)由题意,可设点P的直角坐标为错误!.
因为C2是直线，
所以|PQ｜的最小值即为P到C2的距离d（α)的最小值，d（α)＝错误!＝错误!错误!.
当且仅当α＝2kπ＋π
6
（k∈Z）时，d（α)取得最小值，最小值为错误!，
此时P的直角坐标为错误!。

5．解:椭圆C的普通方程为x2＋错误!＝1.
将直线l的参数方程错误!代入x2＋错误!＝1,得。