2016-2017学年安徽省合肥市八年级(下)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年安徽省合肥市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是正确的．
1．（4分）关于x的一元二次方程x2+8x+q＝0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）
A．q＜16B．q＞16C．q≤4D．q≥4
2．（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）
A．x≥1B．x≥2C．x＞1D．x＞2
3．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝1，CD＝2，DA＝，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积是（）
A．2B．C．D．
4．（4分）肇庆市某一周的PM2.5（大气中直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）指数如下表，则该周PM2.5指数的众数和中位数分别是（）
A．150，150B．150，155C．155，150D．150，152.5 5．（4分）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（）
A．10.8（1+x）＝16.8
B．16.8（1﹣x）＝10.8
C．10.8（1+x）2＝16.8
D．10.8[（1+x）+（1+x）2]＝16.8
6．（4分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB＝2，且∠1＝∠2，则下列结论正确个数的有（）
①DF⊥AB；②CG＝2GA；③CG＝DF+GE；④S四边形BFGC＝﹣1．
A．1B．2C．3D．4
7．（4分）如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足AB＝MN，点P是BC的中点，连接AN、PM，若AB＝6，则当AN+PM的最小值时，线段AN的长度为（）
A．4B．2C．6D．3
8．（4分）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）
A．B．3C．6D．9
9．（4分）如图，正方形ABCD的对角线上一动点P，作PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，连接BP，BN，若AB＝3，BP＝，则BN的长为（）
A．B．或C．4D．5
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）
A．2.4B．4C．4.8D．5
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．（5分）计算：﹣+（﹣1）＝．
12．（5分）一张三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于cm．
13．（5分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2，则道路宽x为m．
14．（5分）如图，正方形ABCD中，AD＝4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E 作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EMN的周长是．
三、解答题：每小题8分，共16分．
15．（8分）先化简，再求值：，其中a＝．
16．（8分）若+y2﹣4y+4＝0，求+的值．
四、解答题：每小题8分，共16分．
17．（8分）观察，猜想，证明．
观察下列的等式
①；②；③…
（1）发现上述3个等式的规律，猜想第5个等式并进行验证；
（2）写出含字母n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并写出证明过程．
18．（8分）为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表
（1）求a的值，并把频数直方图补充完整；
（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数．
五、解答题：每小题10分，共20分．
19．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
（1）求AE的长；
（2）当t为何值时，△P AE为直角三角形？
（3）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明
理由．
20．（10分）解下列关于x的方程并化简到最简式：
（1）x2﹣9x+20＝0；
（2）x2+bx+2c＝0且c2﹣cb2﹣2b4＝0（字母只保留b）；
（3）（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0（字母只保留m）．
六、解答题：12分．
21．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．
七、解答题：12分．
22．（12分）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%，
这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
八、解答题：14分．
23．（14分）已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；
（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC 于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；
①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；
②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，
试猜想AG与EF的数量关系，不需证明．
2016-2017学年安徽省合肥市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是正确的．
1．（4分）关于x的一元二次方程x2+8x+q＝0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）
A．q＜16B．q＞16C．q≤4D．q≥4
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+8x+q＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝82﹣4q＝64﹣4q＞0，
解得：q＜16．
故选：A．
2．（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）
A．x≥1B．x≥2C．x＞1D．x＞2
【解答】解：由题意可知：
∴解得：x≥2
故选：B．
3．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝1，CD＝2，DA＝，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积是（）
A．2B．C．D．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝1，
根据勾股定理得：AC＝＝，
在△ACD中，CD＝2，AD＝，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，
则S＝S△ABC+S△ACD＝×1×1+×2×＝+．
故选：B．
4．（4分）肇庆市某一周的PM2.5（大气中直径小于等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）指数如下表，则该周PM2.5指数的众数和中位数分别是（）
A．150，150B．150，155C．155，150D．150，152.5
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：150，150，150，155，155，160，165，则众数为：150，
中位数为：155．
故选：B．
5．（4分）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（）
A．10.8（1+x）＝16.8
B．16.8（1﹣x）＝10.8
C．10.8（1+x）2＝16.8
D．10.8[（1+x）+（1+x）2]＝16.8
【解答】解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：
10.8（1+x）2＝16.8，
故选：C．
6．（4分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB＝2，且∠1＝∠2，则下列结论正确个数的有（）
①DF⊥AB；②CG＝2GA；③CG＝DF+GE；④S四边形BFGC＝﹣1．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠F AG＝∠EAG，∠1＝∠GAD，AB＝AD，∵∠1＝∠2，
∴∠GAD＝∠2，
∴AG＝GD，
∵GE⊥AD，
∴GE垂直平分AD，
∴AE＝ED，
∵F为边AB的中点，
∴AF＝AE，
在△AFG和△AEG中，
，
∴△AFG≌△AEG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEG＝90°，
∴DF⊥AB，
∴①正确；
∵DF⊥AB，F为边AB的中点，
∴AF＝AB＝1，AD＝BD，
∵AB＝AD，
∴AD＝BD＝AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴∠BAC＝∠1＝∠2＝30°，
∴AC＝2AB•cos∠BAC＝2×2×＝2，AG＝＝＝，
∴CG＝AC﹣AG＝2﹣＝，
∴CG＝2GA，
∴②正确；
∵GE垂直平分AD，
∴ED＝AD＝1，
由勾股定理得：DF＝＝＝，
GE＝tan∠2•ED＝tan30°×1＝，
∴DF+GE＝+＝＝CG，
∴③正确；
∵∠BAC＝∠1＝30°，
∴△ABC的边AC上的高等于AB的一半，即为1，
FG＝AG＝，
S四边形BFGC＝S△ABC﹣S△AGF＝×2×1﹣×1×＝﹣＝，
∴④不正确；
故选：C．
7．（4分）如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足AB＝MN，点P是BC的中点，连接AN、PM，若AB＝6，则当AN+PM的最小值时，线段AN的长度为（）
A．4B．2C．6D．3
【解答】解：过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PM∥AE交BD于M，此时，AN+PM的值最小，
∵P是BC的中点，
∴E为CD的中点，
∴PE＝BD，
∵AB＝BD，AB＝MN，
∴MN＝BD，
∴PE＝MN，
∴四边形PENM是平行四边形，
∴EN＝PM，
∵AE＝＝3，
∵AB∥CD，
∴△ABN∽△EDN，
∴＝＝2，
∴AN＝2，
故选：B．
8．（4分）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）
A．B．3C．6D．9
【解答】解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，
∴a+b＝4，ab＝3.5；
根据勾股定理可得：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣7＝9，
∴c＝3，
故选：B．
9．（4分）如图，正方形ABCD的对角线上一动点P，作PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，连接BP，BN，若AB＝3，BP＝，则BN的长为（）
A．B．或C．4D．5
【解答】解：延长NP交AB于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝90°，AB∥CD，
∵PN⊥CD，
∴PN⊥AB，
∴∠HAP＝∠HP A＝45°，
∴AH＝PH，设AH＝PH＝x，则BH＝3﹣x，
在Rt△PBH中，∵PB2＝PH2+BH2，
∴x2+（3﹣x）2＝（）2，
∴x＝1或2，
当x＝1时，BH＝CN＝2，在Rt△BCN中，BN＝＝＝，
当x＝2时，BH＝CN＝1，在Rt△BCN中，BN＝＝，＝．
综上所述，BN的长为或．
故选：B．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若
P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）
A．2.4B．4C．4.8D．5
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC 于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10．
∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，
∴CM＝＝＝，
即PC+PQ的最小值为．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．（5分）计算：﹣+（﹣1）＝﹣﹣2．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2+﹣1
＝﹣﹣2．
故答案为：﹣﹣2．
12．（5分）一张三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，现将纸片折叠：
使点A与点B重合，那么折痕长等于cm．
【解答】解：如图，折痕为GH，
由勾股定理得：AB＝＝10cm，
由折叠得：AG＝BG＝AB＝×10＝5cm，GH⊥AB，
∴∠AGH＝90°，
∵∠A＝∠A，∠AGH＝∠C＝90°，
∴△ACB∽△AGH，
∴＝，
∴＝，
∴GH＝cm．
故答案为：．
13．（5分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2，则道路宽x为1m．
【解答】解：设道路的宽为xm，
根据题意得：32×20﹣32x﹣2×20x+2x2＝570，
整理得：x2﹣36x+35＝0，
解得：x＝1或x＝35（不合题意，舍去）．
故答案为：1．
14．（5分）如图，正方形ABCD中，AD＝4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E 作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，
连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EMN的周长是．
【解答】解：解法一：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，
∵DC∥AB，
∴PQ⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴PE＝PC，
设PC＝x，则PE＝x，PD＝4﹣x，EQ＝4﹣x，
∴PD＝EQ，
∵∠DPE＝∠EQF＝90°，∠PED＝∠EFQ，
∴△DPE≌△EQF，
∴DE＝EF，
∵DE⊥EF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
易证明△DEC≌△BEC，
∴DE＝BE，
∴EF＝BE，
∵EQ⊥FB，
∴FQ＝BQ＝BF，
∵AB＝4，F是AB的中点，
∴BF＝2，
∴FQ＝BQ＝PE＝1，
∴CE＝，PD＝4﹣1＝3，
Rt△DAF中，DF＝＝2，DE＝EF＝，
如图2，∵DC∥AB，
∴△DGC∽△FGA，
∴＝＝2，
∴CG＝2AG，DG＝2FG，
∴FG＝×＝，
∵AC＝＝4，
∴CG＝×＝，
∴EG＝﹣＝，
连接GM、GN，交EF于H，
∵∠GFE＝45°，
∴△GHF是等腰直角三角形，
∴GH＝FH＝＝，
∴EH＝EF﹣FH＝﹣＝，由折叠得：GM⊥EF，MH＝GH＝，∴∠EHM＝∠DEF＝90°，
∴DE∥HM，
∴△DEN∽△MNH，
∴，
∴＝＝3，
∴EN＝3NH，
∵EN+NH═EH＝，
∴EN＝，
∴NH＝EH﹣EN＝﹣＝，
Rt△GNH中，GN＝＝＝，
由折叠得：MN＝GN，EM＝EG，
∴△EMN的周长＝EN+MN+EM＝++＝；
解法二：如图3，过G作GK⊥AD于K，作GR⊥AB于R，
∵AC平分∠DAB，
∴GK＝GR，
∴＝＝＝＝2，
∵＝＝2，
∴，
同理，＝＝3，
其它解法同解法一，
可得：∴△EMN的周长＝EN+MN+EM＝++＝；解法三：如图4，过E作EP⊥AP，EQ⊥AD，
∵AC是对角线，
∴EP＝EQ，
易证△DQE和△FPE全等，
∴DE＝EF，DQ＝FP，且AP＝EP，
设EP＝x，则DQ＝4﹣x＝FP＝x﹣2，
解得x＝3，所以PF＝1，
∴AE＝＝3，
∵DC∥AB，
∴△DGC∽△FGA，
∴同解法一得：CG＝×＝，
∴EG＝﹣＝，
AG＝AC＝，
过G作GH⊥AB，过M作MK⊥AB，过M作ML⊥AD，
则易证△GHF≌△FKM全等，
∴GH＝FK＝，HF＝MK＝，
∵ML＝AK＝AF+FK＝2+＝，DL＝AD﹣MK＝4﹣＝，
即DL＝LM，
∴∠LDM＝45°
∴DM在正方形对角线DB上，
过N作NI⊥AB，则NI＝IB，
设NI＝y，
∵NI∥EP
∴
∴，
解得y＝1.5，
所以FI＝2﹣y＝0.5，
∴I为FP的中点，
∴N是EF的中点，
∴EN＝0.5EF＝，
∵△BIN是等腰直角三角形，且BI＝NI＝1.5，
∴BN＝，BK＝AB﹣AK＝4﹣＝，BM＝，MN＝BN﹣BM＝﹣＝
，
∴△EMN的周长＝EN+MN+EM＝++＝；
故答案为：．
三、解答题：每小题8分，共16分．
15．（8分）先化简，再求值：，其中a＝．【解答】解：原式＝（﹣）÷a＝×＝，
当a＝+1时，
原式＝＝＝．
16．（8分）若+y2﹣4y+4＝0，求+的值．
【解答】解：+y2﹣4y+4＝0，
∴+（y﹣2）2＝0，
∴，
解得，，
∴+＝．
四、解答题：每小题8分，共16分．
17．（8分）观察，猜想，证明．
观察下列的等式
①；②；③…
（1）发现上述3个等式的规律，猜想第5个等式并进行验证；
（2）写出含字母n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并写出证明过程．
【解答】解：（1）猜想：，
验证：右边＝＝左边；
（2）第n﹣1个等式：；
证明：
右边＝＝左边．
18．（8分）为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表
（1）求a的值，并把频数直方图补充完整；
（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数．
【解答】解：（1）a＝50﹣8﹣12﹣10＝20，
；
（2）该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数是：500×＝300（人）．五、解答题：每小题10分，共20分．
19．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
（1）求AE的长；
（2）当t为何值时，△P AE为直角三角形？
（3）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明
理由．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4，∴CD＝AB＝9，∠D＝90°，
∴DE＝9﹣6＝3，
∴AE＝＝＝5；
（2）①若∠EP A＝90°，t＝6；
②若∠PEA＝90°，（6﹣t）2+42+52＝（9﹣t）2，
解得t＝．
综上所述，当t＝6或t＝时，△P AE为直角三角形；
（3）假设存在．
∵EA平分∠PED，
∴∠PEA＝∠DEA．
∵CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAP，
∴∠PEA＝∠EAP，
∴PE＝P A，
∴（6﹣t）2+42＝（9﹣t）2，
解得t＝．
∴满足条件的t存在，此时t＝．
20．（10分）解下列关于x的方程并化简到最简式：（1）x2﹣9x+20＝0；
（2）x2+bx+2c＝0且c2﹣cb2﹣2b4＝0（字母只保留b）；
（3）（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0（字母只保留m）．
【解答】解：（1）∵x2﹣9x+20＝0，
∴（x﹣4）（x﹣5）＝0，
则x﹣4＝0或x﹣5＝0，
解得：x＝4或x＝5；
（2）∵c2﹣cb2﹣2b4＝0，
∴（c+b2）（c﹣2b2）＝0，
则c＝﹣b2或c＝2b2，
∵△＝b2﹣8c，
∴当c＝﹣b2时，△＝b2+8b2＝9b2≥0，则x＝，即x1＝b、x2＝﹣2b；
当c＝2b2时，△＝b2﹣16b2＝﹣15b2＜0，则方程无解．
（3）∵a＝m﹣1、b＝2m、c＝m+3，
∴△＝（2m）2﹣4（m﹣1）（m+3）＝﹣8m+12，
当﹣8m+12＜0，即m＞时，方程无解；
当﹣8m+12≥0，即m≤，且m≠1，x＝＝；
当m＝1时，方程为2x+4＝0，解得x＝﹣2．
六、解答题：12分．
21．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．
【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA＝∠NBE．
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC．
在△ABM和△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM，
∴∠BAM＝∠BCM，
∴∠BCM＝∠BEN，
∵EB＝CB，
∴若连接EC，则∠BEC＝∠BCE，
∵∠BCM＝∠BCE，∠BEN＝∠BEC，
∴M、N可以同时在直线EC上．
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°．
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝．
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2＝EC2，
∴（）2+（x+x）2＝．
解得x1＝，x2＝﹣（舍去负值）．
∴正方形的边长为．
七、解答题：12分．
22．（12分）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少
千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
【解答】解：（1）由题意，得70×（1﹣60%）＝70×40%＝28（千克）；
（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克，
由题意，得x×[1﹣（90﹣x）×1.6%﹣60%]＝12，
整理，得x2﹣65x﹣750＝0
解得：x1＝75，x2＝﹣10（舍去），
（90﹣75）×1.6%+60%＝84%；
答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克．
（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
八、解答题：14分．
23．（14分）已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；
（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC 于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；
①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；
②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，
试猜想AG与EF的数量关系，不需证明．
【解答】（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．
在Rt△ABE中，∵OB＝OE，
∴BE＝2OA＝2，
∵MB＝ME，
∴∠MBE＝∠MEB＝15°，
∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，
∴（2x+x）2+x2＝22，
∴x＝（负根已经舍弃），
∴AB＝AC＝（2+）•，
∴BC＝AB＝+1．
（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．
∵BE⊥AP，
∴∠AHB＝90°，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAH+∠P AC＝90°，
∴∠ABE＝∠P AC，
在△ABE和△CAP中，
，
∴△ABE≌△CAP，
∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，
在△DCF和△DCP中，
，
∴△DCF≌△DCP，
∴∠DFC＝∠P，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴GE＝GF，∵GM⊥EF，
∴FM＝ME，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
∴AM＝CM，
在△GAH和△GAM中，
，
∴△AGH≌△AGM，
∴AH＝AM＝CM＝AC
（3）解：结论：AG＝EF．
理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．
由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，
∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF，
∵△EFP是由△EFG翻折得到，
∴EG＝EP＝GF＝PF，
∴四边形EGFP是菱形，
∴PG⊥AC，OE＝OF，
∵AE＝CF，
∴AO＝OC，
∵AB∥OP，
∴BP＝PC，
∵PF∥BE，
∴EF＝CF＝AE，
∵PB＝PC，AO＝OC，
∴PO＝OG＝AB，
∴AB＝PG，AB∥PG，
∴四边形ABPG是平行四边形，
∴AG∥BC，
∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，
∴AG＝EF．。