【名师伴你行】高考物理二轮复习 万有引力定律及应用提能专训

提能专训(五) 万有引力定律及应用
时间：90分钟 满分：100分
一、选择题(本题共14小题，每小题4分，共56分．多选全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分
)
1. 地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆．天文学家哈雷曾经在1662年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会再次出现．这颗彗星最近出现的时间是1986年，它下次飞近地球大约是哪一年( )
A ．2042年
B ．2052年
C ．2062年
D ．2072年 答案：C
解析：根据开普勒第三定律有T 彗T 地＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫R 彗R 地
32
＝18 3
2 ＝76.4，又T 地＝1年，所以T 彗≈76
年，彗星下次飞近地球的大致年份是1986＋76＝2062年，本题答案为C.
2．(2014·浙江理综)长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r 1＝19 600 km ，公转周期T 1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r 2 ＝48 000 km ，则它的公转周期T 2最接近于( )
A ．15天
B ．25天
C ．35天
D ．45天 答案：B
解析：由开普勒第三定律可得r 31T 21＝r 32
T 22
，解得T 2＝T 1
⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 13＝6.39×⎝ ⎛⎭
⎪⎫48 00019 6003＝24.5(天)，故选B.本题也可利用万有引力定律对“卡戎星”和小卫星分别列方程，联立方程组求解．
3．(2014·福建理综)若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p 倍，半径为地球的q 倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( )
A.pq 倍
B.
q
p
倍 C.
p
q
倍 D.pq 3
倍
答案：C
解析：卫星绕中心天体做圆周运动时，万有引力充当向心力，即G Mm r 2＝m v 2
r ，得v ＝
GM
r
，可见环绕速度与中心天体质量和半径比值的平方根成正比，题述行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的
p
q
倍，C 项正确． 4．(2014·天津理综)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )
A ．距地面的高度变大
B ．向心加速度变大
C ．线速度变大
D ．角速度变大
答案：A
解析：卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，即G Mm r 2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，得r ＝3GMT 2
4π2，
由于同步卫星的周期等于地球的自转周期，当地球自转变慢，自转周期变大，则同步卫星做圆周运动的半径会变大，离地面的高度变大，A 项正确；由G Mm r 2＝ma 得，a ＝GM r
2，半径变大，
向心加速度变小，B 项错误；由G Mm r 2＝m v 2
r
得，v ＝
GM
r
，半径变大，线速度变小，C 项错误；由ω＝2π
T
分析得，同步卫星的周期变大，角速度变小，D 项错误．
5.
2013年11月26日，中国探月工程副总指挥李本正在国防科工局举行的“嫦娥三号”任务首场发布会上宣布，我国首辆月球车——“嫦娥三号”月球探测器的巡视器全球征名活动结束，月球车得名“玉兔”号．图示是“嫦娥三号”巡视器和着陆器，月球半径为R 0，月球表面处重力加速度为g 0.地球和月球的半径之比为R
R 0＝4，表面重力加速度之比为g g 0
＝6，地
球和月球的密度之比ρ
ρ0
为( )
A.23
B.3
2 C ．4 D ．6 答案：B
解析：设星球的密度为ρ，由G
Mm ′R 2＝m ′g 得GM ＝gR 2
，ρ＝M V ＝
M 43
πR
3
，联立解得：ρ＝
3g 4G πR ，设地球、月球的密度分别为ρ、ρ0，则：ρρ0＝g ·R 0g 0R ，将g g 0＝6和R
R 0
＝4代入上式，解得：ρρ0＝3
2
，选项B 正确．
6.
2013年12月14日21时许，“嫦娥三号”携带“玉兔”探测车在月球虹湾成功软着陆，在实施软着陆过程中，“嫦娥三号”离月球表面4 m 高时最后一次悬停，确认着陆点．若总质量为M 的“嫦娥三号”在最后一次悬停时，反推力发动机对其提供的反推力为F ，已知引力常量为G ，月球半径为R ，则月球的质量为( )
A.FR 2MG
B.FR MG
C.MG FR
D.MG FR
2 答案：A
解析：“嫦娥三号”在月球表面悬停，则F ＝Mg ，由GMm R 2＝F ，变形得m ＝FR 2
GM
，A 正确．
7．“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T ，已知引力常量为G ，半径为R 的球体体积公式V ＝43
πR 3
，则可估算月球的( )
A ．密度
B ．质量
C ．半径
D ．自转周期
答案：A
解析：“嫦娥二号”在近月轨道运行，其轨道半径约为月球半径，由GMm R ＝m 4π2
T R 及ρ
＝M V ，V ＝43πR 3
可求得月球密度ρ＝3πGT
2，但不能求出质量和半径，A 项正确，B 、C 项错误；公式中T 为“嫦娥二号”绕月运行周期，月球自转周期无法求出，D 项错误.
8．(2014·贵州六校联考)“嫦娥二号”环月飞行的高度为100 km ，所探测到的有关月球的数据将比环月飞行高度为200 km 的“嫦娥一号”更加详实．若两颗卫星环月的运行均可视为匀速圆周运动，运行轨道如图所示．则( )
A ．“嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”大
B ．“嫦娥二号”环月运行的线速度比“嫦娥一号”小
C ．“嫦娥二号”环月运行的向心加速度比“嫦娥一号”大
D ．“嫦娥二号”环月运行的向心力与“嫦娥一号”相等 答案：C
解析：据F 向＝G Mm r 2＝m v 2r ＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2
r ＝ma 可得v ＝
GM
r ，T ＝2πr 3GM ，a ＝GM
r
2，可知r 越小，v 越大，T 越小，a 越大，故选项A 、B 错，C 项正确；因不知“嫦娥一号”和“嫦娥二号”的质量，故无法比较它们所受向心力的大小，则D 项错．
9．(2014·内蒙古包头测评)火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目．假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为T 1，神舟飞船在地球表面附近圆形轨道运行的周期为T 2，火星质量与地球质量之比为p ，火星半径与地球半径之比为q ，则T 1与T 2之比为( )
A.pq 3
B.1
pq 3
C.
p
q 3 D.q 3p
答案：D
解析：对火星探测器有：G M 1m 1R 21＝m 14π
2
T 21R 1，解得T 1＝2π
R 31
GM 1；对神舟飞船有：G M 2m 2R 22
＝m 2
4π
2
T 22
R 2，解得T 2＝2π
R 32
GM 2，则T 1T 2＝R 1
R 2
3
·M 2M 1＝q 3
p
，选项D 正确． 10．(2014·云南第一次检测)(多选)如图所示，两星球相距为L ，质量比为m A ∶m B ＝1∶9，两星球半径远小于L .从星球A 沿A 、B 连线向B 以某一初速度发射一探测器．只考虑星球A 、B 对探测器的作用，下列说法正确的是( )
A ．探测器的速度一直减小
B ．探测器在距星球A 为L
4
处加速度为零
C ．若探测器能到达星球B ，其速度可能恰好为零
D ．若探测器能到达星球B ，其速度一定大于发射时的初速度 答案：BD
解析：从A 星球发射探测器沿直线运动到B 星球的过程中，探测器同时受A 星球和B 星球的万有引力，根据万有引力公式F ＝
GMm
r 2
知，A 星球对探测器的万有引力减小，B 星球对探测器的万有引力增大，存在一位置，在此位置探测器受到合外力为零，设此位置距A 星球的距离为x ，则有
Gm A m x 2＝Gm B m L －x
2
，得x ＝1
4
L ，探测器从A 星球运动到此点过程是做减速运
动，从此点到B 星球做加速运动，选项A 、C 错；由F 合＝ma 得，探测器在距星球A 为1
4L 处
加速度为零，B 项对；减速距离小于加速距离，即14L <3
4L ，加速阶段的万有引力做的正功多
于减速阶段的万有引力做的负功，则探测器到达B 星球的速度大于其发射速度，D 项对．
11．四颗地球卫星a 、b 、c 、d 的排列位置如图所示，其中，a 是静止在地球赤道上还未发射的卫星，b 是近地轨道卫星，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，四颗卫星相比较( )
A ．a 的向心加速度最大
B ．相同时间内b 转过的弧长最长
C ．c 相对于b 静止
D ．d 的运行周期可能是23 h 答案：B
解析：同步卫星的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则a 与c 的角速度相同，根据a ＝ω2
r 、v ＝ωr 知，c 的向心加速度、线速度比a 大．由G Mm
r 2＝ma 得a ＝G M r
2，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星c 的向心加速度小于b 的向心加速度大于d 的向
心加速度，故b 的向心加速度最大，选项A 错误；由G Mm r 2＝m v 2
r 得v ＝
GM
r
，卫星的轨道半径越小，线速度越大，则同步卫星的线速度小于b 的线速度，故相同时间内b 通过的弧长最大，选项B 正确；由G Mm r
2＝m ω2
r 得ω＝
GM
r 3
，卫星b 、c 轨道半径不同角速度不同，选项C 错误；由G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2
r 得出T ＝2π
r 3
GM
，卫星半径越大、周期越大，d 的周期应大于24 h ，选项D 错误．
12. (2014·甘肃武威六中调研)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统，设某双星系统绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示，若AO <OB ，则( )
A ．星球A 的向心力一定大于
B 的向心力 B ．星球A 的线速度一定大于B 的线速度
C ．星球A 的角速度一定小于B 的角速度
D ．星球A 的质量一定大于B 的质量 答案：D
解析：双星间的万有引力充当其做圆周运动的向心力，由牛顿第三定律可知，两星受到的引力即向心力大小相等，所以A 项错误；双星的运动周期及角速度相同，根据v ＝ωr 可知v 1<v 2，即星球A 的线速度一定小，所以选项B 、C 错误；根据m 1ω2
r 1＝m 2ω2
r 2，因为AO <OB ，
故可知m 1>m 2，所以D 项正确．
13. 我国未来将建立月球基地并在绕月轨道上建造空间站．如图所示，关闭发动机的航天飞机A 在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B 处与空间站对接．已知空间站绕月轨道半径为r ，周期为T ，引力为常量G ，月球的半径为R ，下列判断错误的是( )
A ．航天飞机到达
B 处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须减速 B ．图中的航天飞机正在加速飞向B 处
C ．月球的质量M ＝4π2r 3
GT
2
D ．月球的第一宇宙速度v ＝2πr
T
答案：D
解析：航天飞机到达B 处时速度比较大，如果不减速此时万有引力不足以提供向心力，这时航天飞机将做离心运动，故A 正确；因为航天飞机越接近月球，受到的万有引力越大，加速度越大，所以正在加速飞向B 处，故B 正确；由万有引力提供空间站做圆周运动的向心
力，则G Mm r 2＝m 4π2r T 2，整理得M ＝4π2r 3
GT 2，故C 正确；速度v ＝
2πr
T
是空间站在轨道r 上的线速度，而不是围绕月球表面运动的第一宇宙速度，故D 错误．
14. (2014·山东青岛一模)(多选)2013年12月6日17时47分，在北京飞控中心工作
人员的精密控制下，“嫦娥三号”开始实施近月制动，进入100千米环月轨道Ⅰ，2013年12月10日21时20分左右，“嫦娥三号”探测器再次变轨，从100千米的环月圆轨道Ⅰ降低到近月点(B 点)15千米、远月点(A 点)100千米的椭圆轨道Ⅱ，为下一步月面软着陆做准备．关于“嫦娥三号”卫星，下列说法正确的是( )
A ．卫星在轨道Ⅱ上A 点的加速度小于在
B 点的加速度
B ．卫星沿轨道Ⅰ运动的过程中，卫星中的科考仪器处于失重状态
C ．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，在A 点应加速
D ．卫星在轨道Ⅱ经过A 点时的动能小于在轨道Ⅱ经过B 点时的动能 答案：ABD
解析：根据牛顿第二定律得a ＝F m ＝GM r
2，r 为该点到地心的距离，A 为远地点，B 为近地点，故a A ＜a B ，A 正确；卫星沿轨道Ⅰ运动的过程中，万有引力提供向心力，处于完全失重状态，B 正确；卫星由高轨道变轨到低轨道需要在相切点减速，C 错误；近地点速度大于远地点速度，故卫星在轨道Ⅱ经过A 点时的动能小于在轨道Ⅱ经过B 点时的动能，D 正确．
二、计算题(本题包括3小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案不能得分)
15．(2014·重庆理综) (14分)如图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图．首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月面高度为h 1处悬停(速度为0，h 1远小于月球半径)；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h 2处的速度为v ，此后发动机关闭，探测器仅受重力下落至月面，已知探测器总质量为m (不包括燃料)，地球和月球的半径比为k 1，质量比为k 2，地球表面附近的重力加速度为g ，求：
(1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小； (2)从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化．
答案：(1)k 21k 2g
v 2
＋2k 21gh 2k 2 (2)12mv 2－k 2
1
k 2
mg (h 1－h 2)
解析：(1)设地球的质量和半径分别为M 和R ，月球的质量、半径和表面附近的重力加速度分别为M ′、R ′和g ′，探测器刚接触月面时的速度大小为v 1.
由mg ′＝G M ′m R ′2和mg ＝G Mm R 2，得g ′＝k 21
k 2
g .
由v 2
1
－v 2
＝2g ′h 2，得v 1＝
v 2
＋2k 2
1gh 2
k 2
.
(2)设机械能变化量为ΔE ，动能变化量为ΔE k ，重力势能变化量为ΔE p . 由ΔE ＝ΔE k ＋ΔE p ，
有ΔE ＝12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫v 2＋2k 2
1gh 2k 2－m k 2
1
k 2
gh 1，
得ΔE ＝12mv 2－k 2
1
k 2
mg (h 1－h 2)．
16．(14分)在半径R ＝5 000 km 的某星球表面，宇航员做了如下实验，实验装置如图甲所示．竖直平面内的光滑轨道由轨道AB 和圆弧轨道BC 组成，将质量m ＝0.2 kg 的小球，从轨道AB 上高h 处的某点由静止滑下，用力传感器测出小球经过C 点时对轨道的压力F ，改变h 的大小，可测出相应的F 大小，F 随h 的变化关系如图乙所示，求：
(1)圆轨道的半径及星球表面的重力加速度； (2)该星球的第一宇宙速度．
答案：(1)0.2 m 5 m/s 2
(2)5 000 m/s
解析：(1)小球从高度h 滑到轨道最高点C 点，根据动能定理有mg (h －2R )＝12
mv 2
，通过
最高点C 点时，重力和轨道向下的弹力提供向心力有F ＋mg ＝mv 2
R
，
整理可得
F ＝
2mg h －2R －mgR R ＝2mgh
R
－5mg
观察乙图可知，当F ＝0时，h ＝0.5 m ，即5mg ＝2mg ×0.5
R
，代入计算得R ＝0.2 m
斜率2mg R
＝10，解得g ＝5 m/s 2
(2)该星球第一宇宙速度即该星球表面近地卫星的线速度，根据万有引力提供向心力有
GMm R ＝mg ＝mv 2
R
代入得v ＝gR ＝5 000 m/s
17. (16分)如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L .已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧，引力常量为G .
(1)求两星球做圆周运动的周期．
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T 2.已知地球和月球的质量分别为 5.98×1024
kg 和7.35×1022
kg.求T 2与T 1两者平方之比．(结果保留3位小数)
答案：(1)2π
L 3
G M
＋m
(2)1.012
解析：(1)设两个星球A 和B 做匀速圆周运动的轨道半径分别为r 和R ，A 和B 绕O 点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等，且A 、B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期．
因此有m ω2
r ＝M ω2
R ，r ＋R ＝L 联立解得R ＝
m
M ＋m L ，r ＝M
M ＋m
L 对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律，得
G Mm L 2＝m 4π2T 2M
M ＋m
L 化简得T ＝2π
L 3
G M ＋m
(2)将地月看成双星，由(1)得T 1＝2πL 3
G M ＋m
将月球看做绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律，得G Mm L 2＝m 4π2
T 22L 化简得T 2＝2πL 3
GM
所以两种周期的平方比值为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫T 2T 12＝M ＋m M ＝5.98×1024＋7.35×10225.98×1024≈1.012。