高中数学 1.2.2 函数的表示法导学案 新人教A版必修1

1.2.2函数的表示法
课前预习· 预习案
【自主学习】
1．函数的三种表示法
2．映射
3．分段函数
在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，函数有着不同的 .
【预习评价】
1．已知函数由下表给出，则
A.1
B.2
C.3
D.4
2．已知反比例函数满足，的解析式
为 .
3．下列对应是从集合A到集合B映射的是
①；
②；
③；
④.
A. ①②
B.①③
C.③④
D.②④
4．已知则 .
5．已知在映射的作用下与对应，则在映射的作用下与对应.
知识拓展· 探究案
【合作探究】
1．函数的表示法——列表法与图象法
在一次国际比赛中某三名铅球运动员决赛的成绩如表(单位：m).
请根据上表探究下面的问题：
(1).上表反映了4个函数关系，这些函数的自变量是什么？定义域是什么？
(2).上述函数能用解析式表示吗？
(3).若想分析三名运动员的成绩变化情况，采用哪种方法恰当？
(4).在同一坐标系内画出上述函数的图象并完成下面的填空：
①从图形中分析甲运动员的成绩 .
②从图形中分析乙运动员的成绩 .
2．根据下面的提示，完成下面的问题：
(1)一次函数的解析式可设为；反比例函数可设
为；二次函数的一般式可设为 .
(2)设出解析式后，如何求解析式？
3．若函数满足对任意有，此式子中的换为是否仍然成立？
4．分段函数
若某分段函数的解析式为，据其探究下列问题：
(1)此分段函数由几部分组成，它表示几个函数？
(2)根据有关的提示填空，明确分段函数具有的性质.
①由分段函数的概念知，此函数的定义域为 .
②若给定，则当时，；当时，
.
5．映射的判断
(1)观察上面的四组对应，思考下面的问题：
①四组对应中，集合A中元素在集合B中是否都有元素与之对应？
②对应(1)与其余三组对应有何不同？
③四组对应中哪些能构成从集合到集合的映射？
(2)从这几组对应中，你能发现映射有什么特点？
【教师点拨】
1．求函数解析式的三个关注点
(1)换元法求函数的解析式时，要注意换元后自变量的取值范围.
(2)用待定系数法求解析式是针对已知函数类型的问题.
(3)函数式中若含有自变量的对称形式，如：与或可通过构造对称方程求解.
2．对解析法的说明
利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，并不是所有的函数都可以用解析式表示，同时利用解析法表示函数要注明函数的定义域.
3．对列表法与图像法的说明
(1)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性.
(2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点.
4．映射的四个特征
(1)确定性：集合、集合与对应关系是确定的一个整体.
(2)非空性：集合、集合都必须是非空集合.
(3)方向性：从集合到集合的映射与从集合到集合的映射是不同的映射.
(4)多样性：映射的对应方式可以是多对一，也可以是一对一.
5．处理分段函数的求值和作图象时的两个注意点
(1)分段函数求值要先找准自变量所在区间及所对应的解析式，然后求值.
(2)分段函数的图象是由几段曲线构成，作图时要注意衔接点的虚实.
【交流展示】
1．已知,则
A. B. C. D.
2．已知,求.
3．作出函数的图象,并说明该函数的图象与的图象之间的关系.
4．某公司试销一种成本单价为500元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元,经试销调查发现,销售量(件)与销售单价(元)之间的关系可近似看作一次函数,其图象如图所示,求此函数的解析式.
5．设则的值为
A.10
B.11
C.12
D.13
6．若函数则 .
7．已知集合，集合，按照下列对应法则能构成集合到集合的映射的是
A. B.
C. D.
8．下列各个对应中，构成映射的是
A. B. C. D.
【学习小结】
1．判断一个对应是否为映射的两点主要依据
(1)任意性：集合中每一个元素，在集合中是否都有元素与之对应.
(2)唯一性：集合中任一元素在集合中是否都有唯一的元素与之对应.
2．分段函数图象的特点及画法
(1)特点：分段函数的图象可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几条线段.
(2)画法：画分段函数的图象要分段画，当函数式中含有绝对值符号时，首先要根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后再画图象.
3．分段函数求函数值的步骤及注意点
(1)步骤：
①确定要求值的自变量属于哪一段区间；
②代入该段的解析式求值，直到求出值为止.
(2)注意点：当出现的形式时，应从内到外依次求值.
4．列表法表示函数的使用范围及生活中的实例
(1)适用范围：列表法主要适用于自变量个数较少，且为有限个，并且自变量的取值为孤立的实数，同时当变量间的关系无规律时，也常采用列表法表示两变量之间的关系.
(2)生活中的实例：生活中经常见到的银行利率表、列车时间表、国民生产总值表等都是采用列表法.
5．图象平移变换的一般原则
(1)左右平移：的图象的图象.
(2)上下平移：的图象的图象. 6．作函数图象的三个步骤
7．求函数解析式的常见类型及解法
(1)已知类型：函数类型已知，一般用待定系数法，但对于二次函数问题要注意一般式：
，顶点式：，两根式：
的选择.
(2)已知型：解答已知求型问题可采用配凑法，也可采用换元法.
(3)函数方程问题，需建立关于的方程组，若函数方程中同时出现，则一般用代之；若同时出现，一般用代替，构造另一个方程. 提醒：求函数解析式时要严格考虑函数的定义域.
【当堂检测】
1．设函数若，则实数
A.-4或-2
B.-4或2
C.一2或4
D.-2或2
2．在给定映射即的条件下，与中元素
对应的中元素是
A. B.或
C. D.或
3．函数的图象为
A. B.
C. D.
4．判断下面的对应是否为集合到集合的映射
(1).对应关系.
(2)，对应关系.
5．已知，若到的映射满足，求
满足的所有映射.
答案
课前预习· 预习案
【自主学习】
1．数学表达式图象表格
2．非空非空对应关系f任意一个唯一确定f:A→B 3．对应关系
【预习评价】
1．C
2．
3．C
4．2
5．(7，12)
知识拓展· 探究案
【合作探究】
1．(1)自变量为投掷的次数；定义域为{1，2，3，4，5}.
(2)不能，因为自变量依次取值时，函数值的变化趋势不确定.
(3)采用图象法较好，因为图象比较直观形象.
(4)在同一坐标系内画出函数的图象如下，
①高于平均成绩②低于平均成绩，但成绩每次都有提升
2．(1)y＝kx＋b，k≠0，k≠0y＝ax2＋bx＋c，a≠0
(2)①可将已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组；②解方程或方程组，求出待定系数的值；
③将所求待定系数的值代回到原式，即得函数的解析式.
3．因为对任意的x≠0有，而，所以将上式中的x换为仍然成立.
4．(1)此分段函数由两部分组成，它表示一个函数.
(2)①Ｄ1∪D2②f(x0) g(x0)
5．(1)①对于四组对应，集合A中的任何一个元素，按照某种对应关系，在集合B中都有元素和它对应.
②对应(1)中A中的元素在B中的对应元素不唯一，而对应(2)(3)(4)中A中的任何一个元素，通过对应关系，在B中都有唯一的元素和它对应.
③根据映射的概念，(2)(3)(4)组的对应可以构成从集合A到集合B的映射.
(2)(1)映射可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多.(2)集合B中可以有多余的元素，但集合A中不能有多余的元素.
【交流展示】
1．A
2．设,则,t≠1.则
.所以f(x)＝x2－x ＋1(x≠1).
3．,
作图过程：将的图象沿x轴向右平移1个单位,得到函数的图象,再将函数
的图象向上平移2个单位,即可得到函数的图象,如图.
4．由图象知,当x＝600时,y＝400；当x＝700时,y＝300,代入y＝kx＋b(k≠0)中,得
解得
所以y＝－x＋1000(500≤x≤800).
5．B
6．2
7．B
8．D
【当堂检测】
1．B
2．B
3．C
4．(1)集合A中元素6在对应关系f作用下为3，而3∉B，故对应关系f不是集合A到集合B的映射.
(2)在对应关系f作用下，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应关系f是集合A到集合B的映射.
5．将式子f(a)－f(b)＝f(c)改为f(a)＝f(b)＋f(c)，由0＋0＝0，－1＋0＝－1，0＋(－1)＝－1，1＋0＝1，0＋1＝1，－1＋1＝0，1＋(－1)＝0知，满足条件的映射有：。