上海市松江区2019-2020学年中考数学三模考试卷含解析

上海市松江区2019-2020学年中考数学三模考试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠1)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜1；②a﹣b+c＜1；③b+2a ＜1；④abc＞1．其中所有正确结论的序号是( )
A．③④B．②③C．①④D．①②③
2．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=1．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（）
A．1，2 B．1，3
C．4，2 D．4，3
3．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）
A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2﹣3 C．y=（x+2）2+3 D．y=（x+2）2﹣3
4．若代数式
1
1
x
x
+
-
有意义，则实数x的取值范围是（）
A．x≠1B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠1 5．下列运算正确的是（）
A．a﹣3a=2a B．（ab2）0=ab2C．8=22
±D．3×27=9
6．一组数据是4，x，5，10，11共五个数，其平均数为7，则这组数据的众数是（）
A．4 B．5 C．10 D．11
7．已知抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a，则抛物线的顶点不可能在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（）
A．（﹣1，0）B．（4，0）C．（5，0）D．（﹣6，0）
9．在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（）
A．B．C．D．
10．如图，点A，B为定点，定直线l//AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：
①线段MN的长；
②△PAB的周长；
③△PMN的面积；
④直线MN，AB之间的距离；
⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（）
A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤
11．如图,从一块圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC,使点A、B、C在圆周上, 将剪下的扇形作为一个圆锥侧面,如果圆锥的高为330cm,则这块圆形纸片的直径为( )
A．12cm B．20cm C．24cm D．28cm
12．如果k＜0，b＞0，那么一次函数y=kx+b的图象经过( )
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．点P的坐标是（a,b），从-2，-1,0,1,2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值，则点P（a,b）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是.
14．和平中学自行车停车棚顶部的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为____m．
15．如图，已知CD 是Rt △ABC 的斜边上的高，其中AD=9cm ，BD=4cm ，那么CD 等于_______cm.
16．如图，在⊙O 中，点B 为半径OA 上一点，且OA ＝13，AB ＝1，若CD 是一条过点B 的动弦，则弦CD 的最小值为_____．
17．如图，PA ，PB 分别为O e 的切线，切点分别为A 、B ，P 80∠=o ，则C ∠=______．
18．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD 的度数是_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率；转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．
20．（6分）计算：﹣（﹣2）0+|1﹣|+2cos30°．
21．（6分）某商场甲、乙两名业务员10个月的销售额（单位：万元）如下：
甲7.2 9.69.67.89.3 4 6.58.59.99.6
乙 5.89.79.76.89.96.98.26.78.69.7
根据上面的数据，将下表补充完整：
4.0≤x≤4.9
5.0≤x≤5.9
6.0≤x≤6.9
7.0≤x≤7.9
8.0≤x≤8.9
9.0≤x≤10.0
甲 1 0 1 2 1 5
乙____ ____ _____ ______ _____ _______
（说明：月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，7.0～7.9万元为良好，6.0～6.9万元为合格，6.0万元以下为不合格）
两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
结论：
人员平均数（万元）中位数（万元）众数（万元）
甲8.2 8.9 9.6
乙8.2 8.4 9.7
（1）估计乙业务员能获得奖金的月份有______个；
（2）可以推断出_____业务员的销售业绩好，理由为_______．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）22．（8分）如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+1．求抛物线的表达式；在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（8分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE与对角线AC交于点F，FG∥AD，且FG=EF.
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）联结AE ，又知AC ⊥ED ，求证：
21
·2
AE EF ED = .
24．（10分）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，AQ ⊥BE 于点Q ，DP ⊥AQ 于点P ．求证：AP=BQ ；在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长．
25．（10分）如图：求作一点P ，使PM PN =，并且使点P 到AOB ∠的两边的距离相等．
26．（12分）在“双十二”期间，,A B 两个超市开展促销活动，活动方式如下：
A 超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；
B 超市：购物金额打8折．
某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在,A B 两个超市的标价相同，根据商场的活动方式： （1）若一次性付款4200元购买这种篮球，则在B 商场购买的数量比在A 商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；
（2）学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案） 27．（12分）如图，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上一点，点E 是AC 的中点，过点A 作⊙O 的切线交BD 的延长线于点F ．连接AE 并延长交BF 于点C ． （1）求证：AB=BC ； （2）如果AB=5，tan ∠FAC=
1
2
，求FC 的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
试题分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①当x=1时，y=a+b+c=1，故本选项错误；
②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜1，故本选项正确；
③由抛物线的开口向下知a＜1，
∵对称轴为1＞x=﹣＞1，
∴2a+b＜1，
故本选项正确；
④对称轴为x=﹣＞1，
∴a、b异号，即b＞1，
∴abc＜1，
故本选项错误；
∴正确结论的序号为②③．
故选B．
点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞1；否则a＜1；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣b2a判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞1；否则c＜1；
（4）当x=1时，可以确定y=a+b+C 的值；当x=﹣1时，可以确定y=a ﹣b+c 的值． 2．A 【解析】
试题分析：通过猜想得出数据，再代入看看是否符合即可．
解：一只手伸出1，未伸出4，另一只手伸出2，未伸出3，伸出的和为3×10=30， 30+4×3=42， 故选A ．
点评：此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系． 3．D 【解析】 【分析】
先得到抛物线y=x 2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（-2，-1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】
解：抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到对应点的坐标为（-2，-1），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-1． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4．D 【解析】
试题分析：∵代数式1
1
x +- ∴10{
x x -≠≥，
解得x≥0且x≠1． 故选D ．
考点：二次根式，分式有意义的条件． 5．D 【解析】 【分析】
直接利用合并同类项法则以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质分别化简得出答案．
解：A、a﹣3a=﹣2a，故此选项错误；
B、（ab2）0=1，故此选项错误；
C=故此选项错误；
D，正确．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了合并同类项以及二次根式的性质、二次根式乘法、零指数幂的性质，正确把握相关性质是解题关键．
6．B
【解析】
试题分析：（4+x+3+30+33）÷3=7，
解得：x=3，
根据众数的定义可得这组数据的众数是3．
故选B．
考点：3．众数；3．算术平均数．
7．D
【解析】
【分析】
求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．
【详解】
抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a的顶点的横坐标为：x＝﹣21
2
a+
＝﹣a﹣
1
2
，
纵坐标为：y＝
()()2
2
421
4
a a a
--+
＝﹣2a﹣
1
4
，
∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y＝2x+3
4
，
∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．8．C
【解析】
根据二次函数解析式求得对称轴是x=3，由抛物线的对称性得到答案． 【详解】
解：由二次函数2
6y x x m =-+得到对称轴是直线3x =，则抛物线与x 轴的两个交点坐标关于直线3
x =对称，
∵其中一个交点的坐标为()1,0，则另一个交点的坐标为()5,0， 故选C ． 【点睛】
考查抛物线与x 轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质． 9．D 【解析】 【分析】
先求出一次函数的关系式，再根据函数图象与坐标轴的交点及函数图象的性质解答即可． 【详解】
由题意知，函数关系为一次函数y=-1x+4，由k=-1＜0可知，y 随x 的增大而减小，且当x=0时，y=4， 当y=0时，x=1． 故选D ． 【点睛】
本题考查学生对计算程序及函数性质的理解．根据计算程序可知此计算程序所反映的函数关系为一次函数y=-1x+4，然后根据一次函数的图象的性质求解． 10．B 【解析】 试题分析：
①、MN=
1
2
AB ，所以MN 的长度不变； ②、周长C △PAB =1
2（AB+PA+PB ），变化；
③、面积S △PMN =14S △PAB =14×1
2
AB·h ，其中h 为直线l 与AB 之间的距离，不变;
④、直线NM 与AB 之间的距离等于直线l 与AB 之间的距离的一半，所以不变； ⑤、画出几个具体位置，观察图形，可知∠APB 的大小在变化． 故选B
考点：动点问题，平行线间的距离处处相等，三角形的中位线 11．C 【解析】
设这块圆形纸片的半径为R ，圆锥的底面圆的半径为r ，利用等腰直径三角形的性质得到R ，利
用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr=
90π180
⋅，解得
r=
4R R ）2=（2+（4
R ）2，再解方程求出R 即可得到这块圆形纸片的直径． 【详解】
设这块圆形纸片的半径为R ，圆锥的底面圆的半径为r ，则R ，根据题意得：
2πr=
90π
180⋅，解得：r=
4R R ）2=（2+（4
R ）2，解得：R=12，所以这块圆形纸片的直径为24cm ． 故选C ． 【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 12．D 【解析】 【分析】
根据k 、b 的符号来求确定一次函数y=kx+b 的图象所经过的象限． 【详解】 ∵k ＜0，
∴一次函数y=kx+b 的图象经过第二、四象限． 又∵b ＞0时，
∴一次函数y=kx+b 的图象与y 轴交与正半轴． 综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限． 故选D ． 【点睛】
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限．k ＜0时，直线必经过二、四象限．b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．
【解析】
画树状图为：
共有20种等可能的结果数,其中点P(a，b)在平面直角坐标系中第二象限内的结果数为4，
所以点P(a，b)在平面直角坐标系中第二象限内的概率=4
20
=
1
5
.
故答案为1 5 .
14．1．
【解析】
【分析】
由CD⊥AB，根据垂径定理得到AD＝DB＝8，再在Rt△OAD中，利用勾股定理计算出OD，则通过CD ＝OC−OD求出CD．
【详解】
解：∵CD⊥AB，AB＝16，
∴AD＝DB＝8，
在Rt△OAD中，AB＝16m，半径OA＝10m，
∴OD2222
OA AD108
-=-＝6，
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝1（m）．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了切线的性质定理以及勾股定理．
15．1
【解析】
【分析】
利用△ACD∽△CBD，对应线段成比例就可以求出．
【详解】
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴CD BD AD CD
=，
∴
4
9CD CD
=， ∴CD=1． 【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键． 16．10 【解析】 【分析】
连接OC ，当CD ⊥OA 时CD 的值最小，然后根据垂径定理和勾股定理求解即可. 【详解】
连接OC ，当CD ⊥OA 时CD 的值最小， ∵OA=13，AB=1， ∴OB=13-1=12，
∴， ∴CD=5×2=10. 故答案为10. 【点睛】
本题考查了垂径定理及勾股定理，垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧 . 17．50° 【解析】 【分析】
由PA 与PB 都为圆O 的切线，利用切线长定理得到PA PB =，再利用等边对等角得到一对角相等，由顶角P ∠的度数求出底角BAP ∠的度数，再利用弦切角等于夹弧所对的圆周角，可得出BAP C ∠∠=，由BAP ∠的度数即可求出C ∠的度数． 【详解】
解：PA Q ，PB 分别为O e 的切线，
PA PB ∴=，AP CA ⊥，
又P 80∠=o ，
()
1
BAP 18080502
o o o ∠∴=
-=， 则C BAP 50∠∠==o ． 故答案为：50o
【点睛】
此题考查了切线长定理，切线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．18．32°
【解析】
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，求出∠A的度数，根据圆周角定理解答即可．
【详解】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=58°，
∴∠A=32°，
∴∠BCD=32°，
故答案为32°．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）1
3
；（2）
5
9
.
【解析】
【分析】（1）根据题意可求得2个“－2”所占的扇形圆心角的度数，再利用概率公式进行计算即可得；
（2）由题意可得转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，然后列表得到所有可能的情况，再找出符合条件的可能性，根据概率公式进行计算即可得.
【详解】（1）由题意可知：“1”和“3”所占的扇形圆心角为120°，
所以2个“－2”所占的扇形圆心角为360°－2×120°＝120°，
∴转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率为120
360
︒
︒
＝
1
3
；
（2）由（1）可知，该转盘转出“1”、“3”、“－2”的概率相同，均为1
，所有可能性如下表所示：
由上表可知：所有可能的结果共9种，其中数字之积为正数的的有5种，其概率为
9
.
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．．
【解析】
【分析】
（1）原式利用二次根式的性质，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值进行化简即可得到结果．
【详解】
原式，
，
．
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．填表见解析；（1）6；（2）甲；甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多．【解析】
【分析】
（1）月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，去销售额中找到乙大于8.0的个数即可解题,
（2）根据中位数和平均数即可解题.
【详解】
解：如图，
销售额
数量
4.0≤x≤4.9
5.0≤x≤5.9
6.0≤x≤6.9
7.0≤x≤7.9
8.0≤x≤8.9
9.0≤x≤10.0
x
人员
甲 1 0 1 2 1 5
乙0 1 3 0 2 4
（1）估计乙业务员能获得奖金的月份有6个；
（2）可以推断出甲业务员的销售业绩好，理由为：甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多．
故答案为0，1，3，0，2，4；6；甲，甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多．【点睛】
本题考查了统计的相关知识,众数,平均数的应用,属于简单题,将图表信息转换成有用信息是解题关键.
22．（1）y=﹣x 2+2x+1；（2）P (
97 ,12
7
)；（1）当Q 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A 、C 、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似． 【解析】 【分析】
（1）先求得点B 和点C 的坐标，然后将点B 和点C 的坐标代入抛物线的解析式得到关于b 、c 的方程，从而可求得b 、c 的值；（2）作点O 关于BC 的对称点O′，则O′（1，1），则OP+AP 的最小值为AO′的长，然后求得AO′的解析式，最后可求得点P 的坐标；（1）先求得点D 的坐标，然后求得CD 、BC 、BD 的长，依据勾股定理的逆定理证明△BCD 为直角三角形，然后分为△AQC ∽△DCB 和△ACQ ∽△DCB 两种情况求解即可． 【详解】
（1）把x=0代入y=﹣x+1，得：y=1， ∴C （0，1）．
把y=0代入y=﹣x+1得：x=1， ∴B （1，0），A （﹣1，0）.
将C （0，1）、B （1，0）代入y=﹣x 2+bx+c 得：930
3b c c -++=⎧⎨=⎩
，解得b=2，c=1．
∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+1．
（2）如图所示：作点O 关于BC 的对称点O′，则O′（1，1）．
∵O′与O 关于BC 对称， ∴PO=PO′．
∴OP+AP=O′P+AP≤AO′． ∴OP+AP 的最小值=O′A=()()
22
1330--+-=2．
O′A 的方程为y=
33
44
x + P 点满足33443y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩﹣解得：97
127x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
所以P (9
7
,
12
7
)
（1）y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）．
又∵C（0，1，B（1，0），
∴CD=2，BC=12，DB=25．∴CD2+CB2=BD2，
∴∠DCB=90°．
∵A（﹣1，0），C（0，1），
∴OA=1，CO=1．
∴
1
3 AO CD
CO BC
==．
又∵∠AOC=DCB=90°，
∴△AOC∽△DCB．
∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．
如图所示：连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．
∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，
∴△ACQ∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ∽△DCB．
∴CD AC
BD AQ
=210
25
=AQ=3．
∴Q（9，0）．
综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、轴对称图形的性质、相似三角形的性质和判定，分类讨论的思想．
23．(1)见解析;(2)见解析
【解析】
分析：（1）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得到ABED 是平行四边形．
再由平行线分线段成比例定理得到：
FG CF AD CA =， EF CF AB CA = ，FG AD ＝EF
AB
，即可得到结论； （2）连接BD ，与AE 交于点H ．由菱形的性质得到1
2
EH AE BD =，⊥AE ，进而得到90DHE ∠=o ，
90AFE o ∠=，即有DHE AFE ∠∠＝，得到△DHE ∽△AFE ，由相似三角形的性质即可得到结论．
详解：（1）∵ AD ∥BC DE ，∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形．
∵FG ∥AD ，∴FG CF
AD CA
=． 同理
EF CF
AB CA = ． 得：FG AD ＝
EF
AB
∵FG EF =，∴AD AB =． ∴四边形ABED 是菱形． （2）连接BD ，与AE 交于点H ．
∵四边形ABED 是菱形，∴1
2
EH AE BD =
，⊥AE ． 得90DHE ∠=o ．同理90AFE o ∠=． ∴DHE AFE ∠∠＝．
又∵AED ∠是公共角，∴△DHE ∽△AFE ． ∴EH DE
EF AE
=． ∴
21
·2
AE EF ED =．
点睛：本题主要考查了菱形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质．灵活运用菱形的判定与性质是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）①AQ ﹣AP=PQ ，②AQ ﹣BQ=PQ ，③DP ﹣AP=PQ ，④DP ﹣BQ=PQ. 【解析】
试题分析：（1）利用AAS 证明△AQB ≌△DPA ，可得AP=BQ ；（2）根据AQ ﹣AP=PQ 和全等三角形的对应边相等可写出4对线段.
试题解析：（1）在正方形中ABCD 中，AD=BA ，∠BAD=90°，∴∠BAQ+∠DAP=90°，∵DP ⊥AQ ，
∴∠ADP+∠DAP=90°，∴∠BAQ=∠ADP ，∵AQ ⊥BE 于点Q ，DP ⊥AQ 于点P ，∴∠AQB=∠DPA=90°，∴△AQB ≌△DPA （AAS ），
∴AP=BQ.（2）①AQ ﹣AP=PQ ，②AQ ﹣BQ=PQ ，③DP ﹣AP=PQ ，④DP ﹣BQ=PQ. 考点：（1）正方形；（2）全等三角形的判定与性质. 25．见解析 【解析】 【分析】
利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法分别得出进而求出其交点即可． 【详解】
如图所示：P 点即为所求．
【点睛】
本题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题的关键． 26．（1）这种篮球的标价为每个50元；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）设这种篮球的标价为每个x 元，根据题意可知在B 超市可买篮球
4200
0.8x
个，在A 超市可买篮球4200300
0.9x
+个，根据在B 商场比在A 商场多买5个列方程进行求解即可；
（2）分情况，单独在A 超市买100个、单独在B 超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得. 【详解】
（1）设这种篮球的标价为每个x 元， 依题意，得
42004200300
50.80.9x x
+-=， 解得：x=50，
经检验：x=50是原方程的解，且符合题意， 答：这种篮球的标价为每个50元；
（2）购买100个篮球，最少的费用为3850元，
单独在A 超市一次买100个，则需要费用：100×
50×0.9-300=4200元，
在A超市分两次购买，每次各买50个，则需要费用：2（50×50×0.9-300）=3900元，单独在B超市购买：100×50×0.8=4000元，
在A、B两个超市共买100个，
根据A超市的方案可知在A超市一次购买：
2000
0.950
=44
4
9
，即购买45个时花费最小，为
45×50×0.9-300=1725元，两次购买，每次各买45个，需要1725×2=3450元，其余10个在B超市购买，需要10×50×0.8=400元，这样一共需要3450+400=3850元，
综上可知最少费用的购买方案：在A超市分两次购买，每次购买45个篮球，费用共为3450元；在B超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球总费用3850元.
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
27．(1)见解析;(2)10 3
.
【解析】
分析：（1）由AB是直径可得BE⊥AC，点E为AC的中点，可知BE垂直平分线段AC，从而结论可证；（2）由∠FAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABE=90°，可得∠FAC=∠ABE，从而可设AE=x，BE=2x，由勾股定理求出AE、BE、AC的长. 作CH⊥AF于H，可证Rt△ACH∽Rt△BAC，列比例式求出HC、AH 的值，再根据平行线分线段成比例求出FH，然后利用勾股定理求出FC的值.
详解：（1）证明：连接BE.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AC，
而点E为AC的中点，
∴BE垂直平分AC，
∴BA=BC；
（2）解：∵AF为切线，
∴AF⊥AB，
∵∠FAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABE=90°，
∴∠FAC=∠ABE，
∴tan∠ABE=∠FAC=，
在Rt△ABE中，tan∠ABE==，
设AE=x，则BE=2x，
∴AB=x，即x=5，解得x=，
∴AC=2AE=2，BE=2
作CH⊥AF于H，如图，
∵∠HAC=∠ABE，
∴Rt△ACH∽Rt△BAC，
∴==，即==，
∴HC=2，AH=4，
∵HC∥AB，
∴=，即=，解得FH=
在Rt△FHC中，FC==．
点睛：本题考查了圆周角定理的推论，线段垂直平分线的判定与性质，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数等知识点及见比设参的数学思想，得到BE垂直平分AC是解（1）的关键，得到Rt△ACH∽Rt△BAC是解（2）的关键.。