3.2 柯西积分定理

D
C1
Γ C2
复 变
在边界 C C1 C2 上连续，
函 G 为 D 内的一条“闭曲线”，
数
的 则 f (z)dz f (z)dz f (z)dz .
积
C1
C2
Γ
分
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在
区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。
11
§3.2 柯西积分定理
C1
ba
C2
ab
由 f (z)dz f (z)dz 0, f (z)dz f (z)dz 0,
ba
ab
C1
C2
f (z)dz 0 或 f (z)dz f (z)dz .
C
C1
C2
10
§3.2 柯西积分定理
二、闭路变形原理
第 三 闭路变形原理 P78
章 如图，设 f (z) 在 D 内解析，
的 积
(2) 定理中的条件还可以进一步减弱。
分 定理 设单连域 D的边界为C，函数 f (z)
P77 在 D内解析，在 D D C 上连续，
则有 C f (z)dz 0.
G
G
C D
9
§3.2 柯西积分定理
二、闭路变形原理
第
三 将柯西积分定理推广到二连域
D
章 定理 设二连域 D的边界为 C C1 C2 (如图)，
ÑC f (z)d z 0. 6
§3.2 柯西积分定理
第 1825年，柯西给出了“单连通域D内处处解析的 f(z) 在
三 章
D内沿任意一条闭曲线C的积分Ñc f (z)d z 0 ”。
—Cauchy 定理
复 变
当时，解析函数的定义为“ f’(z)存在，且在D内连续”。
函 数
1851年，黎曼给出了柯西定理的上述简单证明。
§3.2 柯西积分定理
第 §3.2 柯西积分定理
三
章 一、柯西-古萨基本定理 （第2节）
复 二、闭路变形原理
变 函
三、复合闭路定理
（第3节）
数 的 积 分
四、路径无关性 （第4节）
五、原函数与不定积分
1
§3.2 柯西积分定理
第 高等数学（微积分）中的Green公式:
三
章 设单连通区域D由分段光滑曲线 L 围成，函数 P(x,y) 和
分
单连通有关。
C3
C2
o
C1
x
先将条件适当加强，作初步的探讨
设 f(z)=u+iv 在单连通域D内处处解析，且 f’(z) 在D内 连续。
5
§3.2 柯西积分定理
第 f '(z) ux ivx vy iuy
三 章
u和v以 及 它 们 的 偏 导 数ux , uy , vx , v y在D内
▲
第 三 章 解 如图以 z0 为圆心 r为半径作圆，
复 变 函
则函数
f (z)
1 (z z0 )n
在
r
G
C z0
D
数
D D Γ C 上解析，
D
章
P76 定理
G 为 D 内的任意一条简单闭曲线，
复 变
则有 Γ f (z)dz 0.
G
G
函
数 证明 f (z)dz (udx v dy) i (v dx udy)
的
ΓΓ
ΓΓ
ΓΓ
积 分
Green公式
GG
((
vv xx
uuyy ))
ddxxddyy
ii
GG
((uxux vyvy))ddxxddyy
CC RR方方程程 00 ..
上述定理称为柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理，或 柯西积分定理。
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§3.2 柯西积分定理
一、柯西-古萨基本定理
第
三 定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，
D
章
G 为 D 内的任意一条简单闭曲线，
复 变
则有 Γ f (z)dz 0.
函
数 注 (1) 定理中的曲线 G 可以不是简单闭曲线。
的 积 1900年，古萨（Goursat）给出了柯西定理的新证明，
分Байду номын сангаас
且将“f’(z)连续”这一限制性较强的条件去掉了。
这就是著名的柯西-古萨（Cauchy-Goursat）基本定理， 从此解析函数的定义修改为“ f’(z) 在 D 内存在”。
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§3.2 柯西积分定理
一、柯西-古萨基本定理
第
三 定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，
但在除去z=z0
的非单连通区域内处处解析。
y
z
r C z0
x4
§3.2 柯西积分定理
第 三 章
例3中，f(z)= z 在复平面内处处不解析， z d z 的值与 C
积分路径 C 有关。
y z0 1 i
复 由此猜想：
变
复积分的值与路径无关（或沿闭路
函
数
的积分值等于0）的条件，可能与
的 积
被积函数的解析性及解析区域的
复 变 函
Q(x,y) 在 D 上存在 P , Q ，且 Q P 在 D 上存在，
则有：
y x
x y
数 的
( Q x
P y
)dxdy
ÑL Pdx
Qdy
D
积 分
其中，L 是 D 的取正向的边界曲线。
L
D
3
§3.2 柯西积分定理
分析本章第一节的积分例子:
第 三
例1中，f(z)=z 在全平面内解析，它沿连接起点和终点的
章 复
任意曲线 C 的积分值相同，即 f (z)d z 与路径无关，
于是有
C
y
x y2
变 函
f (z)dz＝ B f (z)d z
C
A
Ñ 数
的 积
例2中，
1 d z 2 i 0
zz0 r z z0
i C4
B
A
C3 C2
C1 1 x
分 与圆心、半径（路径）无关，z=z0 为奇点（不解析），
C1
复 变
P78 定理
函数 f (z) 在 D内解析，在 C 上连续，则
函 数
f (z)dz 0 或 f (z)dz f (z)dz .
C
C1
C2
C2
b
a
的 积
证明
如图，作线段 ab，则二连域 D 变为单连域，从而有
分
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0,
复 都 是 连 续 的,并 满 足C R方 程ux v y vx uy
变 又因为 C D
函 数
蜒c f (z)dz C udx vdy i ?C vdx udy
的
积 由Green公式和C-R方程
分
Ñc udx vdy (vx uy )dxdy 0
D
Ñc vdx udy (ux vy )dxdy 0 D
复 变
Q(x,y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则有：
函 数
( Qx
P y
)dxdy
ÑL Pdx
Qdy
的
D
积 分
其中，L 是 D 的取正向的边界曲线。
L
D
2
§3.2 柯西积分定理
第 改进的Green公式:（Goursat，1925）
三
章 设单连通区域D由分段光滑曲线 L 围成，函数 P(x,y) 和