山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学(文)试卷

山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试
数学试题(文科)
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项
．．．．．．符合题意)
1.已知集合中的元素个数是
A. 2
B. 3
C. 6
D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
先写出，再看的个数.
【详解】由题得=，故A∪B的元素的个数为6，故答案为：C
【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
2.已知向量
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由题得，解方程即得m的值.
【详解】由题得故答案为：D
【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
3.设满足约束条件则的最大值是
A. B. 0 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．
【详解】x，y满足约束条件的可行域如图：
目标函数z=x﹣y，经过可行域的点B时，目标函数取得最大值，
由解得B（2，0），
目标函数的最大值为2-0=2,
故答案为：C
【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．
4.已知等比数列中，
A. B. ±4 C. 4 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】
由题得，解之即得解.
【详解】由题得
因为等比数列的奇数项同号，所以，故答案为：A
【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，本题要注意检验.
5.“”是“指数函数单调递减”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简“指数函数单调递减”得，再利用充要条件的定义判断得解.
【详解】因为“指数函数单调递减”，
所以，
所以“”是“指数函数单调递减”的必要非充分条件.
故答案为：B
【点睛】(1)本题主要考查指数函数的单调性的运用，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，
；最后利用下面的结论判断：①若,则是的充分条件，若，则
是的充分非必要条件；②若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.
6.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是()
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【解析】
试题分析：对各数据分层为三个区间，然后根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取．
解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，
所以成绩在区间[139，151]中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；
故选B．
考点：茎叶图．
【此处有视频，请去附件查看】
7.已知函数，若将函数的图像向左平移个单位长度后所得图像对应函数是偶函数，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由函数平移得解析式，由函数为偶函数得，从而得.进而结合条件的范围可得解.
【详解】将函数的图像向左平移个单位长度后所得图像对应函数是：
.
由此函数为偶函数得时有：.
所以.即.
由，得.
故选C.
【点睛】解答三角函数图象变换的注意点：
（1）进行图象变换时，变换前后的三角函数名称一样，若名称不一样，则先要根据诱导公式统一名称．
（2）在进行三角函数图象变换时，可以“先平移，后伸缩”，也可以“先伸缩，后平移”，无论是哪种变换，切记每一个变换总是对而言的，即图象变换要看“变量”发生了多大的变化，而不是“角”变化多少．
8.函数的部分图象为（）
【答案】A
【解析】
试题分析：因,故当时,,函数
单调递增; 当时,,函数单调递减; 当时,,函数
单调递增.故应选A.
考点：导数与函数单调性的关系．
9.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾
股股勾朱实黄实弦实，化简，得勾股弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）
A. 866
B. 500
C. 300
D. 134
【答案】D
【解析】
由题意，大正方形的边长为2，中间小正形的边长为，则所求黄色图形内的图钉数大约为，故选D.
10.曲线上的点到直线的最短距离是
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
因此到直线的最短距离是 ,选C.
11.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移个单位后得到函数的的图像，若函数在区间上均单调递增，则实数a 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得a的范围．
【详解】将函数f（x）=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos的图象；
然后向右平移个单位后得到函数g（x）=cos=cos（﹣）的图象，
若函数g（x）在区间与[2aπ，4π]上均单调递增，
则0﹣=﹣，﹣≤0，且﹣≥2kπ﹣π，﹣≤2kπ，k∈Z．
解得≤a≤，
故答案为：B
【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．
12.已知均为单位向量，满足，设
，则的最小值为：
A. B. 0 C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可设C（c os θ，sin θ），设A（，），B（1，0），由条件求得x，y，再由两角和的正弦公式、正弦函数的最值，可得最小值．
【详解】由||=1可设C（cos θ，sin θ），
又•=，所以cos∠BOA=,所以∠BOA=.
因为||=||=1，可设A（，），B（1，0），
=x+y，所以
所以,
因为,所以（1）
因为，所以，（2）
由（1）（2）得
所以当x+y最小值为.故答案为：C
【点睛】本题考查平面向量的基本定理和向量数量积的坐标表示，两角和的正弦公式、正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题．
二、填空题(本题包括4小题，共20分)
13.已知函数_________
【答案】
【解析】
【分析】
先求f(-1),再求的值.
【详解】由题得f(-1)=所以=
故答案为：-2
【点睛】本题主要考查函数求值，考查对数函数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
14.已知且，则的最小值为______________。

【答案】9
【解析】
试题分析：因为且，所以
取得等号，故函数的最小值为9.，答案为9.
考点：本试题主要考查了均值不等式求解最值的运用。

点评：解决该试题的关键是构造均值不等式的结构特点，利用一正二定三相等的思路来分析求解得到结论。

15.函数的最大值为________
【答案】
【解析】
【分析】
先化简，再利用基本不等式求的最大值，即得f(x)的最大值.
【详解】由题得，
所以
所以.故答案为：
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
16.表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字70在表中出现的次数为________
【答案】
【解析】
【分析】
第1行数组成的数列是以2为首项，公差为1的等差数列，第j列数组成的数列是以j+1为首项，公差为j的等差数列，求出通项公式，就求出结果．
【详解】第i行第j列的数记为.那么每一组i与j的组合就是表中一个数.
因为第一行数组成的数列是以2为首项，公差为1的等差数列，
所以，
所以第j列数组成的数列是以j+1为首项，公差为j的等差数列，
所以.
令，
∴，
所以，表中70共出现4次.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了行列模型的等差数列应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，是中档题．
三．解答题(本题包括6小题，共70分)
17.已知在递增的等差数列的等比中项
(I)求数列的通项公式；(II)若，为数列的前n项和，求．
【答案】(I)(II)
【解析】
【分析】
(I)根据已知求出的通项公式.(II)由题意可知
，再利用裂项相消法求和得解.
【详解】(I)设公差为,因为，所以，解得
所以.
(II)由题意可知：
所以.
【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
18.已知向量−，1)，，)，函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若，，分别是角，，的的对边，，，且=1，求△的面积．【答案】（1）[kπ−，kπ+](k∈Z)；（2） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）化简函数,利用正弦函数的单调性求递增区间即可（Ⅱ）根据=1可
求出A，利用余弦定理可求出b,代入面积公式即可.
【详解】（Ⅰ）=m·n=−+=
,
由，k∈Z，得，k∈Z，
故函数的单调递增区间为[kπ−，kπ+](k∈Z)．
（Ⅱ）由题意得=sin(2A−)=1，∵A(0，π)，∴2A−，
∴2A−,,
由余弦定理，得12=+16−2×4b×，即−4b+4=0，
∴b=2．∴△ABC的面积sin=2．
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，正弦型函数的单调性及利用余弦定理解三角形，属于中档题.
19.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从网年龄在15~65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：
（I）由频率分布直方图估计年龄的众数和平均数；
（II）由以上统计数据填2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；
参考数据：
（III）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人.求抽到的2人中1人是45岁以下，另一人是45岁以上的概率.
【答案】（Ⅰ）众数为50，平均数为42，（Ⅱ）有95%的把握(Ⅲ)
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据频率分布直方图知，最高矩形的中点代表的是众数，矩形中点乘以矩形面积求和可得平均数；
（Ⅱ）由统计数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
(Ⅲ)设45岁以下的6人为a1，a2，a3，a4，a5，a6，45岁以上的2人为b1，b2，将所有的基本事件列举出来，数出满足条件的基本事件，利用古典概型计算公式求解即可．
【详解】解：(I) 估计众数为50.
估计平均数为＝20×0.2＋30×0.1＋40×0.2＋50×0.3＋60×0.2＝42.
(II)列联表如下：
因为K2＝＝＝6.25＞3.841，
所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．
(III)从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．设45岁以下的6人为a1，a2， a3，a4， a5，a6，45岁以上的2人为b1，b2，则从这8人中随机抽2人包含以下基本事件
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，( a2，a5)，
(a2，a6)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，( a4，a6)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，a6)，(a5，b1)，(a5，b2)，(a6，b1)，(a6，b2)，( (b1，b2)共28个基本事件．记抽到的2人中1人是45岁以下，另一人是45岁以上为事件M，则事件M 包含如下基本事件
(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，( a5，b2)，(a6，b1)，(a6，b2)，共12个基本事件．故.
即抽到的2人中1人是45岁以下，另一人是45岁以上的概率为.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的众数和平均数的计算，同时考查了独立性检验的应用，还考查了古典概型的计算，属于中档题.
20.已知数列
(I)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前n项和
【答案】(I).
【解析】
【分析】
(I)利用项和公式求数列的通项公式. (Ⅱ)利用错位相减法求数列的前n项和
【详解】(I)由题意可知：当时，，又因为，所以，又因为当，，所以
所以等比数列，且
（2）
所以
【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
21.某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：
(I)画散点图可以看出，z与x有很强的线性相关关系，请求出z与x的线性回归方程(回归系数精确到0.01)；
(II)求y关于x的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．
参考公式：
参考数据：
【答案】(I)z与x的线性回归方程是(II)当使用年数为10年时售价约为1.03万元．
【解析】
【分析】
(I)利用最小二乘法求出z与x的线性回归方程.(II)先求出y关于x的回归方程是
, 令x＝10，预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价.
【详解】(I)由题意，知，
，
又,
所以，
所以，
所以z与x的线性回归方程是；
(II)因为,
所以y关于x的回归方程是,
令x＝10，
得=,因为ln 1.03≈0.03，所以，
即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．
【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
22.已知(e为自然对数的底数，e=2.71828……)，其反函数为，函数的最小值为m．
(1)求曲线在点的切线方程；
(2)求证：.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）通过求函数导数值得切线斜率，再由点斜式即可得解；
（2）通过求导，利用导数的正负得函数的单调性，进而得存在唯一的，使得，，再通过运算可得，进而可得解.
【详解】（1）由题意可知，
，所以斜率，所以切线方程为.
（2）令
，因为，，
又因为在上单增
所以存在唯一的，使得，即，
当，所以单减，同理在单增，
所以，
因为，所以，
所以因为，所以.
【点睛】对于导函数的零点存在但是不可求的问题，解题时可根据导函数的单调性得到零点所在的范围，在得到函数的单调性后进一步得到函数的最值，在求最值的过程中需要利用导函数的零点进行代换，以达到求出函数最值的目的，如在本题中由得到
，进而得到是能求范围的关键．。