安徽省六安市第一中学高三下学期自测卷三线下考试数学理试题含答案

则 x1
2, x2
2
，直线 MA 、 MB 的斜率之和为 kMA
kMB
y1 x1 2
y2 x2 2
.
由
y1
kx1
k,
y2
kx2
k
得 kMA
kMB
2kx1x2 3k x1 x2 x1 2 x2 2
4k
.
将 y k x 1 代入 x2 y2 1 得 2k 2 1 x2 4k 2 x 2k 2 2 0 . 2
D．[ 2, 7 ]
10．已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1
(a
0,b
0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ，以 F1F2
为直径的圆交双
曲线 C 于 P , Q , M , N 四点，且四边形 PQMN 为正方形，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． 2 2
B． 2 2
C． 2 2
D． 2 2
16 8
16 12
C． x2 y2 1 84
D． x2 y2 1 82
9．如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E 是棱 AB 的中点，F 是侧面 AA1D1D 内一点，
若 EF∥平面 BB1D1D，则 EF 长度的范围为（ ）
A．[ 2, 3]
B．[ 2, 5]
C．[ 2, 6]
11．M 是正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点，给出下列命题
①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB 、 B1C1 都相交；
②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB 、 B1C1 都垂直；
③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB 、 B1C1 都相交；
④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB 、 B1C1 都平行.
B． p1 (p2 )
C． p1 p3
D． p2 (p3 )
5．已知 A1, 4 ，点 P 为抛物线 y2 12x 上一动点，点 P 到直线 x 2 的距离是 d ，则 PA d
的最小值为（ ）
A． 2 5 1
B． 2 5 1
C． 2 5
D．3
6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆
N
的两条渐近线与
椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为
__________；双曲线 N 的离心率为__________．
14．已知四棱锥 S ABCD 的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球 O 的球面上，则
2
球 O 的表面积等于_________.
x
1
.由已知可得，点
A
的坐标为
1,
2 2
或
1,
2 2
.
所以 AM 的方程为 y 2 x 2 或 y 2 x 2 .
2
2
（2）当 l 与 x 轴重合时， OMA OMB 0o .
当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以 OMA OMB .
当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y k x 1k 0 ， A x1, y1 , B x2, y2 ，
所以，
x1
x2
4k 2k 2
2
1
,
x1
x2
2k 2 2k2
2 1
.则
2kx1x2
3k
x1
x2
4k
4k 3
4k
12k 3 8k 3 2k 2 1
15 题图
15．如图，扇形 AOB的圆心角为 90°，半径为 1，点 P 是圆弧 AB 上的动点，作点 P 关于弦 AB 的对称点 Q ，则 OP OQ 的取值范围为____．
16．如图，在 ABC 中，已知 BAC 120 其内切圆与 AC 边相切于点 D ， 延长 BA 到 E ，使 BE BC ，连接 CE ,设以 E,C 为焦点且经过点 A 的
∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点． （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值．
3
20．（本小题满分 12 分）
如图，已知点 F(1，0) 为抛物线 y2 2 px( p 0) ，点 F 为焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点，点 C 在抛物线上，使得V ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q ，且 Q 在点 F 右侧.记△AFG,△CQG 的面积为 S1, S2 .
PDC 120 ，点 E 为线段 PC 的中点，点 F 是线段 AB 上的一个动点．
（Ⅰ）求证：平面 DEF 平面 PBC； （Ⅱ）设二面角 C DE F 的平面角为 ，试判断在线段 AB 上是否存在这样的点 F，使得
| AF | tan 2 3 ，若存在，求出 | FB | 的值；若不存在，请说明理由．
（1）求 p 的值及抛物线的准线方程；
（2）求
S1 S2
的最小值及此时点 G
的坐标.
21．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 是边长为 2 的等边三角形且垂直于底 ABCD ， AB BC 1 AD, BAD ABC 90o , E 是 PD 的中点．
2 （1）证明：直线 CE / / 平面 PAB ；
4
六安一中 2020 届高三年级自测试卷 理科数学（三）参考答案
题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A A A C A C D C A
13． 3 1 2
101
14．
5
15．
2 1，1 .
1
16． .
6
17．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
AF 1 FB 2
解：（Ⅰ） 四边形 ABCD 是正方形，∴ BC DC .
3 ,则 cos 13 13
∴ cos cos n1, n2
3m 13 . 3m2 3 1 13
5
m 0 ，解得 m 1 ，∴ 3
AF FB
1 2
18．（1） AM 的方程为 y 2 x 2 或 y 2 x 2 ；（2）证明见解析.
2
2
（1）由已知得
F
1,
0
，l
的方程为
0,
1 4
,
3 4
，
设平面 DEF
的法向量为 n1 x , y , z ，
则
nn11
DE DF
0, 0,
x my 0
∴
1 4
y
3 z 0 ，令 y 4
3 ，则 z 1, x 3m ，则 n1 3m ,
3,1
AD 平面 PCD ， 平面 PCD 的一个法向量 n2 1, 0, 0 , tan 2
椭圆的离心率为 e1 ，以 E,C 为焦点且经过点 A 的双曲线的离心率为 e2 ，
则当
2 e1
1 e2
取最大值时，
AD DC
的值为__．
三、解答题:解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤，
17．（本小题满分 10 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，且 AD PD 1 ，平面 PCD⊥平面 ABCD，
与 x, y 轴的交点,若 F0F1F2 是边长为1的等边三角,则 a, b 的值分别为(
)
A． 7 ,1 2
B． 3,1
C． 5,3
D． 5, 4
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分.
13．已知椭圆
M：x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0) ，双曲线 N：mx22
y2 n2
1 ．若双曲线
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．已知圆 C的方程为 (x 1)2 ( y 1)2 2 ，点 P 在直线 y = x + 3 上，线段 AB 为圆 C 的直径， 则 PA PB 的最小值为（ ）
A．2
5
B．
2
C．3
7 D．
2
4．在正四棱锥 P ABCD 中，已知异面直线 PB 与 AD 所成的角为 600 ，给出下面三个命题：
台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为 2 尺 8 寸，盆底直径为 l 尺 2 寸，盆深 1 尺 8 寸.
若盆中积水深 9 寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；
②1 尺等于 10 寸）（ ）
A．3 寸
B．4 寸
C．5 寸
D．6 寸
7．已知圆柱的轴截面为正方形，且该圆柱的侧面积为 36 ，则该圆柱的体积为（ ）
p1：若 AB 2 ，则此四棱锥的侧面积为 4 4 3 ；
p2 ：若 E, F 分别为 PC, AD 的中点，则 EF / / 平面 PAB ；
p3 ：若 P, A, B, C, D 都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是四边形 ABCD 面积的 2 倍.
在下列命题中，为真命题的是（ ）
A． p2 p3
六安一中 2020 届高三年级自测试卷
理科数学（三）
命题人：
时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°，腰和上底均为 1 的等腰梯形，
则原平面图形的面积为（ ）
OE OD 值；
（3）经过点
P
t,
0
t
a a
的直线
m
且与双曲线
C
有两个交点
M
,
N
，直线
m
的倾斜角是
,
2
,
3
,
2 3
，是否存在直线
l0
:
x
x0
（其中
x0
a ）使得 dM
a
dN
PM PN
恒成立？
（其中 dM , dN 分别是点 M , N 到 l0 的距离）若存在，求出 x0 的值，若不存在，请说明理由.
∵平面 PCD 平面 ABCD, 平面 PCD 平面 ABCD CD ，∴ BC
平面 PCD . ∵ DE 平面 PDC ，∴ BC DE . ∵ AD PD DC ，点 E 为线段 PC 的中点，∴ PC DE . 又∵ PC CB C ，∴ DE 平面 PBC .
又∵ DE 平面 DEF ，∴平面 DEF 平面 PBC . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 BC 平面 PCD ，∵ AD / /BC ，∴ AD 平面 PCD . 在平面 PCD 内过 D 作 DG DC 交 PC 于点 G ， ∴ AD DG ，故 DA ， DC ， DG 两两垂直，以 D 为原点， 以 DA ， DC ， DG 所在直线分别为 x, y, z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 D xyz .
18．（本小题满分 12 分）
设椭圆 C
:
x2 2y21的右焦点为F，过F
的直线 l
与C
交于
A,
B
两点，点
M
的坐标为 (2, 0)
.
（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；
（2）设 O 为坐标原点，证明： OMA OMB .
19．（本小题满分 12 分） 如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，
1
A． 27
B． 36
C． 54
D． 81
8．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1 ， F2 在 x 轴上，离心率为 2 .过 2
F1 的直线 l 交 C 于 A ， B 两点，且 ABF2 的周长为16 ，那么椭圆 C 的方程为（ ）
A． x2 y2 1 B． x2 y2 1
A．1 2 2
B． 1+ 2 2
C． 2 2
D．1 2
2．如图，点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，则下列四个结论：
① 三棱锥 A D1PC 的体积不变； ②A1P / / 平面 ACD1 ；
③DP BC1 ；
④ 平面 PDB1 平面 ACD1 ．
其中正确的结论的个数是 ( )
（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45o ，求
二面角 M AB D 的余弦值．
22．（本小题满分 12 分）
双曲线 C : ax2 by2 1a 0,b 0 的虚轴长为1，两条渐近线方程为 y 3x .
（1）求双曲线 C 的方程； （2）双曲线 C 上有两个点 D、E ，直线 OD 和 OE 的斜率之积为1，判别 12 12 是否为定
因为 AD PD 1， PCD 120 ，∴ PC 3 .
∵ AD 平面 PCD ，
则
D
0,
0,
0
，
C
0,1,
0
，
P
0,
1 2
,
3 2
又
E
为
PC
的中点，
E
0,
1 4
,
3 4 ，
假设在线段 AB 上存在这样的点 F ，使得 tan 2
DF
1,
m,
0
，
3
,设
F
1,
m,
0
(m
0)
，
DE
其中真命题是：( )
A．②③④
B．①③④
C．①②④
D．①②③
12．我们把由半椭圆
x a
2 2
y2 b2
1(x 0) 与半椭圆
y2 b2
x2 c2
1(x 0) 合成的曲线称作“果圆”(其中
a2 b2 c2, a b c 0 ).如图,设点 F0 , F1, F2 是相应椭圆的焦点, A1, A2 和 B1, B2 是“果圆”