【K12教育学习资料】高三数学上学期期末教学质量检测试题 理(扫描版)

潮州市2015-2016学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷理科
数学卷
高三理科数学:
高三理科数学第7题双曲线方程为：
2
2
2
1(0)
y
x b
b
-=>
潮州市2015-2016学年度第一学期期末高三级教学质量检测卷
数学（理科）参考答案
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
简析：
1．由210x -≥解得1x ≥或1x ≤-，于是(,1][1,)B =-∞-+∞，故)1,1(-=B C R ，所以)1,0()(=⋂B C A R ．故选B ． 2．由于13(3)33i i i
z i i i
+-=
==--，于是()1z z i i ⋅=⋅-=．故选C ． 3．经过循环后，a 的分别为4、16、256，由于33log 2564log 44=>，于是256a =． 故选C ．
4．如图：过点D 分别作//DE AC ，//DF AB ，交点分别 为E ，F ，由已知得13AE AB =
，2
3AF AC =， 故1212
3333
AD AE AF AB AC a b =+=+=+．故选D ．
5．抛物线28y x =的焦点为(2,0)，由题意得2
2c e a a
===，解得1a =，
又222
413b c a =-=-=．故双曲线的标准方程为2213
y x -=．故选A ． 6．由题意及正弦曲线的对称性可知1
2222
x x k π
ωϕπ+⋅+=+，于是12()12x x f +=． 故选D ．
7．圆2
2
(2)1x y +-=的圆心为(0,2)，半径1r =，于是圆心到双曲线的两条渐近线距离相
等，故只需考虑其中一条渐近线与圆位置关系就可以，双曲线的渐近线方程为y bx =±，考
虑y b x =，即0b x y -=．由题意得
1≥，解得23b ≤，于是222
13c a c -=-≤，解02c <≤，又双曲线的离心率c
e c a
=
=，且1e >，故12e <≤． 故选A ．
8．2sin(2)cos[(2)]cos(2)2cos ()162636
πππππ
θθθθ-=--=+=+-
21
2(13=-=-．故选C ．
9．222
'()2432()32f x x ax x a a =-++=--++，因为()f x '的最大值为5，所以
2325a +=，又0a >，故1a =，13
(1)3
f =，'(1)5f =，所以所求切线方
程为13
5(1)3
y x -=-，即15320x y --=．故选B ．
10．由三视图知该几何体是由一个半圆锥与一个四棱锥的组合体，于是
2111122233V π=⨯⨯⨯⨯⨯=
A ． ，所以所求的概率为．故选简析：
13．画出满足条件可行域，将直线3y x =-向上平移，可知当直线经过点(1,0)时，z 取得
最大值为3．
14．由题意得24112
24443(2)(2)280C a C C a a a ++=，即44a =，又0a >，于是a =
15．由直角三角形斜边上的中线的性质及题意可得SC 中点
F (如图)就是球心，即SC 就是球O 的直径，由已知可
得2SC =．于是球O 的表面积
2
414S ππ=⨯=．
16．由正弦定理，sin cos 0b A B =可化为sin 0B B =，即
tan B =又(0,)B π∈，于是3
B π
=，又2b a c =，所以222
2cos b a c ac B =+-
可化为2
2
4()b a c =+，于是
2a c
b
+=． 三、解答题：（共5小题，每题12分，共60分） 17．（本小题共12分）
解：(Ⅰ) 设等差数列{}n a 的公差为d ．
∵215313
a a a +=
，∴2331
23a a =，
又0n a >，于是36a =．……………………………………………2分
∵17747()
7562
a a S a +=
==，∴48a =，…………………………4分 ∴432d a a =-=，故132642a a d =-=-=．
∴1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=．…………………….…………6分
（Ⅱ）∵11n n n b b a ++-=且2n a n =，∴12(1)n n b b n +-=+．
当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L
22(1)222(1)n n n n =+-++⨯+=+L ．…………..8分
当1n =时，12b =满足上式．
故(1)n b n n =+．……………………………………….………………9分
∴
1111
(1)1
n b n n n n ==-
++ …………………………………………10分 ∴12111111111111
(1)()()()22311
n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L
1111
n n n =-=++．……………………………………….………12分
18．（本小题共12分）
解：(Ⅰ)∵在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率的概率是
3
5
． ∴喜欢户外活动的男女员工共30，其中女员工10，男员工20人，
不喜欢户外活动的男女员工共20，其中男员工5，女员工15人．………..2分
分
（Ⅱ）∵2
2
50(2015105)8.3337.87930202525
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
∴有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关；. …………………….…5分 （Ⅲ）ξ所有可能取值为0，1，2，3．………………….…………………………6分
363101
(0)6C P C ξ===； 12463
101(1)2
C C P C ξ===； 21463103(2)10C C P C ξ===； 343
101
(3)30
C P C ξ===．……….…………10分 ∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望11316()0123 1.262
10305
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯==．…..…12分
A
C
D
E F 19题图
19．（本小题共12分） 方法一：
（Ⅰ）证明：∵AE ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ． ∴AE ⊥BF ，
∵BF ⊥AC ，AE AC A =， ∴BF ⊥平面AE C ，DF ⊂平面AEC ，
∴BF ⊥DF ，……………………………………………..…2分 ∵390ABC BAC ∠=∠=，又44AC CD ==， ∴30BAC ∠=．1CD =．
∴1sin 30422
BC AC ==⨯=，
又BF ⊥AC ．∴1
cos 60212
CF BC CD ==⨯==，
又CD ∥AE ，AE ⊥平面ABC ，∴CD ⊥平面ABC ．
又AC ⊂平面ABC ．∴CD ⊥AC ，∴45DFC ∠=． 又3AF AC CF AE =-==，∴45EFA ∠=，
∴90EFD ∠=，即DF ⊥EF ．……………………………..…4分 又BF EF F =，BF 、EF ⊂平面BEF ． ∴DF ⊥平面BEF ，BE ⊂平面BEF ．
∴DF ⊥BE ；………………………………………………………6分
（Ⅱ）如图，过点F 作FG DE ⊥于点G ，连接BG ．
由（Ⅰ）知BF ⊥平面AEC ，又DE ⊂平面AEC ， (所以BF DE ⊥．
又BF FG F =，BF 、FG ⊂平面BFG ， 所以DE ⊥平面BFG ．又BG ⊂平面BFG ，) 所以BG FG ⊥．(三垂线定理)
故BGF ∠二面角B DE
F --的平面角．…………………
8分 在Rt EAF
∆中，EF
=
= 在Rt
FCD ∆中，FD =
=.……9分
在Rt EFD ∆
中，ED =
==
由EF
FD FG ED ⋅=⋅
得5EF FD FG ED ⋅
===
． (10)
分 在Rt BFC
∆中，BF
=
在Rt BFG ∆
中，BG
===． (11)
分
所以cos 4
FG BFG BG ∠=== ∴二面角B DE F --的平面角的余弦值为4
6
. …….………..………12分
方法二：
D
D
过F 作//Fz AE ，由AE ⊥平面ABC 可知Fz ⊥平面ABC ， 又AC 、BF ⊂平面ABC ，于是Fz AC ⊥，Fz BF ⊥， 又BF ⊥AC ，∴BF 、AC 、Fz 两两垂直．
以F 为原点，
FA 、FB 、Fz 依次为
x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图）．…7分 由(Ⅰ)可得tan 3033
BF AF =⨯=⨯
= 于是(0,0,0)F ，(0
,3,0)B ，(
1,0,1)D -，(3,0,3)E ，
(1,,1)BD =-，(3,,3)BE =，
(0,,0)FB =．
由(Ⅰ)知是平面DEF 的一个法向量． 设(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则
⎪⎩⎪⎨
⎧=+-=⋅=+--=⋅，
，
033303z y x
z y x 取2z =，得到(1,3,2)n =-．………………………………10分
∴cos 4
||||2n FB n FB n FB ⋅<>===⋅，
，…………………11分
又二面角B DE F --是锐二面角． ∴二面角B DE F --的平面角的余弦值为
4
6
. …….……………12分 方法二：
(Ⅰ)证明：过F 作//Fz AE ，由AE ⊥平面ABC 可知Fz ⊥平面ABC ，
又AC 、BF ⊂平面ABC ，于是Fz AC ⊥，Fz BF ⊥， 又BF ⊥AC ，∴BF 、AC 、Fz 两两垂直．
以F 为原点，FA 、FB 、Fz 依次为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图）．…1分
∵390ABC BAC ∠=∠=，44AC CD ==，3
AE =，
∴1CD =，30BAC ∠=．
∴122BC AC ==，1
cos 6021
2
FC BC =⋅=⨯=，3AF AC FC =-=， BF
=．……………………………………………………3分
于是(0,0,0)F
，(0,0)B ，(1,0,1)D -，(3,0,3)E ，(1,0,1)FD =-，
(3,3)BE
=．
故13
0(130FD BE ⋅=-⨯+⨯
+⨯=．
所以DF ⊥BE ……………………..…………………6(Ⅱ)由(Ⅰ)知(3,0
,3)FE =，(1,BD =-，(3,3)BE =，
(0,0)FB =．
于是030030FB FE ⋅=⨯+⨯=，所以FB FE ⊥，又F B ⊥AC ．
所以FB 是平面DEF 的一个法向量．…………………………………..…8分
设(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+--=⋅，
，033303z y x n z y
x n
取2z =，得到(1,3,2)n =-．…………………………………....…10分
∴cos 4
||||2n FB n FB
n FB ⋅<
>===⋅，
．
又二面角B DE F --是锐二面角． ∴二面角B DE F --的平面角的余弦值为4
6
. …………………………12分 20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得2221
a c
b a b
c ⎧-=⎪⎪
=⎨⎪
=+⎪⎩
……………………………………………….1分
解得
a =1c =. ……………………………………………………3分
所以所求椭圆方程为22
132
x y +=………………………………………4分 （Ⅱ）方法一：
当直线AB 与x 轴垂直时，||AB =
， 此时3
AOB S ∆=
不符合题意故舍掉；…………………………………..5分 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为(1)y k x =+，
由22
132
(1)x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=………6分 设1122(,),(
,)A x y
B x y ，则2122
2
1226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，………………….…..7分
∴||AB ==
=
=
== =
分 原点O 到直线的AB 距离d =，…………………………..…10分
∴三角形的面积
1
||
2
AOB
S AB d
∆
===．
由
4
AOB
S
∆
=得22
k=
，故k=分∴直线AB
的方程为1)
y x
=+
，或1)
y x
=+．
y
-=
，
y
+=…………………………….12分
方法二：
由题意知直线AB的斜率不为O，可设其方程为1
ny x
=+．………….5分由22
1
1
32
ny x
x y
=+
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
消去x得22
(23)440
n y ny
+--=．…………………….6分
设
1122
(,),(,)
A x y
B x y，则
122
4
23
n
y y
n
+=
+
，
122
4
23
y y
n
-
=
+
．…….7分
∴
12
1
||||
2
AOB
S OF y y
∆
=⋅-=分
又
AOB
S
∆
=，所以2
1212
9
()4
2
y y y y
+-=．…………………….……..9分
∴2
22
4169
()
23232
n
n n
+=
++
．解得
2
n=±．………………..…….….11分∴直线AB
1
y x
=+
，或1
y x
=+，
即：210
x+=
，或210
x+=．………………………..12分
21．（本小题共12分）
解：（Ⅰ）∵()ln
a
f x x
x
=-，
∴
22
1
'()
a x a
f x
x x x
+
=--=-．………………………………….….. 1分由题意得'(1)0
f=，即
1
1
a
+
-=，解得1
a=-．…………….. 2分经检验，当1
a=-时，函数()
f x在1
x=取得极大值．……….. 3分∴1
a=-.………………………………………………………..……….4分（Ⅱ）设()()35ln35
a
g x f x x x x
x
=+-=-+-，则函数()
g x的定义域为(0,)
+∞．∴当0
x>时，()0
g x≥恒成立．
于是(1)20
g a
=-≥，故2
a≥．………….…………………….……5分∵
2
22
13
'()3
a x x a
g x
x x x
--
=--+=．
∴方程'()0
g x=有一负根
1
x和一正根
2
x，
12
x x
<<．其中
1
x不在函数定义域内．
当2(0,)x x ∈时，'()0g x <，函数()g x 单调递减． 当2(,)x x ∈+∞时，'()0g x >，函数()g x 单调递增．
∴()g x 在定义域上的最小值为2()g x ．……………………………………….……7分
依题意2()0g x ≥．即2222
()ln 350a
g x x x x =
-+-≥．又22230x x a --=， 于是22
31a x x =-，又02>x a ，所以312>x ．
∴2222()31ln 350g x x x x =--+-≥，即2266ln 0x x --≥，…………..……9分
令()66ln h x x x =--，则161
'()6x h x x x
-=-=．
当1
(,)3
x ∈+∞时，'()0h x >，所以)(x h 是增函数．
又(1)66ln10h =--=，所以2266ln 0x x --≥的解集为[1,)+∞． (11)
分
又函数2
3y x x =-在1
(
,)6
+∞上单调递增， ∴222233112a x x =-≥⨯-=．
故a 的取值范围是[2,)+∞．……………………………….……………………12分
解法二：由于()ln a
f x x x
=-的定义域为(0,)+∞，
于是()53f x x ≥-可化为x x x x a 53ln 2+-≥．……………………..……5分
设x x x x x g 53ln )(2
+-=．则'()ln 66g x x x =-+．
设()'()h x g x =，则116'()6x
h x x x
-=
-=
． 当(1,)x ∈+∞时，'()0h x <，所以()h x 在[1,)+∞减函数． 又(1)'(1)0h g ==，
∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h <=，即当(1,)x ∈+∞时，'()0g x <， ∴)(x g 在[1,)+∞上是减函数．
∴当[1,)x ∈+∞时，()(1)1ln1352g x g ≤=⨯-+=.………….……..…8分 当(0,1)x ∈时，先证1ln -<x x ，
设)1(ln )(--=x x x F ，1'()0x
F x x
-=>，
)(x F 是增函数且0)1(=F ，0)(<x F ，即1ln -<x x ， 当(0,1)x ∈时，
22)1(253)1(53ln )(222<+--=+--<+-=x x x x x x x x x x g …..11分 综上所述()g x 的最大值为2．
∴a 的取值范围是[2,)+∞．………………………………………….………12分
选做题（共10分）
22．（本小题共10分） 证明：（Ⅰ）连接OC ，因为OA OC =，所以OCA OAC ∠=∠．………….…..2分
又因为AD CE ⊥，所以90ACD CAD ∠+∠=．
又因为AC 平分BAD ∠，所以OAC CAD ∠=∠，…………….…..4分
所以90OCA ACD ∠+∠=o ，即OC CE ⊥．
所以CE 是O e 的切线……………………………………………….….6分 （Ⅱ）连接BC ，因为AB 是圆O 的直径，所以090BCA ADC ∠=∠=，
又因为OAC CAD ∠=∠，…………………………………….………8分 所以ABC ∆∽ACD ∆
所以
AC AD
AB AC
=，即2AC AB AD =⋅………………………………..10分 23．（本小题共10分）
解：(Ⅰ)圆C 的参数方程化为普通方程是22(1)1x y -+=．
即2220x y x +-=……………………………………………………….…2分
又222x y ρ=+，cos x ρθ=．
于是22cos 0ρρθ-=，又0ρ=不满足要求．
所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=……………………………….……5分 (Ⅱ)因为射线:4
OM π
θ=
的普通方程为(0)y x x =≥．……………………6分
联立方程组22
,0(1)1
y x x x y =≥⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得2
0x x -=． 解得1x =或0x =，所以P 点的直角坐标为(1,1)……………………8分
所以P
点的极坐标为,
)4
π
…………………………….……………10分
解法2：把4
π
θ=
代入2cos ρθ=
得2cos
4
π
ρ==所以P
点的极坐标为)4
π
………………..……………10分
24．（本小题共10分） 解：（Ⅰ）若1a =时，则()|31|3f x x x =-++．
当1
3
x ≥
时，()5f x ≤可化为3135x x -++≤， 解之得1334
x ≤≤；……………………………………………….…2分 当1
3
x <
时，()5f x ≤可化为3135x x -+++≤， 解之得1123
x -≤<.……………………………………………….……4分 综上所述，原不等式的解集为
13{|}.24
x x -≤≤……………………5分 （Ⅱ）1(3)2,()3
()|31|31(3) 4.()
3a x x f x x ax a x x ⎧++≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩
函数()f x 有最小值的充要条件为30
30a a +≥⎧⎨-≤⎩
，解得33a -≤≤….…9分
∴实数a的取值范围是[3,3] …………………………………….……10分。