黑龙江省哈尔滨市第三中学高二数学上学期第一次验收考

哈三中2017学年高二上学期第一次验收考试理科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、抛物线2
2y x =的焦点坐标为（ ）
A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()1,0
C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
2、双曲线
22
148
x y -=的实轴长是（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．8
3、圆()2
2
24x y ++=与圆()()2
2
219x y -+-=的位置关系是（ ）
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
4、若双曲线22
213
y x a -
=（0a >）的一个焦点与抛物线28x y =的焦点重合，则此双曲线的离心率为（ ）
A B ．2 C ．3 D ．4
5、设经过点()2,1M 的等轴双曲线的焦点为1F 、2F ，此双曲线上一点N 满足
12F F N ⊥N ，则12F F ∆N 的面积为（ ）
A B C ．2 D ．
3
6、直线250x y +-+=被圆22
240x y x y +--=截得的弦长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．
7、已知1F ，2F 是椭圆22
1169
x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点．在1F ∆A B
中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 8、若点P 是抛物线2
4x y =上一动点，则点P 到直线230x y --=和x 轴的距离之和的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．2
D 1
9、已知集合(){
,x y y A =
=
，
集合(){},2x y y x a B ==+，且A B =∅I ，则a 的取值范围是（ ）
A ．[]1,3-
B ．
()),1-∞-+∞U C ．⎡-⎣ D ．())
,2-∞-+∞U
10、已知直线1y kx =-和双曲线2
2
1x y -=的右支交于不同两点，则k 的取值范围是（ ）
A ．(
B ．()(1-U
C ．(
D ．()()(11,1--U U
11、若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则F OP ⋅P u u u r u u r
的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
12、椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上存在一点P 满足F 2
π
∠AP =，F 为椭圆的左焦点，A
为椭圆的右顶点，则椭圆的离心率的范围是（ ）
A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．0,
2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭ D ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）
13、若经过点(
的双曲线的渐近线方程为2
y x =
，则双曲线的标准方程为 ． 14、圆2
2
4240x y x y ++-+=上的点到直线1y x =-的最小距离是 ．
15、已知圆1C :2240x y x ++=，圆2C :22
4600x y x +--=，动圆M 和圆1C 外切，和圆2C 内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ．
16、设直线()1y k x =+与抛物线2
4y x =相交于M 、N 两点，抛物线的焦点为F ，
若F 2F M =N u u u r u u u r
，则k 的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）已知圆C 过点()1,4A ，()3,2B ，且圆心在直线30x y +-=上． （I ）求圆C 的方程；
（II ）若点(),x y P 在圆C 上，求x y +的最大值．
18、（本小题满分12分）已知椭圆C:22221x y a b
+=（0a b >>）的离心率为2，过椭圆
一焦点且与椭圆长轴垂直的弦长为1． （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）若斜率为
1
2
的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且AB =，求该直线的方程．
19、（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点()F 2,0，且F 到双曲线的一条渐近线的距离为1． （I ）求双曲线C 的方程；
（II ）若直线:l 2y kx =+与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，且2OA⋅OB >u u u r u u u r
（O 为
原点），求k 的取值范围．
20、（本小题满分12分）已知∆ABP 的三个顶点都在抛物线C:2
4x y =上，F 为抛物线C 的焦点．
（I ）若F 3P =，求点P 的坐标；
（II ）若点()2,1P ，且PA ⊥PB ，求证：直线AB 过定点．
21、（本小题满分12分）已知焦点为()0,1，()0,1-的椭圆C 与直线:l 1y x =-+交于A ，
B 两点，M 为AB 的中点，直线OM 的斜率为2．焦点在y 轴上的椭圆E 过定点()1,4，
且与椭圆C 有相同的离心率．过椭圆C 上一点作直线y kx m =+（0m ≠）交椭圆E 于M ，
N 两点．
（I ）求椭圆C 和椭圆E 的标准方程； （II ）求∆OMN 面积的最大值．
22、（本小题满分12分）若过点()1,0M 作直线交抛物线C:2
y x =于A ，B 两点，且满
足λAM =MB u u u u r u u u u r
，过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l ，2l 的交点为N ．
参考公式：过抛物线2
2y px =上任一点()00,x y 作抛物线的切线，则切线方程为
()00yy p x x =+．
（I ）求证：点N 在一条定直线上；
（II ）若[]4,9λ∈，求直线MN 在y 轴上截距的取值范围．
2015-2016高二考试数学(理科)答案
一、选择题
1-5 CBBBD 6-10 CADDA 11-12 CC 二、填空题
13.19
122
2=-y x 14.122-
15.
121
252
2=+y x 16.3
2
2±
三、解答题
17.（1）设圆心坐标为（a,b)，则222222
(1)(3)(3)(2)30a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪+-=⎩
解得：1,2,2a b r ===，故圆的方程为：4)2()1(2
2=-+-y x
（2）令z ＝x ＋y ，即y x z =-+，当这条直线与圆相切时，它在y 轴上的截距最大或最小，
可求得最大值为：223+
18. （1）设焦点为（c ，0），因为过椭圆一焦点且与椭圆长轴垂直的弦长为1，
所以，222222141c a b c a
a b c ⎧⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎪⎩
，解得：2,1a b == 故椭圆方程为：1
4
2
2
=+y x
（2）072=+-y x ，072=--y x
19. （1）双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，则
222
21
c c a b ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪=
，解得：1a b ==
故双曲线的标准方程为：13
22
=-y x （2）)3
15,33()33,315(Y --
20．（1）抛物线为焦点为（0,1），准线为y ＝－1，因为｜PF ｜＝3，所以，点P 到准线的距离为3，
因此点P 的纵坐标为2，纵坐标为±，
所以，P 点坐标为)2,22(±
（2）)5,2(-
21. （1）
将直线1y x =-+代入椭圆方程，得：，2
2
2
2
2
2
22
()2a b x b x b a b +-+-＝0
直线OM 的斜率为2，可得：2
2
2a b =
又221
c a b c
==+12:22=+x y ； 19
18:2
2=+x y E
（2）4 22.（1）1-=x （2）]3
2,83[]83,32[Y --。