2017年广西贵港市平南县中考数学三模试卷(解析版)

2017年广西贵港市平南县中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．
1．sin60°的值等于（）
A．B．C．D．
2．随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．实数的值在（）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
4．全球海洋总面积约为36105.9万平方公里，用科学记数法表示为（）
A．3.61×108平方公里B．3.60×108平方公里
C．361×106平方公里D．36100万平方公里
5．甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击的平均成绩都是92环，其中甲的成绩的方差为0.015，乙的成绩的方差为0.035，丙的成绩的方差为0.025，丁的成绩的方差为0.027，由此可知（）
A．甲的成绩最稳定 B．乙的成绩最稳定
C．丙的成绩最稳定 D．丁的成绩最稳定
6．如图，AB是⊙O的直径，∠D=35°，则∠BOC的度数为（）
A．120°B．70°C．100° D．110°
7．下列命题中，真命题是（）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
8．一个几何体如图所示，则该几何体的三视图正确的是（）
A．B．
C．D．
9．某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（）
A．修车时间为15分钟
B．学校离家的距离为2000米
C．到达学校时共用时间20分钟
D．自行车发生故障时离家距离为1000米
10．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（）
A．12cm B．6cm C．3cm D．2cm
11．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b
﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
12．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析
下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=；正确的是（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．分解因式：x2y﹣y=．
14．在函数中，自变量x的取值范围是．
15．若2a﹣3b2=5，则6﹣2a+3b2=．
16．任取不等式组的一个整数解，则能使关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数的概率为．
17．抛物线y=﹣x+2与y轴交于点A，顶点为B．点P是x轴上的一个动点，当
点P的坐标是时，|PA﹣PB|取得最小值．
18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在
y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是．
三、解答题：
19．（1）计算：4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2017）0．
（2）解方程组：．
20．如图，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．
（1）请用尺规过点A作一条线段与BC交于D，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求AD的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两
点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E．已知C点的坐标是（6，﹣1），DE=3．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式．
（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
22．某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图．
请你根据以上的信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了名学生，其中最喜爱戏曲的有人；在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是．
（2）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数．
23．学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
24．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．延长AB交CD于点E．连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线l 与抛物线y=mx 2+nx 相交于A
（1，3），B （4，0）两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D ，使得△ABD 是以线段AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P 是线段AB 上一动点，（点P 不与点A 、B 重合），过点P 作PM ∥OA ，交第一象限内的抛物线于点M ，过点M 作MC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点N ，若△BCN 、△PMN
的面积S △BCN 、S △PMN 满足S △BCN =2S △PMN ，求出的值，并求出此时点M 的坐标．
26．如图①，△ABC 与△CDE 是等腰直角三角形，直角边AC 、CD 在同一条直线上，点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点，点P 为AD 的中点，连接AE 、BD ．
（1）猜想PM 与PN 的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△CDE 绕着点C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE 与MP 、BD 分别交于点G 、H ．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC ，CD=kCE ，如图③，写出PM 与PN 的数量关系，并加以证明．
2017年广西贵港市平南县中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．
1．sin60°的值等于（）
A．B．C．D．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
【解答】解：sin60°=．
故选：C．
2．随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选C．
3．实数的值在（）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
【考点】2B：估算无理数的大小．
【分析】直接利用估算无理数大小，正确得出接近的有理数，进而得出答案．
【解答】解：∵1＜＜2，
∴实数的值在：1和2之间．
故选：B．
4．全球海洋总面积约为36105.9万平方公里，用科学记数法表示为（）
A．3.61×108平方公里B．3.60×108平方公里
C．361×106平方公里D．36100万平方公里
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：36105.9万平方公里，用科学记数法表示为3.61×108平方公里，
故选：A．
5．甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击的平均成绩都是92环，其中甲的成绩的方差为0.015，乙的成绩的方差为0.035，丙的成绩的方差为0.025，丁的成绩的方差为0.027，由此可知（）
A．甲的成绩最稳定 B．乙的成绩最稳定
C．丙的成绩最稳定 D．丁的成绩最稳定
【考点】W7：方差．
【分析】众数表达了一组数据的集中趋势，方差则反映了该组数据的波动情况．欲求四位选手中射击水平发挥最稳定者，只要比较方差，取方差值最小者即可．
【解答】解：由表可知，S
甲2=0.015，S
乙
2=0.035，S
丙
2=0.025，S
丁
2=0.027，
于是S
乙2＞S
丁
2＞S
丙
2＞S
甲
2；
则这四位选手中水平发挥最稳定的是甲．
故选A．
6．如图，AB是⊙O的直径，∠D=35°，则∠BOC的度数为（）
A．120°B．70°C．100° D．110°
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】根据同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍，由角D为圆的圆周角，求出角AOC的度数，再根据平角的定义，即可求出角BOC的度数．
【解答】解：∵=，又∠D=35°，
∴∠AOC=2∠D=70°，
∴∠BOC=180°﹣70°=110°．
故选D
7．下列命题中，真命题是（）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
【考点】O1：命题与定理．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A．两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；
B．两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
C．两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；
D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
故选：D．
8．一个几何体如图所示，则该几何体的三视图正确的是（）
A．B．C．
D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据几何体的形状，从三个角度得到其三视图即可．
【解答】解：从正面看应该是一个趴着的“L”形状，左视图应该是个矩形，且被一条虚线隔开，表示棱，俯视图也是一个矩形，有一条虚线表示棱．
故选A．
9．某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（）
A．修车时间为15分钟
B．学校离家的距离为2000米
C．到达学校时共用时间20分钟
D．自行车发生故障时离家距离为1000米
【考点】E6：函数的图象；E9：分段函数．
【分析】观察图象，明确每一段小明行驶的路程，时间，作出判断．
【解答】解：由图可知，修车时间为15﹣10=5分钟，可知A错误；B、C、D三种说法都符合题意．
故选A．
10．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（）
A．12cm B．6cm C．3cm D．2cm
【考点】MP：圆锥的计算．
【分析】圆的半径为12，求出AB的长度，用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．
【解答】解：AB===12cm，
∴==6π
∴圆锥的底面圆的半径=6π÷（2π）=3cm．
故选C．
11．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b
﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a
＞0，设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为m，n再根据根与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，
∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，
∴﹣＞0．
设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为m，n，则m+n=﹣=﹣+，
∵a＞0，
∴＞0，
∴m+n＞0．
故选A．
12．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析
下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=；正确的是（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LB：矩形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】①正确．只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；
②正确．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出=，由AE=AD=BC，推出=，即CF=2AF；
③正确．只要证明DM垂直平分CF，即可证明；
④错误．设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有=，即b=a，可得tan
∠CAD===．
【解答】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴=，
∵AE=AD=BC，
∴=，
∴CF=2AF，故②正确；
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；
设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有=，即b=a，
∴tan∠CAD===．故④错误；
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．分解因式：x2y﹣y=y（x+1）（x﹣1）．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】观察原式x2y﹣y，找到公因式y后，提出公因式后发现x2﹣1符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：x2y﹣y，
=y（x2﹣1），
=y（x+1）（x﹣1），
故答案为：y（x+1）（x﹣1）．
14．在函数中，自变量x的取值范围是x≠﹣2．
【考点】E4：函数自变量的取值范围；62：分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+2≠0，解得答案．
【解答】解：根据题意得：x+2≠0，
解可得：x≠﹣2．
15．若2a﹣3b2=5，则6﹣2a+3b2=1．
【考点】33：代数式求值．
【分析】将2a﹣3b2=5代入原式即可求出答案．
【解答】解：当2a﹣3b2=5时，
∴原式=6﹣（2a﹣3b2）
=1
故答案为：1
16．任取不等式组的一个整数解，则能使关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非
负数的概率为．
【考点】X4：概率公式；CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】首先求得不等式组的一个整数解，关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数时，k的整数解，继而求得答案．
【解答】解：∵解不等式组的解集为：﹣＜k≤3，
∴整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，
关于x的方程：2x+k=﹣1的解为：x=﹣，
∵关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数，
∴k+1≤0，
解得：k≤﹣1，
∴能使关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数的为：﹣1，﹣2；
∴能使关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数的概率为：=．
故答案为：．
17．抛物线y=﹣x+2与y轴交于点A，顶点为B．点P是x轴上的一个动点，当
点P的坐标是（，0）时，|PA﹣PB|取得最小值．
【考点】H3：二次函数的性质；PA：轴对称﹣最短路线问题．
【分析】根据抛物线的解析式求得A的坐标，顶点B的坐标，设P（x，0），根据当PA=PB
是线段PA与PB的差的最小，即可求得最小值和P的坐标．
【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+x+2与y轴交于点A，
∴A（0，2），
∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣3）2+6，
∴顶点B（3，6），
设P（x，0），
当PA=PB是线段PA与PB的差的最小，PA﹣PB=0，
∵A（0，2），B（3，6），
∴PA2=x2+22=x2+4，PB2=（x﹣3）2+62，
∴x2+4=（x﹣3）2+62，解得：x=，
∴当P点坐标为（，0）时，|PA﹣PB|取得最小值．
故答案为：（，0）
18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在
y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；KK：等边三角形的性质．
【分析】根据题意得出直线AA1的解析式为：y=x+2，进而得出A，A1，A2，A3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．
【解答】解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，
由题意可得：A（0，2），AO∥A1B1，∠B1OC=30°，
∴CO=OB1cos30°=，
∴B1的横坐标为：，则A1的横坐标为：，
连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，
∵点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，AO=2，
∴直线AA1的解析式为：y=x+2，
∴y=×+2=3，
∴A1（，3），
同理可得出：A2的横坐标为：2，
∴y=×2+2=4，
∴A2（2，4），
∴A3（3，5），
…
A2014．
故答案为：．
三、解答题：
19．（1）计算：4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2017）0．
（2）解方程组：．
【考点】98：解二元一次方程组；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值分别请求出每一部分的值，再求出即可；
（2）①+②×5得出13x=13，求出x，把x=1代入②求出y即可．
【解答】解：（1）原式=4×+2﹣3﹣2+1
=4﹣4；
（2）
①+②×5得：13x=13，
解得：x=1，
把x=1代入②得：2﹣y=1，
解得：y=1，
所以原方程组的解为：．
20．如图，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．
（1）请用尺规过点A作一条线段与BC交于D，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求AD的长．
【考点】SB：作图—相似变换．
【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，利用相似三角形的判定方法可得到△ABD与△CAD 相似；
（2）利用面积法计算AD的长．
【解答】解：（1）如图，AD为所作．
（2）在Rt△ABC中，BC==10，
∵AD•BC=AB•AC，
∴AD==4.8．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两
点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E．已知C点的坐标是（6，﹣1），DE=3．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式．
（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）根据题意，可得出A、B两点的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=kx+b
（k≠0）与，即可得出解析式；
（2）即求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围即可．
【解答】解：（1）点C（6，﹣1）在反比例函数y=的图象上，
∴m=﹣6，
∴反比例函数的解析式y=﹣；
∵点D在反比例函数y=﹣上，且DE=3，
∴x=﹣2，
∴点D的坐标为（﹣2，3）．
∵CD两点在直线y=kx+b上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+2．
（2）当x＜﹣2或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值．
22．某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图．
请你根据以上的信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了50名学生，其中最喜爱戏曲的有3人；在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是72°．
（2）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数．
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．
【分析】（1）由“新闻”类人数及百分比可得总人数，由总人数及“戏曲”类百分比可得其人数，求出“体育”类所占百分比，再乘以360°即可；
（2）用样本中“新闻”类人数所占百分比乘以总人数2000即可．
【解答】解：（1）本次共调查学生：4÷8%=50（人），最喜爱戏曲的人数为：50×6%=3（人）；
∵“娱乐”类人数占被调查人数的百分比为：×100%=36%，
∴“体育”类人数占被调查人数的百分比为：1﹣8%﹣30%﹣36%﹣6%=20%，
∴在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是360°×20%=72°；
故答案为：50，3，72°．
（2）2000×8%=160（人），
答：估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数约有160人．
23．学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3
只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，根据：“1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元”列方程组求解即可；
（2）首先根据“A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和A型灯的只数之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可．
【解答】解：（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购进A型节能灯m只，总费用为W元，
根据题意，得：W=5m+7（50﹣m）=﹣2m+350，
∵﹣2＜0，
∴W随m的增大而减小，
又∵m≤3（50﹣m），解得：m≤37.5，
而m为正整数，
2×37+350=276，
∴当m=37时，W
最小=﹣
此时50﹣37=13，
答：当购买A型灯37只，B型灯13只时，最省钱．
24．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．延长AB交CD于点E．连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长．
【考点】ME：切线的判定与性质；KQ：勾股定理；M5：圆周角定理；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）连接OC．欲证AD是⊙O的切线，只需证明OA⊥AD即可；
（2）连接BG．在Rt△CEO中利用勾股定理求得OE=10，从而求得AE=13；然后由相似三角形Rt△AEF∽Rt△OEC的对应边成比例求得AF=9.6，再利用圆周角定理证得Rt△ABG ∽Rt△AEF，根据相似三角形的对应边成比例求得AG=7.2，所以GF=AF﹣AG=9.6﹣7.2=2.4．【解答】（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°．
∴∠OCA+∠ACD=90°．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠DAC=∠ACD，∠OCA+∠DAC=90°
∴∠0AC+∠CAD=90°．
∴∠OAD=90°．
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：连接BG；
∵OC=6cm，EC=8cm，
∴在Rt△CEO中，OE==10．
∴AE=OE+OA=16．
∵AF⊥ED，
∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．
∴Rt △AEF ∽Rt △OEC ．
∴
=．
即： =．
∴AF=9.6．
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AGB=90°．
∴∠AGB=∠AFE ．
∵∠BAG=∠EAF ，
∴Rt △ABG ∽Rt △AEF ．
∴
=．
即： =．
∴AG=7.2．
∴GF=AF ﹣AG=9.6﹣7.2=2.4（cm ）．
25．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线l 与抛物线y=mx 2+nx 相交于A
（1，3），B （4，0）两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D ，使得△ABD 是以线段AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P 是线段AB 上一动点，（点P 不与点A 、B 重合），过点P 作PM ∥OA ，交第一象限内的抛物线于点M ，过点M 作MC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点N ，若△BCN 、△PMN
的面积S △BCN 、S △PMN 满足S △BCN =2S △PMN ，求出的值，并求出此时点M 的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）分D在x轴上和y轴上，当D在x轴上时，过A作AD⊥x轴，垂足D即为所求；当D点在y轴上时，设出D点坐标为（0，d），可分别表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到关于d的方程，可求得d的值，从而可求得满足条件的D点坐标；
（3）过P作PF⊥CM于点F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数，可用PF分别表
=2S△PMN，示出MF和NF，从而可表示出MN，设BC=a，则可用a表示出CN，再利用S
△BCN
可用PF表示出a的值，从而可用PF表示出CN，可求得的值；借助a可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可求得a的值，从而可求出M点的坐标．
【解答】解：
（1）∵A（1，3），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x；
（2）存在三个点满足题意，理由如下：
当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵A（1，3），
∴D坐标为（1，0）；
当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2
+（3）2=36，
∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，
∴AD2+BD2=AB2，即1+（3﹣d）2+42+d2=36，解得d=，
∴D点坐标为（0，）或（0，）；
综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；（补充方法：可用A，B点为直径作一个圆，圆与坐标轴的交点即为答案）
（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，
∵PM∥OA，
∴Rt△ADO∽Rt△MFP，
∴==3，
∴MF=3PF，
在Rt△ABD中，BD=3，AD=3，
∴tan∠ABD=，
∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN=a，
在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，
∴tan∠PNF==，
∴FN=PF，
∴MN=MF+FN=4PF，
=2S△PMN，
∵S
△BCN
∴a2=2××4PF2，
∴a=2PF，
∴NC=a=2PF，
∴==，
∴MN=NC=×a=a，
∴MC=MN+NC=（+）a，
∴M点坐标为（4﹣a，（ +）a），
又M点在抛物线上，代入可得﹣（4﹣a）2+4（4﹣a）=（+）a，
解得a=3﹣或a=0（舍去），
OC=4﹣a=+1，MC=2+，
∴点M的坐标为（+1，2+）．
26．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．
（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出
PM与PN的数量关系，并加以证明．
【考点】SO：相似形综合题．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；
（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；
（3）PM=kPN，由已知条件可证明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因为点P、M、N
分别为AD、AB、DE的中点，所以PM=BD，PN=AE，进而可证明PM=kPN．
【解答】解：
（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，
∴PM=BD，PN=AE，
∴PM=PM，
∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，
∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，
∴∠MPA+∠NPC=90°，
∴∠MPN=90°，
即PM⊥PN；
（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，
∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．
又∵∠AOC=∠BOE，
∠CAE=∠CBD，
∴∠BHO=∠ACO=90°．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM=BD，PM∥BD；
PN=AE，PN∥AE．
∴PM=PN．
∴∠MGE+∠BHA=180°．
∴∠MGE=90°．
∴∠MPN=90°．
∴PM⊥PN．
（3）PM=kPN
∵△ACB和△ECD是直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∵BC=kAC，CD=kCE，
∴=k．
∴△BCD∽△ACE．
∴BD=kAE．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM=BD，PN=AE．
∴PM=kPN．
2017年5月28日
第31页（共31页）。