排列组合主题单元设计模板

《排列组合》主题单元设计
学习活动设计（针对该专题所选择的活动形式及过程新课引入：
问题1：5本不同的数学书， 4本不同的语文书，3本不同的物理书，
（1）从中任取1本，有多少种取法?
（2）从中各科中各取1本，有多少种不同的取法?
教师活动：教师提出问题，学生阅读、思考、回答。

设计意图：复习上节相关内容，正确地区分“分类”和“分步”
问题2：北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票?
.问题（2）的解答过程能否简化？
教师引导学生分析计数过程。

引起寻找新的方法，简化计数过程的需要。

希望得出如下感知：过程重复，比较繁琐，可以简化。

问题3：现有红、黄、白球各一个，从中任取2个，分别放入甲、乙盒子里，多少种不同的放法？此问题中要完成的“一件事”是什么？
教师引导学生分析，得出“一件事”是“从3个球中任取2个，分别放入甲、乙盒子里。

为理解排列的概念奠定基础
怎样用计数原理解决它？
教师提问，学生讨论回答，得出分步完成选球放入盒中。

启发学生联系计数原理
．问题4：从1、2、3、4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
在问题4中要完成的“一件事”是什么？
学生分析得出“一件事”是“从4个数字中选3个排成一个三位数”
为理解排列概念奠定基础。

二、引出定义
定义：从n个不同元素中，任取m(n
m )个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m
元素的排列数，用符号m
n
A表示.
用符号表示上述各题中的排列数.
三、例题讲解
例1：⑴7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：7个元素的全排列——7
7
A＝5040
⑵7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？
解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040
⑶7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——6
6
A=720
⑷7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有22
A种；第二步余下的5名同学进行全排
列有5
5
A种则共有2
2
A5
5
A=240种排列方法
⑸7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
解法一（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排
尾有2
5
A种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有5
5
A种方法所以一共
有
25A 5
5
A ＝2400种排列方法． 解法二：（排除法）若甲站在排头有66
A 种方法；若乙站在排尾有6
6A 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有
55
A 种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A －6
62A ＋5
5
A =2400种． 小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑．
例2 ： 7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有
6
6
A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有6
6
A 22A ＝1440 ⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ 解：方法同上，一共有5
5
A 3
3
A ＝720种． ⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能
站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有
25A 种方法；将
剩下的4个元素进行全排列有4
4A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有2
2A 种方法．所以这样的排法一共有
25A 44
A 2
2A ＝960种方法． 解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有25
5A 种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(2
2556
6
=⋅-A A A 种方法．
解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有1
4A 种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有
55
A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有14A 5
5A 22A ＝960种方法． 小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）． 例3： 7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ 解法一：（排除法）
36002
26677=⋅-A A A
解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有
5
5
A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有
26A 种方法，所以一共有36002655=A A 种方
学习活动设计（针对该专题所选择的活动形式及过程课题引入：通过上节课研究排列的问题出发，对比引出另一种与排列不同的计数方法，即组合。

【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出1名班长，一名副班长，共有多少种不同的选法？(若把问题改为从甲、乙、丙3名同学中选出2名担任班委，共有多少种不同的方法？该问题与原问题有何区别？)
解：原问题是上节课学习的排列数的问题，排列数为2
3
A，对应的排列为：
甲乙乙甲
甲丙丙甲
丙乙乙丙
变化后的问题对应的可能情况为：
甲乙
甲丙
丙乙
分析：与排列不同的是，这个问题是从3个不同的元素中取出2个，而取出的这两个元素是一个组合，没有顺序。

这就是本节课研究的另外一个计数问题，组合问题（引出组合的概念）
【问题2】从3个不同的元素,,
a b c中每次取出2个，共有多少种不同的排列？（若改为从3个不同的元素,,
a b c中每次取出2个，共有多少种不同的组合？）
解：原问题为从三个不同的元素中每次取出两个元素的排列问题，排列数为2
3
A，对
应的排列为：
ab ba
ac ca
bc cb
变化后的问题为从三个不同的元素中取出两个元素的组合问题，组合数为2
3
C，
对应的组合为：
ab
ac
bc
总结：通过问题1与问题2可以看出，给出一个问题，如果与顺序有关，则是排列问题，若果与顺序无关，则是组合问题。

通过例题讲解区分排列与组合问题。

组合数计算公式
思考：排列数有相应的计算公式，那上面标记的组合数该如何计算呢？
回到问题2，从三个不同的元素,,
a b c中每次取出2个的排列与组合的关系如图：
2
3
A：ab ba2
2
A
ab2
3
C
ac ca ac
bc cb bc
从图中关系可以看出组合共有2
3
C个；。