课件2：三 圆的切线的性质及判定定理

能力提升
例 如图所示，已知OC平分∠AOB，D是OC上一点， ⊙D与OA相切于点E，求证OB与⊙D的公共点，连接DF， 则DE＝DF. ∵OA与⊙D相切于点E， ∴DE⊥OA. 又∵OD平分∠AOB. ∴DF⊥OB，∴OB与⊙D相切． 分析：因为要证的是OB是⊙D的切线，所以不知道OB与 ⊙D是否有公共点，不能连接，只能过D作OB的垂线．
证明：如图，连接OD，过点O作OE⊥AC，垂足为点E.
∵⊙O与AB相切于点D， ∴OD⊥AB，且OD等于圆的半径． ∵△ABC为等腰三角形，点O是底边BC的中点， ∴∠B＝∠C，OB＝OC. 又∵∠ODB＝∠OEC＝90°， ∴△ODB≌△OEC， ∴OE＝OD， 即OE是⊙O的半径， 即圆心O到直线AC的距离等于半径． ∴AC与⊙O相切．
【正解】连接DE，过D作DF⊥OB于F， ∵OA切⊙D于E，∴DE⊥OA， ∵OD平分∠AOB，DF⊥OB， ∴DE＝DF，∴OB与⊙D相切． 【疑难点辨析】圆的切线是指与圆只有一个公共点的直线.根 据切线的定义,一定要明确切线的位置,再去证明.证明直线是 圆的切线时,无论直线是否经过圆上一点,都连接圆心与直线 上一点,这是不对的．
图形语言
作用
证明直线与圆相切
题型一 性质定理的应用
例1 如图，已知AB是⊙O的直径，ED切⊙O于D， EM⊥AB于M，交AD于C，交⊙O于F.求证：EC＝ED.
解析：方法一 连接BD(如图)，∵AB是⊙O的直径， ∴∠B＝90°－∠A，∵EM⊥AB， ∴∠ECD＝∠ACM＝90°－∠A. ∴∠ECD＝∠B. 又∵ED切⊙O于D，∴∠EDC＝∠B(证明略)． ∴∠EDC＝∠ECD.∴EC＝ED. 方法二 ∵ED切⊙O于D，连接OD. ∴OD⊥ED，∠EDA＝90°－∠ODA. ∵EM⊥AB，∴∠ECD＝∠ACM＝90°－∠A. ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A. ∴∠EDC＝∠ECD.∴EC＝ED.
►变式训练 2．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线， BC 交⊙O 于点 E. (1)若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若 OA＝ 3CE，求∠ACB 的大小．
解析：(1)连结 AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB. 在 Rt△AEC 中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE. 连结 OE，则∠OBE＝∠OEB. 又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°， 故∠OED＝90°，DE 是⊙O 的切线． (2)设 CE＝1，AE＝x，由已知得 AB＝2 3，BE＝ 12－x2. 由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以 x2＝ 12－x2， 即 x4＋x2－12＝0. 可得 x＝ 3，所以∠ACB＝60°.
►变式训练 1．如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上， AD切圆O于A，若∠ABC＝30°，AC＝2，则AD的长度为 ________．
题型二 判定定理的应用 例2 △ABC为等腰三角形，点O是底边BC的中点，⊙O 与腰AB相切于点D.求证：AC与⊙O相切．
分析：要证AC与⊙O相切，只需证明圆心O到直线AC 的距离等于⊙O的半径即可．
谢谢欣赏
图形语言
作用
证明点在直线上
3.性质定理推论 2
文字语言 符号语言
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 直线 l 与圆 O 相切于点 A,过点 A 作直线 m⊥ l,则 O∈m
图形语言
作用
证明点在直线上
4.切线的判定定理
文字语言 符号语言
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线 OA 是圆 O 的半径,直线 l⊥OA,且 A∈l,则 l 是 圆 O 的切线
例3 如图，已知AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O 于P，CE＝BE，E在BC上，试说明PE是⊙O的切线．
分析：要说明PE为⊙O的切线，就是要说明PE⊥OP.因 此需要作辅助线OP、BP.
解析：如图，∵AB是⊙O的直径， ∴∠APB＝90°. ∴∠BPC＝90°. 又∵BE＝CE， ∴PE＝BE.∴∠3＝∠1. 又∵OP＝OB，则∠4＝∠2. 由BC切⊙O于B，知∠1＋∠2＝90°. ∴∠3＋∠4＝90°.即OP⊥PE. ∴PE是⊙O的切线．
第二讲 直线与圆的位置 关系
三 圆的切线的性质及判定定理
知识速递
1.切线的性质定理
文字语言 圆的切线垂直于经过切点的半径 符号语言 直线 l 与圆 O 相切于点 A,则 OA⊥l
图形语言
作用
证明两条直线垂直
2.性质定理推论 1
文字语言 符号语言
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
直线 l 与圆 O 相切于点 A,过 O 作直线 m⊥l,则 A∈m