江苏省南通市通州、海安2024届数学高一下期末复习检测试题含解析

江苏省南通市通州、海安2024届数学高一下期末复习检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设等比数列{}n a 满足123a a +=，133a a -=-，则4a =（ ） A ．8
B ．16
C ．24
D ．48
2
．已知函数()sin f x x x =+，则下列命题正确的是（ ） ①()f x 的最大值为2； ②()f x 的图象关于,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称； ③()f x 在区间5,66ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上单调递增； ④若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则
12373
x x x π++=
； A ．①②
B ．①②③
C ．①③④
D ．①②③④
3．空间直角坐标系中，点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．()2,3,5--- B ．()2,3,5 C ．()2,3,5--
D ．()2,3,5-
4．函数()323x f x x =+-的零点所在的区间是（ ）． A ．(2,1)--
B ．(1,0)-
C ．(0,1)
D ．(1,2)
5．下列四个函数中，与函数()tan f x x =完全相同的是（ ）
A ．2
2tan
21tan 2
x
y x
=
- B ．1cot y x
=
C ．sin 21cos 2x
y x
=
+
D ．1cos 2sin 2x
y x
-=
6．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈（如图）．问它的体积是多少 ”这个问题的答案是（ ）
A ．5立方丈
B ．6立方丈
C ．7立方丈
D ．9立方丈
7．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220
D ．110
8．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a =（） A ．4- B ．6-
C ．8-
D ．10-
9．已知函数，则
A ．的最小正周期为，最大值为
B ．的最小正周期为，最大值为
C ．的最小正周期为，最大值为
D ．
的最小正周期为，最大值为
10．已知两点()2,4A --，()3,16B -，则AB =（ ） A ．12
B 145
C ．13
D ．517二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知0,0,2a b a b >>+=，则14
y a b
=
+的最小值是__________． 12．若()cos 3sin f x x x =在[],a a -上是减函数，则a 的取值范围为______.
13．已知向量,a b 满足•0,1,2,a b a b ===，则2a b -= 14．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1
lim 2
n n S →∞
=
，则首项1a 的取值范围是____________．
15．已知等比数列{}n a 中，若451a a =，8916a a =，则67a a =_____．
16．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右支与焦点为F 的抛
物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点若5AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．已知函数2
2
()(sin cos )2cos f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）当3,44x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的最大值和最小值. 18．已知函数()sin 4cos 436x f x x ππ⎛⎫⎛
⎫=++-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
（1）求()f x 的单调增区间；
（2）求()f x 的图像的对称中心与对称轴.
19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC
S =，6AB AC ⋅=.
（1）求角A 的大小；
（2）若a =，求ABC 的周长.
20．某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的化学成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60)，
[60,70)，…，[]90,100后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列
问题：
（1）求出这60名学生中化学成绩低于50分的人数；
（2）估计高二年级这次考试化学学科及格率（60分以上为及格）；
（3）从化学成绩不及格的学生中随机调查1人，求他的成绩低于50分的概率． 21．已知O 为坐标原点，(2cos 3OA x =，()
sin 3,1OB x x =-，若
()2f x OA OB =⋅+.
（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，若方程()0f x m +=有根，求m 的取值范围. 参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A 【解题分析】
利用等比数列的通项公式即可求解. 【题目详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
则112
1133
a a q a a q +=⎧⎨-=-⎩，解得11,2a q == 所以3
418a a q ==.
故选：A 【题目点拨】
本题考查了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题. 2、C 【解题分析】
()=2sin()3f x x π+，由此判断①的正误，根据()06f π
-≠判断②的正误，由
22,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈求出()f x 的单调递增区间，即可判断③的正误，结
合()f x 的图象判断④的正误. 【题目详解】
因为()sin 3cos =2sin()3
f x x x x π
=++，故①正确
因为()2sin 106
6
f π
π
-==≠，故②不正确
由22,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈得522,66
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈ 所以()f x 在区间5,66ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭上单调递增，故③正确
若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解， 结合()=2sin()3
f x x π
+的图象知，必有0,2x x π== 此时()=2sin()33
f x x π
+
=，另一解为3
x π
=
即1x ，2x ，3x 满足12373
x x x π
++=，故④正确 综上可知：命题正确的是①③④ 故选：C 【题目点拨】
本题考查的是三角函数的图象及其性质，解决这类问题时首先应把函数化成三角函数基本型. 3、A 【解题分析】
关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数．
【题目详解】
关于y 轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标均互为相反数． 所以点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是()2,3,5---． 故选：A ． 【题目点拨】
本题考查空间平面直角坐标系，考查关于坐标轴、坐标平面对称的问题．属于基础题． 4、C 【解题分析】
因为原函数是增函数且连续， 14
(1)0,(0)20,(1)203
f f f -=-
<=-= ， 所以根据函数零点存在定理得到零点在区间()0,1上， 故选C ． 5、C 【解题分析】
先判断函数的定义域是否相同，再通过化简判断对应关系是否相同，从而判断出与
()f x 相同的函数.
【题目详解】
()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫
≠+∈⎨⎬⎩⎭
，
A. 22tan 21tan
2x y x =-，因为tan 12,22x x k k Z ππ⎧≠±⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩，所以,24,2
2x k k Z x k k Z ππππ⎧≠±+∈⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩， 定义域为{|22
x x k π
π≠±
或2,}x k k Z ππ≠+∈，与()tan f x x =定义域不相同；
B. 1cot y x =，因为cos 0sin 0x x ≠⎧⎨≠⎩，所以,2
,x k k Z
x k k Z
πππ⎧
≠+∈⎪⎨⎪≠∈⎩， 所以定义域为,2k x x k Z π⎧
⎫
≠
∈⎨⎬⎩
⎭
，与()tan f x x =定义域不相同； C. sin 21cos 2x y x =
+，因为1cos20x +≠，所以定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
，
又因为2
sin 22sin cos tan 1cos 22cos x x x
y x x x
===+，所以与()tan f x x
=
相同； D. 1cos 2sin 2x
y x
-=
，因为sin 20x ≠，所以2,x k k Z π≠∈，定义域为
|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭
， 与()tan f x x =定义域不相同. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查与三角函数有关的相同函数的判断，难度一般.判断相同函数时，首先判断定义域是否相同，定义域相同时再去判断对应关系是否相同（函数化简），结合定义域与对应关系即可判断出是否是相同函数. 6、A 【解题分析】
过点,E F 分别作平面EGJ 和平面FHI 垂直于底面，所以几何体的体积分为三部分中间是直三棱柱，两边是两个一样的四棱锥，所以
11
3122131523
V =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=立方丈，故选A.
7、A 【解题分析】
由题意得，数列如下：
1
1,1,2,1,2,4,1,2,4,
,2k -
则该数列的前(1)
122
k k k ++++=
项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++
+++
+=-- ⎪⎝⎭
，
要使
(1)
1002
k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,
,2k 的部分和，设1212221t t k -+=++
+=-，
所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数2930
54402
N ⨯=
+=，故选A. 点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.
8、B 【解题分析】
通过134,,a a a 成等比数列，可以列出一个等式，根据等差数列的性质，可以把该等式变成关于2a 的方程，解这个方程即可. 【题目详解】
因为134,,a a a 成等比数列，所以有312
4a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，所以有22222
22()()(22)6a a a a =⋅+-+⨯⇒=-，故本题选B.
【题目点拨】
本题考查了等比中项的性质，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力. 9、B 【解题分析】
首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，
之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【题目详解】 根据题意有，
所以函数
的最小正周期为
，
且最大值为，故选B.
【题目点拨】
该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 10、C 【解题分析】
直接利用两点间距离公式求解即可． 【题目详解】
因为两点(2,4)A --，(3,16)B -，则22(32)(164)16913AB =++-+==，
故选C ． 【题目点拨】
本题主要考查向量的模，两点间距离公式的应用．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
92
【解题分析】
分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14
()()2a b a b
++，展开后，利用基本不等式求得y 的最小值. 详解：因为2a b +=，所以
12
a b
+=，所以14145259
()()222222
a b b a y a b a b a b +=
+=+=++≥+=（当且仅当2b a =时等号成立），则14
y a b =
+的最小值是92，总上所述，答案为92
. 点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.
12、0,3π⎛⎤
⎥⎝⎦
【解题分析】
化简函数解析式，()2cos()3
f x x π
=+
，[],x a a ∈-时，[,]333
x a a π
ππ
+
∈-+是余弦函数单调减区间的子集，即可求解.
【题目详解】
()cos3sin2cos()
3
f x x x x
π
=-=+,
[],
x a a
∈-时，[,]
333
x a a
πππ
+∈-+,
且()cos3sin
f x x x
=-在[],a a
-上是减函数，
∴[,][2,2]
33
a a k k
ππ
πππ
-+⊆+k Z
∈，
22
33
2
22
33
k a a k
a k a k
ππ
ππ
ππ
πππ
⎧⎧
≤-≤-
⎪⎪
⎪⎪
∴⇒
⎨⎨
⎪⎪
+≤+≤+
⎪⎪
⎩⎩
，k Z
∈
因为0,0
a a a k
-<∴>=
解得0
3
a
π
<≤.
【题目点拨】
本题主要考查了函数的三角恒等变化，余弦函数的单调性，属于中档题.
13、22
【解题分析】
试题分析：=,又0
a b⋅=，
1
a=，2
b=代入可得2
2a b
-=8，所以2a b
-=2
考点：向量的数量积运算.
14、
11
0,,1
22
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
【解题分析】
由题得
1
1
(1)
2
a q
=-，利用(1,0)(0,1)
q∈-⋃即可得解
【题目详解】
由题意知，1
1
12
a
q
=
-
，可得
1
1
(1)
2
a q
=-，又因为(1,0)(0,1)
q∈-⋃，所以可求得
1
11
0,,1
22
a⎛⎫⎛⎫
∈ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
.
故答案为：
11
0,,1
22
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式、数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15、4
【解题分析】
根据等比数列的等积求解即可.
【题目详解】
因为451a a =,8916a a =故()2
4589676716164a a a a a a a a ⇒=⇒=±=.
又()4467450a a a a q q =⋅=>,故674a a =. 故答案为：4
【题目点拨】
本题主要考查了等比数列等积性的运用,属于基础题.
16
、y x = 【解题分析】 根据题意到32A B y y p +=，联立方程得到22232
A B pb y y p a +==，得到答案. 【题目详解】
55222A B p p AF BF y y OF p +=+++==，故32
A B y y p +=. 22
22212x y a b x py ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，故222210y p y b a -+=，故22232A B pb y y p a +==，故2234b a =.
故双曲线渐近线方程为：y x =.
故答案为：2
y x =±
. 【题目点拨】 本题考查了双曲线的渐近线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）3[,]()88
k k k Z π
πππ-++∈；（2）函数()f x
，最小值为1-.
用二倍角正弦公式、降幂公式、辅助角公式对函数的解析式进行化简，然后利用正弦型函数的单调性求解即可.
【题目详解】
221cos 2()(sin cos )2cos 1sin 22
)24x f x x x x x x π+=+-=+-=-. （1）当222()242k x k k Z πππππ-
+≤-≤+∈时，函数递增， 解得3()88
k x k k Z π
πππ-+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为3[,]()88k k k Z ππππ-
++∈；
（2）因为3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5(2),444x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因此sin(2)42x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
所以函数()f x (12-
=-. 【题目点拨】
本题考查了正弦型函数的单调性和最值，考查了辅助角公式、二倍角的正弦公式、降幂公式，考查了数学运算能力.
18、（1）(),5242242k k k Z ππππ⎡⎤-
++∈⎢⎥⎣⎦；（2）对称中心,0412k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈；对称轴为()244
k x k Z π
π=+∈ 【解题分析】
利用诱导公式可将函数化为()2sin 43πf x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
； （1）令422232x k k π
ππππ≤+
≤-++，求得x 的范围即为所求单调增区间； （2）令43x k π
π+=，求得x 即为对称中心横坐标，进而得到对称中心；令
432x k π
π
π+=+，求得x 即为对称轴.
【题目详解】
()sin 4cos 4sin 4sin 42sin 4323333x x x x x f x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（1）令422232x k k π
π
π
ππ≤+≤-++，k Z ∈，解得：5242242
k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈
()f x ∴的单调递增区间为(),5242242k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
（2）令43x k π
π+=，k Z ∈，解得：412
k x ππ=-，k Z ∈ ()f x ∴的对称中心为,0412k ππ⎛⎫-
⎪⎝⎭，k Z ∈ 令432x k π
π
π+=+，k Z ∈，解得：244
k x π
π=+，k Z ∈ ()f x ∴的对称轴为()244
k x k Z ππ=
+∈ 【题目点拨】 本题考查正弦型函数单调区间、对称轴和对称中心的求解，涉及到诱导公式化简函数的问题；关键是能够熟练掌握整体对应的方式，结合正弦函数的性质来求解单调区间、对称轴和对称中心.
19、（1）60︒；（2）7【解题分析】
（1）根据三角形面积公式,结合平面向量数量积定义,分别表示出bc ,联立即可求得tan A ,进而得A 的值.
（2）由a =,结合余弦定理即可表示出22c b +,由（1）可得bc .即可联立表示出b c +,进而求得周长.
【题目详解】
（1）因为ABC S ∆=
所以1sin 2bc A =,则sin bc A
= 而6AB AC ⋅=,可得cos 6bc A =,所以6cos bc A =
即sin 6cos A A
=
化简可得sin tan cos A A A
=
=所以60A =︒；
（2）因为a =,所以由余弦定理可得2222cos 13a b c bc A =+-=,
即2225c b +=,由（1）知12bc =,
则222()249b c b c bc +=++=,所以7b c +=,
所以ABC ∆的周长为7+【题目点拨】
本题考查了三角形面积公式的应用,余弦定理解三角形,平面向量数量积的定义及应用,属于中档题.
20、（1）6人；（2）75%；（3）
25. 【解题分析】
试题分析：（1）由频率分布直方图可得化学成绩低于50分的频率为0.1，然后可求得人数为600.16⨯=人；（2）根据频率分布直方图求分数在第三、四、五、六组的频率之和即可；（3）结合图形可得“成绩低于50分”的人数是6人，成绩在[)50,60这组的人数是9人，由古典概型概率公式可得所求概率为
62155=。

试题解析：
（1）因为各组的频率和等于1，由频率分布直方图可得低于50分的频率为： ()10.01520.030.0250.005100.1-⨯+++⨯=，
所以低于50分的人数为600.16⨯=（人）．
（2）依题意可得成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），其频率之和为()0.0150.030.0250.005100.75+++⨯=，
故抽样学生成绩的及格率是75%，
于是，可以估计这次考试化学学科及格率约为75%．
（3）由（1）知，“成绩低于50分”的人数是6人，
成绩在[)50,60这组的人数是0.01510609⨯⨯=（人），
所以从成绩不及格的学生中随机调查1人，有15种选法，成绩低于50分有6种选法，
故所求概率为62155
P ==．
21、 (1) ()f x 的单调减区间为7,1212k k ππππ⎡
⎤+
+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ;(2))
2m ⎡∈-⎣. 【解题分析】
试题分析：（1）根据向量点积的坐标运算得到()22223f x OA OB sin x π⎛⎫=⋅+=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性得到单调递减区间；（2）将式子变形为.()m f x -=有解，转化为值域问题．
解析：
（Ⅰ）∵(2cos OA x =，()
sin ,1OB x x =+-，
∴()2f x OA OB =⋅+= 22cos sin 2x x x +
sin22x x =++
2sin 223x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭ 其单调递减区间满足32222
32k x k π
ππππ+≤+≤+，Z k ∈， 所以()f x 的单调减区间为7,1212k k π
πππ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦
()Z k ∈. （Ⅱ）∵当0,
2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，方程()0f x m +=有根， ∴()m f x -=. ∵0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴42,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，
∴sin 2123x π⎛⎫-<+≤ ⎪⎝
⎭，
∴()(2,4f x ⎤∈⎦，
∴)2m ⎡∈-⎣.
点睛：这个题目考查了，向量点积运算，三角函数的化一公式，，正弦函数的单调性问题，三角函数的值域和图像问题．第二问还要用到了方程的零点的问题．一般函数的零点和方程的根，图象的交点是同一个问题，可以互相转化．。