2003年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析

2003年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）
1．（7分）的值等于（）
．5﹣4B．4﹣1 C
解答：
解：原式==+=
，
故选D．
2．（7分）在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）
3．（7分）若函数y=kx（k＞0）与函数的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（）
解答：解：设点A的坐标为（x，y），则xy=1，
故△ABO的面积为，
又∵△ABO与△CBO同底等高，
∴△ABC的面积=2×△ABO的面积=1．
故选A．
解答：解：由可得，（﹣）（++）=0，
∵++＞0，∴﹣=0，
∴
，
故选B．
5．（7分）设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且=，若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面
积为，则的值为（）
．B．C．D．
解答：解：连接BE．
∵=，
∴△ADE和△ABE的面积比是1：3．
设△ADE的面积是k，则△ABE的面积是3k，则△BDE的面积是2k．
设△BCE的面积是x，则有（2k+x）=（3k+x），
解得x=k．
则△ABE和△BCE的面积比是3：1，
则的值为．
故选B．
6．（7分）如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为（）
．D．
解答：解：连接CE；
∵，
∴∠BAE=∠EBC+∠BEC；
∵∠DCB=∠DCE+∠BCE，
由弦切角定理知：∠DCE=∠EBC，
由平行四边形的性质知：∠DCB=∠BAE，
∴∠BEC=∠BCE，即BC=BE=5，
∴AD=5；
由切割线定理知：DE=DC2÷DA=，
故选D．
二、填空题（共4小题，每小题7分，满分28分）
7．（7分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac= ﹣解答：解：设A（x1，0），B（x2，0），由△ABC是直角三角形可知x1、x2必异号，
则x1•x2=＜0，
由于函数图象与y轴相交于C点，所以C点坐标为（0，c），
由射影定理知，|OC|2=|AO|•|BO|，即c2=|x1|•|x2|=||，
故|ac|=1，ac=±1，
由于＜0，所以ac=﹣1．
故答案为：﹣1．
8．（7分）设m是整数，且方程3x2+mx﹣2=0的两根都大于﹣而小于，则m= 4 ．
解答：
解：由题设可知，，
解得．
因为m是整数，所以m=4．
故答案为4．
9．（7分）如图，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′=BB′=AB，则∠BAC的度数为12°．
∴∠CAB=∠BB′A，
∴∠B′BD=2x°，
∵BB′是∠DBC的平分线，
∴∠CBD=4x°，
∵AB=AA′，
∴∠AA′B=∠ABA′=∠CBD=4x°，
∵∠A′AB=（180°﹣x°），
∴（180°﹣x°）+4x°+4x°=180°，
∴x°=12°．
故答案为：12°．
10．（7分）已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么，a、b中较大的数是225 ．
解答：解：设（a，b）=d，且a=md，b=nd，其中m＞n，且m与n互质，
于是a、b的最小公倍数为mnd，
依题意有
即，
则m＞n据②可得或或或
根据①只取
可求得d=15，故两个数中较大的数是md=225．
三、解答题（共5小题，满分120分）
11．（20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．
解答：解：设前后两个二位数分别为x，y，
∴（x+y）2=100x+y．
x2+2（y﹣50）x+（y2﹣y）=0．
b2﹣4ac=4（y﹣50）2﹣4（y2﹣y）=4（2500﹣99y）≥0，
解得y≤25，
当y≤25时，原方程有解．
∴x==50﹣y±，
∴2500﹣99y必为完全平方数，
∵完全平方数的末位数字只可能为0；1；4；5；6；9．x的数位是2位，y是2位．
∴y=25，
∴x=30或20，
12．（25分）在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB 的垂线相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．
求证：①△DEM≌△DFN；
②∠PAE=∠PBF．
解答：证明：①如图，在△ABP中，
∵D、M、N分别是AB、AP、BP的中点，
∴DM=BP，DN=AP，
又∵PE⊥AE，BF⊥PF
∴EM=AP=DN，FN=BP=DM，
∵DE=DF
∴△DEM≌△DFN（SSS）；
②∵由①结论△DEM≌△DFN可知∠EMD=∠FND，
∵DM∥BP，DN∥AP，
∴∠AMD=∠BND=∠APB，
∴∠AME=∠BNF
又∵PE⊥AE，BF⊥PF，
∴△AEP和△BFP都为直角三角形，
又M，N分别为斜边PA与PB的中点，
∴AM=EM=AP，BN=NF=BP，
∴∠MAE=∠MEA，∠NBF=∠NFB，
∴∠PAE=（180°﹣∠AME），∠PBF=（180°﹣∠BNF）．
即∠PAE=∠PBF，
13．（25分）已知实数a、b、c、d互不相等，且，试求x的值．
解答：
解：由已知有a+=x，①； b+=x，②；c+=x，③；d+=x，④；
即dx3﹣（ad+1）x2﹣（2d﹣a）x+ad+1=0⑦
由④得ad+1=ax，代入⑦得（d﹣a）（x3﹣2x）=0
由已知d﹣a≠0，∴x3﹣2x=0
若x=0，则由⑥可得a=c，矛盾．
故有x2=2，x=±
15．（25分）已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16．
（1）这样的四边形有几个？
（2）求这样的四边形边长的平方和的最小值．
解答：解：（1）如图，记AB=a，CD=b，AC=l，并设△ABC的边BA上的高为h1，△ADC的边DC上的高为h2，则S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=（h1a+h2b）≤l（a+b），
当且仅当h1=h2=l时等号成立，即在四边形ABCD中，当AC⊥AB，AC⊥CD时，等号成立，
由已知得64≤l（a+b），又∵a+b=16﹣l，
得64≤l（16﹣l）=64﹣（l﹣8）2≤64，
于是l=8，a+b=8，且这时AC⊥AB，AC⊥CD，
因此这样的四边形由如下4个：a=1，b=7，l=8；a=2，b=6，l=8；a=3，b=5，l=8；a=b=4，l=8；
（2）由于AB=a，CD=8﹣a，则BC2=82+a2，AD2=82+（8﹣a）2，
故这样的四边形的边长的平方和为：
2a2+2（8﹣a）2+128=4（a﹣4）2+192，
当a=b=4时，平方和最小，且为192．
故答案为：4，192．。