八年级数学下册第16章分式16.2分式的运算2分式的加减教案新版华东师大版

2. 分式的加减
1．理解并掌握分式加减法法则，并会利用分式加减法法则熟练地进行异分母分式加减法计算．(重点) 2．掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式的混合运算．(难点)
一、情境导入 1．请同学们说出12x 2y 3，13x 4y 2，1
9xy 2的
最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？
2．你能举例说明分数的加减法法则吗？仿照分数加法与减法的法则，你会做以下题目吗？
(1)1x ＋3x ；(2)2xy ＋4xy －5xy
.
分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则吗？
今天我们就学习分式的加减法．
二、合作探究
探究点一：同分母分式的加减法
计算：(1)a 2＋1a ＋b －b 2＋1a ＋b ；(2)
2
x －1
＋x －1
1－x
. 解析：按照同分母分式相加减的方法进行运算．
解
：
(1)
a 2＋1a ＋b
－
b 2＋1a ＋b
＝
a 2＋1－（
b 2＋1）a ＋b ＝a 2＋1－b 2－1a ＋b ＝a 2－b 2
a ＋b
＝
（a ＋b ）（a －b ）
a ＋b
＝a －b ；
(2)
2x －1＋x －11－x ＝2x －1－x －1
x －1
＝2－（x －1）x －1＝3－x
x －1
.
方法总结：(1)当分子是多项式，把分子相减时，千万不要忘记加括号；(2)分式加减运算的结果，必须要化成最简分式或整
式；(3)当两个分式的分母互为相反数时可变形为同分母的分式． 探究点二：异分母分式的加减
【类型一】 异分母分式的加减运算
计算：
(1)x 2
x －1－x －1； (2)x ＋2x 2－2x －x －1
x 2－4x ＋4. 解析：(1)先将整式－x －1变形为分母为x －1的分式，再根据同分母分式加减法法则计算即可；(2)先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．
解：(1)x 2x －1－x －1＝x 2
x －1－x 2－1
x －1
＝
1
x －1
； (2)
x ＋2x 2－2x
－x －1x 2
－4x ＋4
＝（x ＋2）（x －2）
x （x －2）2－
x （x －1）x （x －2）2
＝
x 2－4－x 2＋x x （x －2）2＝x －4
x 3－4x 2＋4x
.
方法总结：在分式的加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
【类型二】 分式的简便运算
已知下面一列等式：
1×12＝1－12；12×13＝12－13； 13×14＝13－14；14×15＝14－1
5
；… (1)请你从这些等式的结构特征写出它的一般性等式；
(2)验证一下你写出的等式是否成立；
(3)利用等式计算：
1
x （x ＋1）
＋
1（x ＋1）（x ＋2）＋1
（x ＋2）（x ＋3）＋
1
（x ＋3）（x ＋4）
.
解析：(1)观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可写出一般性等式；(2)根据分式的运算法则即可验证；(3)根据(1)中的结论求解．
解：(1)1n ·1n ＋1＝1n －1
n ＋1；
(2)∵
1
n
－
1n ＋1＝n ＋1
n （n ＋1）
－n n （n ＋1）＝1n （n ＋1）＝1n ·1n ＋1，∴1n ·
1
n ＋1
＝1n －1n ＋1
； (3)原式＝(1x －1x ＋1)＋(1x ＋1－1
x ＋2)
＋(1x ＋2－1x ＋3)＋(1x ＋3－1x ＋4)＝1x －
1
x ＋4＝4x 2＋4x
. 方法总结：本题是寻找规律的题型，考查了学生分析问题、归纳问题及解决问题的能力．总结规律要从整体和部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论．
探究点三：分式的混合运算 【类型一】 分式的混合运算
计算：
(1)(3a a －3－a a ＋3)·a 2
－9a ；
(2)(x ＋
x
x 2
－1)÷(2＋1x －1－1
x ＋1
)． 解析：(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则
变形，约分即可得到结果．
解：(1)原式＝
3a 2
＋9a －a 2
＋3a （a ＋3）（a －3）·（a ＋3）（a －3）
a ＝2a
＋12；
(2)原式＝x 3
（x ＋1）（x －1）÷
2x 2－2＋x ＋1－x ＋1
（x ＋1）（x －1）
＝
x 3
（x ＋1）（x －1）·（x ＋1）（x －1）2x 2
＝x 2. 方法总结：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【类型二】 分式的化简求值
先化简代数式x 2－2x ＋1
x 2－1
÷(1－
3
x ＋1
)，再从－4＜x ＜4的范围内选取一个合适的整数x 代入求值．
解析：先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后从x 的取值范围内选取一数值代入即可．
解：原式＝（x －1）2
（x ＋1）（x －1）÷(
x ＋1
x ＋1－3x ＋1)＝（x －1）2
（x ＋1）（x －1）·x ＋1x －2
＝x －1x －2，令x ＝0(x ≠±1且x ≠2)，得原式＝1
2
. 方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.
【类型三】 利用公式变形对分式进行化简
已知a ＋1
a
＝5，求
a 2
a 4＋a 2＋1
的值．
解析：本题若先求出a 的值，再代入求值，显然现在解不出a 的值，如果将
a 2
a 4＋a 2＋1
的分子、分母颠倒过来，即求
a 4＋a 2＋1
a 2
＝a 2
＋1＋1a
2的值，再利用公式变形求值就简
单多了．
解：因为a ＋1a ＝5，所以(a ＋1a
)2
＝25，
即a 2
＋1
a 2＝23，所以a 4＋a 2＋1a 2
＝a 2＋1＋1
a
2＝23＋1＝24.所以a 2a 4＋a 2＋1＝1
24
.
方法总结：利用x 和1
x
互为倒数的关系，
沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．
三、板书设计
1．同分母分式的加减法：分母不变，把分子相加减，用式子表示为a c ±b c ＝
a ±b
c
.
2．异分母分式的加减法：先通分，变为同分母的分式，再加减，用式子表示为a
b
±
c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bc bd
. 3.分式的混合运算
分式混合运算的顺序：先乘方，再乘除，然后加减，遇到括号要先算括号内的．
从分数加减法引入，类比得出分式的加减法，最关键的是法则的探究，重点是法则的运用，易错点是分母互为相反数，要化成同分母分式，在这个过程中要注意变号．在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．学生在教师的指导下，先独立进行自学，自己解决不了的问题在小组内讨论交流进行解决．。