2012届高考理科数学第二轮综合验收评估复习题12

一、选择题
1．(2011·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π3，π2上单调递减，则ω＝ A ．3 B ．2 C.3
2
D.23
解析 ∵y ＝sin ωx (ω＞0)过原点，
∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π
2ω时，y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π
2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由y ＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π3上单调递增，
在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 答案 C
2．(2011·潍坊模拟)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π4的图象上各点的横坐标伸长到原来
的3倍，再向右平移π
8个单位，得到的函数的一个对称中心是
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4，0 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π9，0
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π16，0 解析 将函数y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫6x ＋π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得
到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象；再向右平移π8个单位，得到函数h (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin 2x 的图象，又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，0是函数h (x )的一个对称
中心．故选A.
答案 A
3．(2011·天津)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π. 若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π
2时，f (x )取得最大值，则 A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数
B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是
增函数
C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数
D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数
解析 ∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝1
3，
∴13×π2＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π
3(k ∈Z )． ∵－π＜φ≤π，∴令k ＝0得φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 3＋π3.
令2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ， 则6k π－5π2≤x ≤6k π＋π
2，k ∈Z .
显然f (x )在[]－2π，0上是增函数，故A 正确，而在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－3π，－5π2上为减函数，
在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π2，－π上为增函数，故B 错误，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π，7π2上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
7π2，13π2上为增函数，故C 错误，f (x )在[4π，6π]上为增函数，故D 错误．
答案 A
4．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ≤π2，且此函数的图象如图所示，
则点(ω，φ)的坐标是
A.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，π4
B.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，π2
C. ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4，π4
D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4，π2 解析 由图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0及⎝ ⎛⎭⎪⎫
7π8，0可知，函数的周期为π，
所以2πω＝π，所以ω＝2.又2×3π8＋φ＝k π(k ∈Z )，0＜φ≤π
2， 所以φ＝π
4.故选A. 答案 A
5．(2011·通化模拟)当x ＝π
4时，函数y ＝f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4－x 是
A ．奇函数且当x ＝π
2时取得最大值 B ．偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．奇函数且当x ＝π
2时取得最小值
D ．偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，0对称
解析 当x ＝π4时，函数y ＝f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则π
4＋φ＝2k π＋
3π2(k ∈Z )，即φ＝2k π＋5π4(k ∈Z )．因此y ＝f (x )＝A sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x ＋2k π＋5π4＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π4，所以y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π
4－x ＋5π4＝A sin(－x )＝－A sin x ，因此函数y ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π4－x 是奇函数且当x ＝π2时取得最小值． 答案 C
6．已知函数f (x ) 是R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数．令a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7，c ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
tan 5π7，则 A ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜a C ．b ＜c ＜a
D ．a ＜b ＜c
解析 由已知得a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π14，∵cos 5π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－5π7＝－sin 3π14，
tan 5π7＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫π－2π7＝－tan 2π7，
∴b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7＝f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－sin 3π14＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin 3π14，
c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 5π7＝f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－tan 2π7＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 2π7，
因为0＜3π14＜4π14＝2π7＜π2， 故易得0＜sin 3π14＜sin 4π14＜tan 2π
7， 而函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 因此有b ＜a ＜c ，选A. 答案 A
二、填空题
7．(2011·上海)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6－x 的最大值为________．
解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝cos x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6－x ＝cos x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos π6·
cos x ＋sin π6·sin x ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋1
2sin x ＝32cos 2x ＋12sin x ·cos x
＝32·1＋cos 2x 2＋14sin 2x ＝34＋34cos 2x ＋1
4sin 2x ＝34＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋3
2cos 2x ＝34＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，
∴当sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝2＋34.
答案
2＋3
4
8．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的图象向左平移π3ω个单位长度，得到函
数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π4上为增函数，则ω的最大值为________．
解析 函数g (x )的解析式为 g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ω⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋π3ω－π3＝sin ωx .
函数g (x )包含坐标原点的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π
2ω，π2ω.
若函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π4上为增函数，
则⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，只要π2ω≥π4， 得0＜ω≤2.所以ω的最大值为2. 答案 2
9．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫
π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象
向左平移π
4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确的命题序号是________(把你认为正确命题的序号都写上)．
解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＝
2sin π4≠±2，故②错；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π8＝2sin 0＝0故③对；y ＝f (x )的图象向左平移π4个单
位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4，故④错．故填①③. 答案 ①③ 三、解答题
10．已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R .求： (1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合； (2)函数f (x )的单调增区间．
解析 (1)f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝2＋2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4.
当2x ＋π4＝2k π＋π
2，(k ∈Z )，
即当x ＝π
8＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值2＋2， 所以f (x )取得最大值时的x
的集合为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＝π8＋k π，k ∈Z .
(2)由(1)知f (x )＝2＋2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4，
∴－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π
2＋2k π，k ∈Z ， ∴－3π8＋k π≤x ≤π
8＋k π，k ∈Z ，
∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z . 11．(2011·浙江)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3x ＋φ，x ∈R ，A ＞0,0＜φ＜π2，y ＝f (x )
的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．
(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；
(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π
3，求A 的值． 解析 (1)由题意得T ＝2π
π3
＝6.
因为P (1，A )在y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3x ＋φ的图象上，
所以sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3＋φ＝1.
又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π
6. (2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )．
由题意可知π3x 0＋π6＝3π
2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )． 连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π
3，由余弦定理得
cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 2
2RP ·RQ
＝A 2＋9＋A 2－(9＋4A 2)2A ·9＋A 2＝－1
2，
解得A 2＝3.
又A ＞0，所以A ＝ 3.
12．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如
图所示．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)令g (x )＝f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π12，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．
解析 (1)由图象知A ＝2.
f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫
5π12－π6＝π，
故ω＝2π
T ＝2.
将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2代入f (x )的解析式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1， 又|φ|＜π2，∴φ＝π6.
故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6.
(2)g (x )＝f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪
⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π3.
g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＝0， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≠g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≠－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. ∴g (－x )≠g (x )，g (－x )≠－g (x )， 即g (x )为非奇非偶函数．
高≈考α试∷题:库。