上海市闵行区高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题解析(原卷版).docx

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一、填空题：
1. 集合2{|20}A x x x =-<，{|1}B x x =<，则A
B 等于 ．
2. 函数0.21=-x y 的定义域是 ．
3. 已知函数11
()12
x
f x =
，则1
(1)f -= ．
4. 若复数
11
()12
i b b i ++∈-R 的实部与虚部相等，则b 的值为 ． 5. 若对任意正实数a ，不等式21<+x a 恒成立，则实数x 的最小值为 ．
6. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12323S S S 、、成等差数列，则数列{}n a 的公比为 ．
7. 已知平面上四点O A B C 、、、，若12
33=+OB OA OC ，则
=AC
AB ． 8. 如图，在底面边长为a 的正方形的四棱锥P ABCD -中，已知PA AC ⊥平面，且PA a =，则直线PB 与平面PCD 所成的角大小为 ．
9. 在极坐标系中,曲线4cos()3
π
ρθ=-
与直线cos 2ρθ=的两个交点之间的距离为 ．
10. 某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是 ．
11. 函数)12sin(2)(-+=x x x f 图像的对称中心是 ．
12. 设12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y
a b a b
-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足
212,PF F F =且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为
13. 设角α的终边在第一象限，函数)(x f 的定义域为[]1,0，且1)1(,0)0(==f f ，当y x ≥时，有
)()sin 1(sin )()2(
y f x f y x f αα-+=+，则使等式11
()44
f =成立的α的集合为 ． 14. 直角坐标平面上，有2013个非零向量1232013a a a a 、、、、，且1(1,2,,2012)
k k a a k +⊥=，各向量的横
坐标和纵坐标均为非负实数，若1232013a a a a l =++++（常数），则1232013a a a a ++++的最小值
为 ．
二、选择题
15. 下列函数中，与函数3
y x =的值域相同的函数为 （ ）
（A ）1
12x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭
. （B ）ln(1)y x =+. （C ）1x y x +=
. （D ）1
y x x
=+. 16. 角α终边上有一点)2,1(-，则下列各点中在角α2的终边上的点是 （ ） (A) (3,4). (B) (3,4)--. (C) (4,3). (D) (4,3)--. 17. 一无穷等比数列{}n a 各项的和为
32，第二项为1
3
，则该数列的公比为 （ ）
（A ）
13. （B ）23. （C ）13-. （D ）13或23
. 18. 下图揭示了一个由区间()1,0到实数集R 上的对应过程：区间()1,0内的任意实数m 与数轴上的线段AB （不包括端点）上的点M 一一对应（图一），将线段AB 围成一个圆，使两端B A ,恰好重合（图二），再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为(0,1)（图三）.图三中直线AM 与x 轴交于点()0,n N ，由此得到一个函数)(m f n =，则下列命题中正确的序号是 （ ）
021)1(=⎪⎭⎫
⎝⎛f ； )()2(x f 是偶函数； )()3(x f 在其定义域上是增函数；
)()4(x f y =的图像关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,21对称.
（A ）（1）（3）（4）.（B ）（1）（2）（3）.（C ）（1）（2）（4）. （D ）（1）（2）（3）（4）.
三、解答题
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2个小题满分8分。

已知复数13cos sin i i αα-++、（0,2
i π
α<<是虚数单位）在复平面上对应的点依次为A B 、，点O 是坐
标原点.
（1）若OA OB ⊥,求tan α的值； （2）若B 点的横坐标为4
5
,求AOB S ∆.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2个小题满分8分。

某加油站拟造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位：米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，32-=r l （l 为圆柱的高，r 为球的半径，2l ≥）.假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为c 千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元.设该储油罐的建造费用为y 千元.
（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该储油罐的建造费用最小时的r 的值.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2个小题满分8分。

已知1
()1((0,),,2)n n f x x x x x n n -=++
+-∈+∞∈≥N .
(1)当2n =,(]0,1x ∈时,若不等式()f x kx ≤恒成立,求k 的范围； (2)试判断函数()f x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内零点的个数，并说明理由.
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，
第3小题满分6分．
已知椭圆C 过点3
(1,
)2
A ，两焦点为1(3,0)F -、2(3,0)F ，O 是坐标原点，不经过原点的直线l y kx m =+：与该椭圆交于两个不同点P 、Q ，且直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列.
(1)求椭圆C 的方程； (2)求直线l 的斜率k ； (3)求OPQ ∆面积的范围.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，
第3小题满分8分．
如果数列{}n a 同时满足：（1）各项均不为0，（2）存在常数k, 对任意*2
12,n n n n a a a k ++∈=+N 都成立，
则称这样的数列{}n a 为“类等比数列” .由此等比数列必定是“类等比数列” .问： （1）各项均不为0的等差数列{}n b 是否为“类等比数列”？说明理由.
（2）若数列{}n a 为“类等比数列”，且12,a a a b ==(a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得21
n n n a a a λ+++=
对任意*n ∈N 都成立？若存在，求出λ；若不存在，请举出反例．
（3）若数列{}n a 为“类等比数列”，且12,a a a b ==，22k a b =+(a ，b 为常数)，求数列{}n a 的前n 项之
和n S ；数列{}n S 的前n 项之和记为n T ，求43()k T k *-∈N .。