2017届山东省青岛市高三3月统一质量检测理科数学试题及答案 精品

青岛市高三统一质量检测
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，则A B = A ．{|01}x x ≤≤ B ．{|0x x >或1}x <- C ．{|12}x x <≤
D ．{|02}x x <≤
2. 已知向量(1,2)a =- ,(3,)b m = ,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +
”
的
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3. 右图是一容量为100的样本的重量的频
率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为
A ．11
B ．11.5
C ．12
D ．12.5
4. 双曲线22
145
x y -=的渐近线方程为
A
．y = B
．y x = C
．y x = D
．y = 5. 执行右图所示的程序框图，则输出的结果是
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11 6. 函数22cos ()2
y x π
=+图象的一条对称轴方程可以为
A ．4
x π= B ．3
x π
= C ．3
4
x π= D ．x π=
7.
过点(1P 作圆221O x y ：＋＝的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长||AB =
A
B ．2 C
D ．4
8. 已知实数y x ,满足约束条件0
4340
x x y y >⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则1y w x +=的最小值是
A ．2-
B ．2
C ．1-
D ．1
9. 由曲线1xy =，直线,3y x x ==所围成封闭的平面图形的面积为 A ．
32
9
B ．4ln 3-
C ．4ln 3+
D ．2ln 3- 10. 在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确
定的实数，且具有性质：
（1）对任意R a ∈，0a a *=；
（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*． 关于函数1
()()x x
f x e e =*
的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]-∞．
其中所有正确说法的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知
2a i
b i i
+=+（R a b ∈，），其中i 为虚数单位，则a b += ；
12. 已知随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P a ξ>=，a 为常数,则(10)P ξ-≤≤= ； 13. 二项式6
2
1()x x -
展开式中的常数项为 ； 14.
则该几何体的体积为 ；
15. 已知函数21
3
,1
()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪
=⎨>⎪⎩ ，()|||1|g x x k x =-+-，若对任意的
12,R x x ∈，都有12()()f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围
为 .
三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）
在ABC ∆中, c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且
2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=.
左视图
（Ⅰ）求B 的大小;
（Ⅱ）若a c +=
，b =求ABC ∆的面积.
17．（本小题满分12分）
2013年6月“神舟 ”发射成功．这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为34、13、12、23
，并且各个环节的直播收看互不影响．
（Ⅰ）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率;
（Ⅱ）若用X 表示该班某一位同学收看的环节数,求X 的分布列与期望．
18．（本小题满分12分）
如图几何体中，四边形ABCD 为矩形，24AB BC ==，
DE AE CF BF ===，2EF =，//EF AB ，CF AF ⊥.
（Ⅰ）若G 为FC 的中点，证明：//AF 面BDG ； （Ⅱ）求二面角A BF C --的余弦值.
C
A
B
D
E
F
G
19．（本小题满分12分）
已知{}n a 是等差数列，首项31=a ，前n 项和为n S .令
(1)(N )n n n c S n *=-∈,{}n c 的前20项和20330T =.数列}{n b 是公比为q 的等
比数列，前n 项和为n W ，且12b =，39q a =. （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）证明：1(31)(N )n n n W nW n *++≥∈.
20．（本小题满分13分）
已知椭圆1C 的中心为原点O ，
离心率e =
2
，其一个焦点在抛物线2:C 22y px =的准线上，若抛物线2C
与直线: 0l x y -=相切． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当点(,)Q u v 在椭圆1C 上运动时，设动点(,)P v u u v 2-+的运动轨
迹为3C ．若点T 满足：OT MN OM ON =+2+u u u r u u u r u u u r u u u r
，其中,M N 是3C 上的点，
直线OM 与ON 的斜率之积为1
-2
，试说明：是否存在两个定点,F F 12，使得TF TF 12+为定值？若存在，求,F F 12的坐标；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知函数()ln f x ax x =+，函数()g x 的导函数()x g x e '=，且
(0)(1)g g e '=，其中e 为自然对数的底数．
（Ⅰ）求()f x 的极值；
（Ⅱ）若(0,)x ∃∈+∞
，使得不等式()g x <成立，试求实数m 的取值范围；
（Ⅲ） 当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-．
青岛市高三统一质量检测 数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． C A C B C D A D B C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.1 12.1
2a - 13.15 14．
4 15．34k ≤或54
k ≥ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=得：
sin sin 2cos cos (
1)1cos cos A C
A C A C
-= ……………………………………………
…………2分
∴2(sin sin cos cos )1A C A C -=
∴1
cos()2
A C +=-，………………………………………………………
………………4分
∴1
cos 2
B =
，又0B π<<
3
B π
∴=
…………………………………………………………………
…………………6分
（Ⅱ）由余弦定理得：2
2
21
cos 22
a c
b B a
c +-==
22()21
22
a c ac
b a
c +--∴=， …………………………………………………
……………8分
又
a c +=
，
b =27
234
ac ac ∴
--=，
5
4
ac =
……………………………10分
115sin 224ABC S ac B ∆∴==⨯=
………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解: （Ⅰ）设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件A , 则
2233
3333327()()(1)()44432
P A C C =⨯-+=. …………………………………………
………4分
（Ⅱ）由条件可知X 可能取值为0,1,2,3,4.
31121
(0)(1)(1)(1)(1);
432336
P X ==-⨯-⨯-⨯-=
31123112
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
43234323
3112311213
(1)(1)(1)(1)(1)(1);
4323432372
P X ==⨯-⨯-⨯-+-⨯⨯-⨯-+-⨯-⨯⨯-+-⨯-⨯-⨯=
311231123112
(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4323432343233112311231127
(1)(1)(1)(1)(1)(1);
43234323432318P X ==⨯⨯-⨯-+⨯-⨯⨯-+⨯-⨯-⨯
+-⨯⨯⨯-+-⨯⨯-⨯+-⨯-⨯⨯=
31123112
(3)(1)(1)43234323
3112311223 (1)(1);
4323432372
P X ==-⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯
+⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯-=
31121(4);432312
P X ==⨯⨯⨯=
即X 的分布列
…………………………………………………………………10分 X
的期望11372319
()0123436721872124
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG 因为点G 为FC 中点，所以OG 为AFC ∆的中位线， 所以
//OG AF
…………………………………………………………
……………2分
AF ⊄面BDG ，OG ⊂面BDG ， 所以//AF 面
BDG (4)
分
（Ⅱ）取AD 中点M ，BC 的中点Q ，连接MQ ，则
////MQ AB EF ，
所以MQFE 共面
作FP MQ ⊥于P ，EN MQ ⊥于N ，则//EN FP 且EN FP =
AE DE == BF CF =，AD BC = ADE ∴∆和BCF ∆全等，EM FQ ∴=
ENM
∴∆和FPQ ∆全等，1MN PQ ∴==
BF CF =，Q 为BC 中点，BC FQ ∴⊥
又BC MQ ⊥，FQ MQ Q = ，BC ∴⊥面MQFE
PF BC
∴⊥，
PF ∴⊥
面
ABCD …………………………………………………………6分 以P 为原点，PF 为z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则(3,1,0)A ，
(1,1,0)B -，(1,1,0)C --，设(0,0,)F h ，则(3,1,)AF h =-- ，(1,1,)CF h =
AF CF ⊥ ，203102AF CF h h ∴⋅=⇒--+=⇒=
设面ABF 的法向量1111(,,)n x y z =
(3,1,2)AF =-- ，(1,1,2)BF =-
由111111110320
20
0n AF x y z x y z n BF ⎧⋅=--+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩
，令11110,2z x y =⇒==
1(0,2,1)n ∴=
……………………………………………………………
…………………8分
设面CBF 的法向量2222(,,)n x y z =
(1,1,2)BF =- ，(0,2,0)BC =-
由222222020
200n BF x y z y n BC ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩
⎪⎩
，令22210,2z y x =⇒==- 2(2,0,1)n ∴=-
……………………………………………………………
………………10分
1212121
cos ,5
||||n n n n n n ⋅∴<>===⋅
设二面角A BF C --的平面角为θ， 则
12121
cos cos(,)cos ,5
n n n n θπ=-<>=-<>=- ………………………………
…12分
19．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d ，因为(1)n n n c S =- 所以20123420330T S S S S S =-+-+++= 则24620330a a a a ++++= 则109
10(3)23302
d d ⨯++⨯= 解
得
3
d =，所以
33(1)3n a n n =+-=……………………………………………………4分
所以3927q a ==，3q = 所
以
123n n b -=⋅…………………………………………………………………
……………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2(13)
3113
n n n W -=
=-- 要证1(31)n n n W nW ++≥， 只需证1(31)(31)(31)n n n n ++-≥- 即
证
：
321n n ≥+…………………………………………………………………
…………8分 当1n =时，321n n =+
下面用数学归纳法证明：当2n ≥时，321n n >+
（1）当2n =时，左边9=，右边5=，左>右，不等式成立 （2）假设(2)n k k =≥，321k k >+
则1n k =+时，13333(21)632(k+1)+1k k k k +=⨯>+=+>
1n k ∴=+时不等式成立
根据（1）（2）可知：当2n ≥时，321n n >+ 综上可知：321n n ≥+对于N n *∈成立
所以
1(31)(N )n n n W nW n *++≥∈ ………………………………………………
………12分
20．（本小题满分13分）
解：（I
）由2
2220-0
y px
y py x y ⎧=⎪⇒-+=⎨
+=⎪⎩， 抛物线2:C 22y px =
与直线: -0l x y =相切，
240p p ∴∆=-=⇒= …………………………………………
…………2分
∴抛物线2C
的方程为：2y =
，其准线方程为：x =
c ∴=
离心率e =
，
∴c e a ==∴2222, 2a b a c ==-=， 故椭圆的标准方程为
22
1.42
x y +=…………………………………………………………5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(,)P x y ''，(,)T x y
则2x v u y u v '=-⎧⎨'=+⎩1(2)31()
3u y x v x y ⎧
''=-⎪⎪⇒⎨⎪''=+⎪⎩
当点(,)Q u v 在椭圆1C 上运动时，动点(,)P v u u v 2-+的运动轨迹3C
222211
1[(2)]2[()]44233
u v y x x y ''''∴+=⇒-++= 2 2212x y ''⇒+=
3
C ∴的轨迹方程为：
22212x y += ………………………………………………………7分 由OT MN OM ON =+2+u u u r u u u r u u u r u u u r 得
212111221212(,)(,)2(,)(,)(2,2),x y x x y y x y x y x x y y =--++=++ 12122,2.x x x y y y =+=+
设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知
12121
,2
OM ON y y k k x x ⋅=
=-因此
121220,x x y y +=…………………………………………9分
因为点,M N 在椭圆22212x y +=上，
所以2222
1122212,212x y x y +=+=，
故222222*********(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++ 2222112212121212(2)4(2)4(2)604(2).x y x y x x y y x x y y =+++++=++
所以2
2
260x y +=，从而可知：T 点是椭圆22
16030
x y +=上的点，
∴存在两个定点,F F 12，
且为椭圆22
16030
x y +=的两个焦点，使得TF TF 12+为定值，其坐标
为
12(F F ． …………………………………………
………13分
21．（本小题满分14分）
解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1
()f x a x
'=+
(0)x >． 当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数，()f x 没有极值；……………1分
当0a <时，1()
()a x a f x x
+'=
， 若1(0,)x a ∈-时，()0f x '>；若1
(,)x a
∈-+∞时，()0f x '<
()f x ∴存在极大值，且当1x a =-时，11
()()ln()1f x f a a
=-=--极大
综上可知：当0a ≥时，()f x 没有极值；当0a <时，()f x 存在极大值，且
当
1
x a
=-
时，
11
()()ln()1f x f a a
=-=--极大 ……………………………………………
……………4分
(Ⅱ) 函数()g x 的导函数()x g x e '=，()x g x e c ∴=+
(0)(1)g g e
'=，
(1)c e e ∴+=0
c ⇒=，
()x g x e =……………………………………5分
(0,)x ∃∈+∞
，使得不等式()g x <
成立， ∴(0,)x ∃∈+∞
，使得3m x e <-成立，
令()3h x x e =-，则问题可转化为：max ()m h x <
对于()3h x x e =-，(0,)x ∈+∞
，由于()1x h x e '=-，
当
(0,)x ∈+∞时， 1x e >
≥=1x e ∴>，
()0h x '∴<，从而()h x 在(0,)+∞上为减函数，()(0)3h x h ∴<=
3m ∴<……………………………………………………………………
…………………9分
(Ⅲ)当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()ln 2x x e x ϕ=--， ∴1()x x e x
ϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数 设()0x ϕ'=的根为x t =，则1
t e t
=，即t t e -=
当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，
()0
x ϕ'>，
()
x ϕ在
(,)
t +∞上为增函数，
min ()()ln 2ln 22t t t t x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+-
(1)10e ϕ'=->，1()202ϕ'=<，1
(,1)2
t ∴∈
由于()2t t e t ϕ=+-在1
(,1)2
t ∈上为增函数，
1
2
min 11
()()222022
t
x t e t e ϕϕ∴==+->+->-=
()()2f x g x ∴<- …………………………………………………………
………………14分。